1、 復習引入：新授： 1. 向量的概念把既有大小、又有方向的量，叫做向量記為向量a,b,c,.等，在書寫時，則在小寫西文字符的上方加一個小箭頭，例如,.等如果向量的方向限于平面內，則叫做平面向量 向量的大小是一個非負數量，叫做向量的模記為|a|,|b|,|c|,.或|,|,|,.ca圖7-2(1)b 特別地，若一個向量的模為單位1，則叫做單位向量，單位向量常記作e若一個向量的模為0，則叫做零向量，零向量總是記作0零向量的長度為0，且規定零向量0的方向是可以任意確定的為了更直觀的反映確定向量的大小、方向，我們又把向量表示成如圖7-2(1)上所示的帶箭頭的短線段，箭頭的方向表示DC圖7-2(2)BA

2、B1C1了它所表示的向量的方向，而線段的長度則是它所表示的向量的模(即大小)有時，為了突出短線段的起終點，會以字符標出起終點(見圖7-2(2)，此時可以以,等表示向量，而向量的模，也就對應地表示為|,|,|由于我們所研究的向量只含有大小、方向兩個要素，因此，即使當我們用帶箭頭的短線段表示向量時，與帶箭頭的短線段的起終點是沒有關系的為了突出這一點，有時又把向量記作自由向量 例1 設矩形ABCD的邊長為2和3，其所有的邊及對角線，能構成多少向量？這些向量的模是多少？課內練習1 1. 一個正六邊形的所有邊及中心到各頂點的連線，能構成多少向量？試寫出全部所構成的向量；若正六邊形的邊長為1，求全部向量的

3、模，并判斷哪些向量是單位向量？ 2. 向量的比較 (1)向量相等 任意兩個數量a,b都可以比較，其關系不外乎相等(a=b)或不相等(a¹b)兩種，只要根據兩個數的大小就可以下結論因為向量不但有大小，而且有方向，所以比較兩個向量a,b的相等與否，不但要比較它們的大小，還要比較它們的方向當且僅當a,b的大小相等、方向相同時，才能說a,b相等，并表示成a=b；否則a, b就不相等(a¹b)在例1中的相等向量有且僅有 =, =, =, =， 更仔細地說，不相等的兩個數量還可以有大于、小于的關系，那么向量之間是否也能有大于、小于關系呢？因為大小、方向的整體組成向量，方向是不能比較大小

4、的，因此向量本身之間也不能比較大小，即兩個向量不能談及孰大孰小當然，向量的模是數量，因此向量的模是可以比較大小的即使兩個向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我們仍然只能說向量a的模大于向量b的模，而不能說向量a大于向量b 若a=b，則把表示a,b的箭頭短線段的始點移到同一點時，它們必重合；反之把兩條箭頭短線段的始點移到同一點時重合，那么這兩條短線段表示相等的向量或同一向量 例2 物體從點A出發位移，第一次沿水平線位移到B，位移量為3；然后繼續沿鉛直方向向下位移到C，位移量為4 (1)試以向量表示這二次位移，并在平面上作出這兩個位移向量； (2)在A的鉛直下方4處標注點D，能否說第二

5、次位移的位移向量是？為什么？ (2)相反向量 對數量，若兩個數a,b的絕對值相等但符號相反，則把a,b叫做一對相反數對向量，若兩個向量a,b的長度相等但方向相反，則這一對向量叫做相反向量，記作a=-b或-a=b對調一個向量的始點和終點，即得到了它的相反向量，即=-例如在例1所有的向量中，共有如下六對相反向量： =-, =-, =-, =-, =-, =- 例3 對例2的問題，若記第一次位移向量為a，第二次位移向量為b，現繼續作第三、四次位移，第三次位移是從C出發向左移動3到D，第四此則從D返回A試以a,b表示第三、四次位移 (3)平行向量若兩個向量a,b的方向相同或相反，則把這一對向量叫做平行

6、向量，也可以說向量a平行于向量b或向量b平行于向量a規定零向量平行于任意向量. 根據平行向量的方向特征，若向量a位于直線l上(即a的始終點都在l上)，則只要平移a的平行向量b，b也必定能位于直線l上，因此又把平行向量叫做共線向量 例4 找出一個梯形各邊構成的全部向量及這些向量之間存在的關系課內練習2 1. 課內練習1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？第3題圖WF1F·· 2. 作出一個梯形及其中線，可以構成多少向量？這些向量之間存在哪些關系？ 3. 以F,F1都表,示方向向上、大小為10N的力，考察把F作用在物體W的左上角和F1作用在物體W的右上角兩種情況(如

7、附圖)，物體受力后的移動情況肯定不同，這與F=F1的結論矛盾嗎？試作出合理的解釋復習引入：新授： (1)向量的加法運算向量加法運算的法則 向量a加向量b的結果a+b是按照下列法則生成的一個向量c：把b的始點移到a的終點后、從a的始點連到b的終點記作 c=a+b圖9-9(1)cab···圖9-9(2)cab···與數量相加一樣，把a叫做被加向量，b叫做加向量，c叫做和向量 在a,b不平行的情況下，c是重合a,b的始點、以a,b為鄰邊組成的平行四邊形的對角線向量，其指向與a,b同側(平行四邊形法則，見圖9-9(1)；也是是以a的終點作為b

8、的始點所組成的三角形的第三邊向量(三角形法則，見圖9-9(2)對于三角形法則我們可以歸納為：首尾相連首尾連 例4 用兩種方法作出圖9-10(1)中向量a,b的和向量c圖9-10(3)ab·bc圖9-10(2)c·ab圖9-10(1) 解 (1)按平行四邊形法則，把的始點移到同一點構成一個以為相鄰邊的平行四邊形，對角線向量即為和向量c(見圖9-10(2) (2)移b的始點到a的終點，從a的始點連向b的終點的向量即為和向量c(見圖9-10(3) 例5 (1)若b=-a，求c=a+b； (2)若a,b平行，求c=a+b圖9-12abdcabcdf 例6 已知向量a,b, c, d

9、如圖9-12，求f=a+b+c+d 解 逐次應用向量加法的法則移加向量的始點到被加向量的終點，從被加向量的始點連向加向量的終點，得到和向量f如圖9-12所示，其中虛線表示的向量，從左向右依次是a+b, a+b+c課內練習3 1. 請舉一個向量相加的實際問題 2. 向量相加的平行四邊形法則和三角形法則能適用于怎樣的情況？第4題圖ABCD 3. a+(-a)=0，因此|a|+|-a|=0，這個結論正確嗎？一般地，c=a+b，因此|c|=|a|+|b|，這個結論正確嗎？由此可以對向量相加與向量的模相加作出怎樣的結論？ 4. 矩形ABCD如圖，試求 +,+,+,+得到的和向量之間有哪些關系？ 5. 矩

10、形ABCD如第4題，求 (+)+,+(+),+,+得到的和向量之間有哪些關系？ 數量加法運算滿足交換律(a+b=b+a)、結合律(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，向量的加法運算同樣滿足交換律和結合律 a+b=b+a， a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)， (2)向量的減法運算圖9-13(2)-ba-bac 如同數量a,b相減a-b，是被加數a與加數b的相反數-b相加一樣，所謂向量a,b相減a-b，實際上是向量a與向量b的相反向量-b相加，即a+(-b)應用向量加法法則，可以得出向量減法運算的法則圖9-圖9-13(3)abc圖9-13(1)ab13(1)中是已知向量a,b；圖

11、9-13(2)顯示了a+(-b)；圖9-13(2)顯示了a-b的直接運算法則，法則的文字表述是：a-b的結果是一個向量c，把a,b的始點移到同一點，從b的終點連向a的終點的向量就是c(三角形法則) 對于三角形法則我們可以歸納為：首同尾連，剪頭指向被減記作 c=a-ba叫做被減向量，b叫做減向量，c叫做差向量 例7 在DABC中，把每條邊都作為從一個頂點到另一個頂點的向量，并把這些向量叫做邊向量為了使是另兩條邊向量的差，另兩條邊向量應是怎樣的？ 例8 在DABC中，若邊向量為,，求 (1)a=+；(2)求b=-課內練習4 1. 在DABC中，把每條邊都作為從一個頂點到另一個頂點的向量，并把這些向

12、量叫做邊向量為了使是另兩條邊向量的差，另兩條邊向量應是怎樣的？ 2. 在矩形ABCD中的邊向量為,，求 (1)a=-；(2)b=-；(3)c=-；(4)d=- 因為向量相減是被減向量與減向量的負向量相加，而向量相加運算滿足交換律、結合律，這樣向量的減法運算所能滿足的運算律也就唾手可得了，例如 a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c) (3)向量的數乘運算 在數量運算中，若a=2，b是a的兩倍，則b=2a在例8向量運算中，我們兩次都遇到a=+,b=+這樣兩個相同的向量相加問題，能不能也能簡寫成a=2,b=2呢？這完全取決與如何規定2,2的含義，若規定它們的含義確實與+,+相同，那

13、么這種簡寫就完全合法且合理了為此我們作如下的定義： 一個實數a乘以向量a的結果是一個平行于a的向量b，b的模是a的模|a|倍，即 |b|=|a|×|a|；b的方向當a>0時與a的方向相同，當a<0時與a的方向相反記作 b=a×a 或 b=aa，把向量的這種運算叫做向量的數乘運算 根據向量數乘運算的這種規定，立即可知 -a=-1×a，a+a=2a，-a-a=-2a 把數相加和向量相加所滿足的運算律結合起來，立即可得向量數乘運算滿足下述兩個分配律： (a+b)a=aa+ba，a (a+b)=aa+ab，其中a,b是任意實數，a,b是任意向量 根據向量的數乘

14、運算,我們有：如果有一個實數a，使b=a×a（a0），則a與b是平行向量；反之，如果a與b是平行向量，則有且只有一個實數a，使b=a×a（a0） 例8 設c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c 解 h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a) =2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b 例9 DABC的AC邊長為a，現把AB,BC邊各延長原來的0.8倍成為DA1BC1，求邊A1C1的長(見圖

15、9-15)課內練習5 1. 已知向量a，作出向量-2a, 3a 2. 已知向量a的模為s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模 3. 設c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f-3d-3g-2b 4. 甲、乙兩人從同一點出發，取不同方向前行當甲行進2km、乙行進6km時兩人相距4km，問當甲、乙繼續按原方向分別繼續行進1.5km、4.5km時，兩人相距多少？ 復習引入：新授：1平面向量的直角坐標(1)坐標基底向量O j yix圖7-16設在平面上已經建立了一個直角坐標系xOy方向為x軸正向的單位向量i、方向為y軸正向的單位向量j叫做該坐標

16、系的坐標基底向量(見圖9-16)(2)平面向量的直角坐標在坐標平面上給定了向量 a，平移其始點到原點后(見圖7-17)，設其終點A的坐標為(x,y)把(x,y)叫做向量a的坐標，記作 a=(x,y) 若向量a的坐標為(x,y)，則其模可以用坐標表示為 |a|= (7-2-1)OajAyix圖7-17xiyjxiyj 坐標基底向量也有其坐標，分別是i=(1,0), j=(0,1) 以原點O為始點、點A在x,y軸上的投影為終點，是兩個分別平行于i, j的向量，根據向量加法定義，有 a=xi+yj， (7-2-2)即有了向量的坐標，我們可以把它分解成坐標基底向量的組合 因為坐標基底向量也是自由的，你

17、也可以不平移a，直接在a上作分解(見圖7-17)例如從圖7-18，我們就可以直接看出=i-2j =(1,-2)課內練習1 xyOBDPCAEF圖9-18 1. 寫出圖9-18中向量,的坐標，并求它們的模 2. 向量關系的坐標表示 向量之間有相等、相反、平行(共線)等關系當知道了向量的坐標后，這些共線的判定就變得十分簡單 (1)相等：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，則 a=b Û a1=a2, b1=b2即兩個相等向量的坐標相等，坐標相等的向量相等 (2)相反：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，則OaA yx圖7-19bBA1B1a1a2b1b2 a=-b Û

18、; a1=-a2, b1=-b2即兩個相凡向量的坐標對應地互為相反數；坐標對應互為相反數的向量相反 (3)平行(共線)：向量a=(a1,b1),b=(a2,b2)平行 Û 移a,b的始點到原點后，它們的終點A,B與原點共線 Û DOA1ADOB1B(見圖7-19) Û 所以兩個向量的坐標對應成比例，則它們平行；平行向量的坐標必定對應成比例 例1 已知向量a=(2,-1)，當x為多少時，向量b=(x,2)與a平行？ 解 a/b Û Û x=-4所以當x=-4時a/b課內練習2 1. 根據向量坐標，判斷下列向量中存在的共線： a=(2,-1), b

19、=(-2, 1), c=(-6, 3), d=(42,-21), e=(2,-1), f=(8,-4), g=(-2,-1) 2. 已知向量a=(9,-4)，當y為多少時，向量b=(-12,y)與a平行？3平面向量運算的直角坐標表示把向量數乘、加減法的運算法則應用于向量對坐標基底的分解式(7-2-2)，即可得向量運算的坐標表示(1)數乘：設a=(x,y)，即a=xi+yj，b=la，則 b=la=l(xi+yj)=lxi+lyj=(lx,ly)，即 la=l(x,y)=(lx,ly) (7-2-3)即向量a數乘l后所得向量的坐標，是a的縱、橫坐標的l倍 (2)加減法：設a=(a1,b1)，b=

20、(a2,b2)，則 a=a1i+b1j，b=a2i+b2j， a+b=(a1i+b1j)+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j，即 a+b=(a1+a2, b1+b2) (7-2-4)同理也有a-b=(a1-a2, b1-b2) (7-2-5)x圖7-20yOAB 所以向量a, b的和、差向量的坐標，等于a, b的坐標對應的和、差 (3)給定始終點的向量的坐標 向量a=若已知點A,B在坐標A(x1,y1),B(x2,y2)(見圖7-20)，則 =(x1, y1),=(x2, y2)， =-=(x2-x1,y2-y1) (7-2-6) 所以給定了始終點坐標的向量的坐標，等于終

21、點坐標對應減去始點坐標例2 已知a=(1,-2), b=(2,3)，求a + b, a - b, 2a-3bxBxOxDCxAxy圖7-21例3 已知A(1,2), B(-2,1)，求,解 應用公式(10-2-6)， =(-2-1,1-2)=(-3,-1)；=(1-(-2),2-1)=(3,1) 例4 已知平行四邊形ABCD的頂點坐標A(1,1), B(2,3), C(-1,4)(見圖7-21)，求頂點D點坐標例5 已知A(2,3),B(-2,5),且=2，求C點的坐標 例6 某人第一天按圖9-23所示方向、以速度5km/h步行3小時到達A處；第二天又按圖9-23所示方向、以速度15km/h騎

22、了3小時自行車到達B處問B離此人出發點的直線距離是多少？課內練習2 1. 已知a=(-1,2), b=(2,-2),求a+ b, a - b,-a+2b 2. 已知a=(-2+x,4), b=(-3,-1-y),且a=b,求x,y 3. 根據下列條件求與的坐標： (1)A(-1,0), B(2,-1)；(2)A(-2,1), B(3,1)；(3)A(2,1), B(0,-2)；(4)A(-2,4), B(-3,8) 4. 已知平行四邊形ABCD的A(1,0),B(2,5),C(-1,1),求D點坐標 5. 已知A(6,-3),B(3,-5),且= -2，求C點的坐標 復習引入：新授：1. 向量

23、的數量積圖7-25(ab)ab (1)平面向量所成的角給定兩個非零平面向量a,b，移它們的始點到同一點，以表示向量的線段所在直線為始終邊的角，叫做向量a,b所成的角，記作(ab)(見圖7-25)；為了使兩個非零向量所成的角唯一，規定0£(ab)£p零向量0與任何向量所成的角認為可以任意為了方便有時也把(ab)叫做向量之間的夾角從向量所成角定義，立即可知 (ab)=0 Û a/b (即a,b共線)；(ab)= p Û a=-b (即a,b互為相反向量)特別地，當(ab)=，則我們說a與b垂直，記作ab (2)向量的數量積已知向量a,b，a,b的數量積是一個

24、以下式定義的數量： a×b=|a|b|cos(ab)其中(ab)表示向量a,b之間所成的角向量作為既有方向、又有大小的量，與數量有著區別這種區別在運算方面的體現，是向量的有一些運算在數量運算中是找不到與之對應的類別的，數量積就屬于這種運算這是因為向量的數量積，反映的是一個向量與它在另一個向量方向上投影的積 例1 求下列向量的數量積： (1)|a|=5,|b|=4, (ab)=，求a×b； (2)a=(3,4),|b|=, (ab)=，求a×b； (3)a=(3,4), b=(-3,-4)，求a×b； (4)a=(1,3)，求a×a； (5)a=

25、0，b=(x,y)，求a×b課內練習1 1. 求下列向量的數量積： (1)|a|=2,|b|=8, (ab)=，求a×b； (2)a=(1,3),|b|=, (ba)=，求a×b；(3)a=(-3,-2), b=(3,2)，求a×b； (4)a=(5,3)，求a×a； (5)a=(10,y)，b=0，求a×b (3)向量數量積的基本運算法則 根據向量數量積的定義，立即可知成立如下運算法則： 交換律：a×b=b×a； 數乘分配率：(la)×b=a×(lb)=l(a×b)，(任意l

26、6;R)； 分配率：(a+b)×c=a×c+b×c例2 設=(3,-1), |=2, q=()=，求(1)(2)×(3)；(2)(+2)×；(3)(-4)×(+2)課內練習21已知|a|=4, |b|=3，a與b的夾角為，求(2a-b)×(a+2b)2已知A(-1,2),B(1,4)，|=4, q=()=，求(1)×(3)；(2)(2+)×；(3)×(-+2)(4)向量數量積的基本結論從向量數量積的定義，可以得到一些經常用到的基本結論，這些結論是必須熟記的ab a×b=0；當a/b且同

27、向時，a×b=|a|b|；當a/b且方向相反時，a×b=-|a|b|；a×a=|a|2，所以|a|=；cos(ab)= (7-3-2) 最后一個公式(9-3-2)對求向量所成角十分有用例3 已知|a|=4, |b|=5，分別在下列條件下求a×b： (1)a/b；(2)ab例4 已知|a|=2, |b|=4，a b=-6，求(ab)的余弦值課內練習3 1. 已知a/b，|a|=1, |b|2，求 a×b 2. 下述四個命題中哪些是正確的，哪些是錯誤的？并說明理由： (1)0×a=0；(2)|a|=a×a；(3)a×b

28、=|a|b|；(4)a×b=|a×b|；(5)|a×b|=|a|b|cos(ab)|； (6)(a×b)(a×b)=(a×a)(b×b)=|a|2|b|2；(7)a/b Û 存在實數l，使a×b=l|a|2； (8)(a+b)×(a-b)=|a|2-|b|2；(9)(a+b)×(a-b)=a2-b2 3. 已知|a|=1, |b|=4, a×b=2，求(ab)2平面向量數量積的坐標表示(1)平面向量數量積的坐標表示向量數量積(9-3-1)是不依賴于坐標系的幾何定義，如果在坐標

29、平面上討論，把向量數字化(即求出向量的坐標)，那末就能以坐標計算來表示向量的數量積首先考察坐標基底向量i, j的數量積，有 i×i=1；i×j=j×i=0；j×j=1 (4)現設向量 a, b的坐標為a=(x1,y1), b=(x2,y2)，即 a=x1i+y1j, b=x2i+y2j，則 a·b=(x1i+y1j)·( x2i+y2j)=x1x2i·i+y1y2j·j+x1y2i·j+y1x2j·i，即 a·b=x1x2+y1y2 (7-3-3)這就是說，兩個向量的數量積等于它們坐標的的對應乘積的和 以坐標表示向量數量積的基本公式，能得到我們熟知的一些公式：設a=(x,y)，則a·a=|a|2=x2+y2，即向量模公式|a|=；特別地當a=，且起終點坐標A(x1,y1),B(x2,y2)為已知時，由=(x2-x1,y2-y1)，即得 |a|=|=，此即為兩點間的距離例5 求下列向量的數量