1、.課堂探究探究一 求函數(shù)的平均變化率1求函數(shù)yfx在區(qū)間x1，x2上的平均變化率的步驟是：1求函數(shù)值的增量：yfx2fx1；2求自變量的增量：xx2x1；3作商即得平均變化率：.2運(yùn)動物體在t0到t1這段時間內(nèi)運(yùn)動的平均速度就是物體運(yùn)動的位移函數(shù)st在區(qū)間t0，t1上的平均變化率，因此求平均速度的本質(zhì)也是求函數(shù)的平均變化率【典型例題1】 1求函數(shù)fx在區(qū)間1,0，1,3，x0，x01上的平均變化率2假設(shè)某一物體的運(yùn)動方程為s2t2，那么該物體在t2到t3時的平均速度為_思路分析：1按照平均變化率的定義分三步求解；2本質(zhì)就是求函數(shù)st在區(qū)間2,3上的平均變化率1解：fx在區(qū)間1,0上的平均變化率

2、為：；fx在區(qū)間1,3上的平均變化率為：；fx在區(qū)間x0，x01上的平均變化率為：.2解析：平均速度為10，故該物體在t2到t3時的平均速度為10.答案：10探究二 導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用1利用導(dǎo)數(shù)的定義可以求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)或函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)函數(shù)時，可按如下步驟進(jìn)展：1求函數(shù)的增量yfxxfx；2求平均變化率；3取極限，得導(dǎo)數(shù)fx.2求函數(shù)fx在xx0處的導(dǎo)數(shù)時，可以有兩種方法：一是直接利用導(dǎo)數(shù)的定義求得，即fx0 ；二是先利用導(dǎo)數(shù)的定義求出fx，再計算fx在xx0的函數(shù)值【典型例題2】 1求函數(shù)fxx3x在x1處的導(dǎo)數(shù)；2求函數(shù)fx2的導(dǎo)數(shù)思路分析：對于1可有兩種方法：一是直接利用導(dǎo)數(shù)定義求解

3、，二是先求出fx，再令x1求得fx的函數(shù)值即得導(dǎo)數(shù)值；對于2可按照導(dǎo)函數(shù)的定義直接求導(dǎo)數(shù)解：1導(dǎo)數(shù)定義法因?yàn)閥f1xf11x31x2x33x24x，所以x23x4，于是fx在x1處的導(dǎo)數(shù)f1x23x44.導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法因?yàn)閥fxxfxxx3xxx3xx33x2x3xx2x，所以x23xx3x21.于是fx的導(dǎo)數(shù)fx3x21.從而f131214.2因?yàn)閥fxxfx22，所以，于是fx的導(dǎo)數(shù)fx.點(diǎn)評 利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于取極限后，對的變形與化簡，使之可以約去分母中的x，然后求得導(dǎo)數(shù)探究三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用1導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線yfx在點(diǎn)x0，y0處的切線的斜率就是函數(shù)yfx在xx

4、0處的導(dǎo)數(shù)，而切線的斜率就是切線傾斜角的正切值2運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線的切線問題時，一定要注意所給的點(diǎn)是否在曲線上，假設(shè)點(diǎn)在曲線上，那么該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值就是該點(diǎn)處的曲線切線的斜率；假設(shè)點(diǎn)不在曲線上，那么該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值不是切線的斜率3假設(shè)所給的點(diǎn)不在曲線上，應(yīng)另設(shè)切點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)于所設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式進(jìn)展求解【典型例題3】 1曲線yx22上一點(diǎn)P，那么過點(diǎn)P的切線的傾斜角為A30 B45 C135 D1652函數(shù)fx2x，那么曲線yfx在點(diǎn)1，3處的切線方程是_3假設(shè)直線l：y4xa與曲線C：yx32x23相切，務(wù)實(shí)數(shù)a的值和切點(diǎn)的坐標(biāo)思路分析：1先利用導(dǎo)數(shù)定義求出fx在x1處

5、的導(dǎo)數(shù)，即得切線斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求出傾斜角；2先利用導(dǎo)數(shù)定義求出切線斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式寫出方程；3應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)系式求解1解析：yx22，yx，y|x11，過點(diǎn)P的切線的斜率為1，那么切線的傾斜角為45，應(yīng)選B.答案：B2解析：函數(shù)fx2x在點(diǎn)x1處的導(dǎo)數(shù)為f11.因此由導(dǎo)數(shù)幾何意義知，曲線yfx在點(diǎn)1，3處的切線的斜率kf11，因此切線方程為y3x1，即yx2.答案：yx23解：設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)Px0，y0，fx3x24x.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得3x4x04，解得x0或x02，切點(diǎn)的坐標(biāo)為或2,3當(dāng)切點(diǎn)為時，有4a，a；當(dāng)切點(diǎn)為2,3時，

6、有342a，a5.所求a的值為a，切點(diǎn)為；a5，切點(diǎn)為2,3點(diǎn)評 本例3中，切線方程，從而切線斜率，但切點(diǎn)未知，因此應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，才能與導(dǎo)數(shù)的幾何意義聯(lián)絡(luò)起來探究四 易錯辨析易錯點(diǎn)：不注意點(diǎn)是否在曲線上而出錯【典型例題4】 試求過點(diǎn)M1,1且與曲線yx31相切的直線方程錯解：3xx3x2x2， 3x2，因此y3x2，所以切線在x1處的斜率k3.故切線方程為y13x1，即3xy20.錯因分析：此題錯誤在于沒有注意到點(diǎn)M1,1根本不在曲線上，而直接把點(diǎn)M當(dāng)成曲線上的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程，導(dǎo)致錯誤防止錯誤的方法是先判斷點(diǎn)是否在曲線上，再針對不同情況分別求解正確解答：y3x2解法同上，設(shè)過M1,1點(diǎn)的切線與曲線yx31相切于點(diǎn)Px0，x1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點(diǎn)P處的