1、實變函數題（每題 2 分，共 20 分）一、1. 若 A 是 B 的真子集，則必有 A < B 。2. 必有比a 小的基數。3. 一個點不是 E 的聚點必不是 E 的內點。4. 無限個開集的交必是開集。（×）（）（）（×）5.若 E ¹ f ，則m* E > 0 。P58（×）6.任何集 E Ì Rn 都有外測度。P59（）7.兩集合的基數相等，則它們的外測度相等。P57（×）8.可測集的集都可測。（×）9.若 f (x) 在可測集 E 上可測，則 f (x) 在 E 的任意子集上也可測。（×） P79

2、10. f (x) 在 E 上可積必存在。( 可積和存在是兩碼事)（×）1.設 E 為點集， P Ï E ，則 P 是 E 的外點.（ ×）2.不可數個的交集仍是. （ ×）¥3. 設En 是一列可測集, 且 En+1 Ì En , n = 1, 2,En ) = limm(En )., 則 m(n ®¥n =1（×）4.單調集列一定收斂. （）？f (x) 在 E 上可測,則存在 Fs 型集 F Ì E, m(E - F ) = 0 , f (x) 在 F 上連5.若續.（× ）?二

3、、填空題（每空 2 分，共 20 分）1.設 B 是 R1 中無理數集，則 B =c。2.設 A = ì1 11üí1, ,L,Lý Ì R ，則 A = f， A =0。10'î2 3nþ11¥¥3. 設 A = (-,), n = 0,1,2,L ，則 È A =(-1,1) ， Ç A =nn nn + 1 n + 1n=0n=1 0 。4.有界變差函數的不連續點的點集是至多可列集。?5.設 E 是0,1 上的Cantor 集，則mE =0。6.設 A 是， B 是開集，

4、則 A B 是閉集。7.閉區間a, b 上的有界函數 f (x) Rimann 可積的充要條件是f (x) 是a, b 上的幾乎處處的連續函數。8. Rimann 函數是 Rimann 可積也是 Lebesgue 可積的。三、計算題（每題 10 分，共 20 分）1nx 21òsin 3 nxdx 。（ 提示： 使用1. 計算 lim (R)1 + n x2 2n®¥0Lebesgue收斂定理）1nx 2解：設 f (x) =sin 3 nx (n = 1,2,L) ，則n1 + n2 x 2因 fn (x) 在0,1 上（1）（2） lim f n (x) =

5、0, x Î0,1 ；n®¥（3）因為連續，所以是可測的；P67P79P114得分閱卷 人p1212511nx 21nx 2nx 21££= F (x)sin 3 nx1 + n2 x 21 + n2 x 22nx2 x顯然 F (x) 在0,1 上可積。于是由 Lebesgue收斂定理，有11nx 2nx 211òòsin 3 nxdx = lim (L)sin 3 nxdx = 0lim (R)1 + n x1 + n x222 2n®¥0n®¥0ìx, x為大于1的無理

6、數;ïò0,22. 設 f (x) = x , x為小于1的無理數；2試計算f (x)dx 。íï0, x數，î解：因數集的測度為零，所以f (x) = x 2于0,1 ， f (x) = xa.e.a.e.于1,2 。于是ò0,2 f (x)dx = ò0,1 f (x)dx + ò1,2 f (x)dx131112òò=x dx +xdx =+=232601四、證明題（每題 8 分，共 40 分）¥¥1. 證明： A (U An ) = I( A An )n=1n=1P2

7、9 T2¥¥證明： A (U A) = A I ( U A)cnnn=1n=1¥= A I ( I Ac )nn=1¥c= I ( A I An )n=1¥= I ( A An )n=12. 設M 是直線上一族兩兩互不相交的非空開區間組成的集合，證明M 是至多可列集。證明：由有理數集的稠密性可知，每一個開區間中至少有一個有理數，從每個開區間中取定一個有理數，組成一個集合 A。因為這些開區間是互不相交的，所以此有理數集 A 與開區間組成的集合 M 是一一對應的。則 A 是有理數集的子集，故至多可列，所以 M 也是至多可列集。證明：若m* E =

8、0 ，則 E 為可測集。P753.T5證明：對任意點集T ，顯然成立著m*T £ m* (T I E) + m* (T I Ec ) 。次可數可加性另一方面，因為 m* E = 0 ，而T I E Ì E ，所以 m* (T I E) £ m* E ，于是m* (T I E) = 0 。又因為T É T I Ec ，所以m*T ³ m* (T I Ec ) ，從而m*T ³ m* (T I E) + m* (T I Ec ) 。總之， m*T = m* (T I E) + m* (T I Ec ) 。故 E 是可測集。4. 可測集 E

9、 上的函數 f (x) 為可測函數充分必要條件是對任何有理數r ，集合 E f (x) < r是可測集。一、填空題（每小題 2 分，共 10 分）( A B)C = A (B C ) 成立的充分必要條件是（B、 B Ì AD、C Ì A（D）1、）。A、 A Ì BC、 A Ì C）2、設 E 是閉區間0,1中的無理點集，則（A）A. mE = 1C. E 是不可測集B. mE = 0D. E 是）3、設 E 是可測集， A 是不可測集， mE = 0 ，則 E（CA 是（）A. 可測集且測度為零C. 不可測集B. 可測集但測度未必為零D. 以上都

10、不對B ）4、設mE < +¥ ， fn ( x)是 E 上幾乎處處有限的可測函數列，（f ( x) 是 E 上幾乎處處有限的可測函數，則 fn ( x) 幾乎處處收斂于f ( x) 是 fn ( x)依測度收斂于A. 必要條件C. 充分必要條件f ( x) 的（）B. 充分條件D. 無關條件f ( x) 是 E 上的可測函數，則（ D）5、設）f ( x) 是 E 上的連續函數A.f ( x) 是 E 上的B.積函數f ( x) 是 E 上的簡單函數f ( x) 可表示為一列簡單函數的極限C.D.6 、 設 f (x) 是 (-¥, +¥) 上的實值連續函

11、數， 則對于任意常數 a ，E = x | f (x) > a是一開集，而 E = x | f (x) ³ a 總是一。證明：若 x0 Î E,則f (x0 ) > a ，因為 f (x) 是連續的，所以存在 d > 0 ，使任意？x Î(-¥, ¥) ，| x - x0 |< d 就有f (x) > a ，(5 分)U(x0 ,d ), 就有x Î E, 所以U(x0 ,d ) Ì E, E即任意是開集（10 分）xn Î E,xn ® x0 (n ® ¥

12、;),則f (xn ) ³ af (x)若且， 由 于連 續 ，f (x0 ) = lim f (xn ) ³ a ，n®¥即 x0 Î E ，因此 E 是。7、設 A= (0, 1), A (0, n), n = 1, 2, 求出集列A 的上限集和下限集2n-12nnn證明：limAn = (0, ¥) n®¥（5 分）設 x Î(0, ¥)，則存在 N，使 x < N ，因此n > N 時，0 < x < n ，即 x Î A2n ，所以 x屬于下標比 N

13、大的一切偶指標集，從而 x 屬于無限多 An ，得 x Î limAn ，n®¥又顯然limAn Ì (0, ¥), 所以limAn = (0, ¥)（7 分）n®¥n®¥lim An = f n®¥（12 分）若有 x Î lim An ，則存在 N，使任意n > N ，有 x Î An ，因此若2n -1 > N 時，n®¥1x Î A2n-1,即0 < x < n ,令n ® ¥得0 < x £ 0， 此 不 可