1、習(xí)題2-1. 質(zhì)量為的子彈以速度水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為，忽略子彈的重力，求：(1) 子彈射入沙土后，速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式；(2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度。解：（1）由題意和牛頓第二定律可得：，分離變量，可得： 兩邊同時(shí)積分，所以：（2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是v=0的時(shí)候子彈的位移，則：由 可推出：，而這個(gè)式子兩邊積分就可以得到位移： 。2-2. 一條質(zhì)量分布均勻的繩子，質(zhì)量為、長度為，一端拴在豎直轉(zhuǎn)軸OO上，并以恒定角速度在水平面上旋轉(zhuǎn)設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中繩子始終伸直不打彎，且忽略重力，求距轉(zhuǎn)軸為r處繩中的張力T( r)解：在繩子中距離轉(zhuǎn)軸為r處

2、取一小段繩子，假設(shè)其質(zhì)量為dm，可知：，分析這dm的繩子的受力情況，因?yàn)樗龅氖菆A周運(yùn)動(dòng)，所以我們可列出： 。距轉(zhuǎn)軸為r處繩中的張力T( r)將提供的是r以外的繩子轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力，所以兩邊積分：2-3. 已知一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只受到指向原點(diǎn)的引力作用，引力大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離的平方成反比，即，是比例常數(shù)設(shè)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度為零，求質(zhì)點(diǎn)在處的速度的大小。解：由題意和牛頓第二定律可得：再采取分離變量法可得： ，兩邊同時(shí)取積分，則：所以：2-4. 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，在平面上運(yùn)動(dòng)，受到外力(SI)的作用，時(shí)，它的初速度為(SI)，求時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度及受到的法向力.解：由題意和牛頓第二定律可得：，代入

3、f與v，并兩邊積分， 速度是方向，也就是切向的，所以法向的力是方向的，則2-5. 如圖，用質(zhì)量為的板車運(yùn)載一質(zhì)量為的木箱，車板與箱底間的摩擦系數(shù)為，車與路面間的滾動(dòng)摩擦可不計(jì)，計(jì)算拉車的力為多少才能保證木箱不致滑動(dòng)？ 解：根據(jù)題意，要使木箱不致于滑動(dòng)，必須使板車與木箱具有相同的加速度，所以列式：可得：2-6. 如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦系數(shù)為。為使木塊相對斜面靜止，求斜面加速度的范圍。解：在斜面具有不同的加速度的時(shí)候，木塊將分別具有向上和向下滑動(dòng)的趨勢，這就是加速度的兩個(gè)范圍，由題意，可得：（1）當(dāng)木塊具有向下滑動(dòng)的趨勢時(shí)（見圖a），列式為： 可計(jì)算得到：此

4、時(shí)的（2）當(dāng)木快具有向上滑動(dòng)的趨勢時(shí)（見圖b），列式為： 可計(jì)算得到：此時(shí)的 所以 2-7. 一質(zhì)量為M、頂角為的三角形光滑物體上。放有一質(zhì)量為m的物塊，如圖所示。設(shè)各面間的摩擦力均可忽略不計(jì)。試按下列三種方法：（1）用牛頓定理及約束方程；（2）用牛頓定律及運(yùn)動(dòng)疊加原理；（3）用非慣性系中力學(xué)定律；求解三角形物塊的加速度. 解：隔離物塊和斜面體，畫圖分析力，列出方程，發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠，即未知數(shù)比方程數(shù)多，關(guān)鍵在于，M與m的運(yùn)動(dòng)有聯(lián)系的，M沿地面運(yùn)動(dòng)，m沿斜面運(yùn)動(dòng)，這就是約束條件。取地面作為參考系，則m的運(yùn)動(dòng)為： （1） （2）M的運(yùn)動(dòng)方程為： （3）下面列出約束條件的方程：取M作為參考系，設(shè)

5、m在其中的相對加速度為，在x,y方向的分量分別為與，那么：利用相對運(yùn)動(dòng)的公式，所以： 于是：即： （4）由（1）（2）（3）（4）聯(lián)立，計(jì)算可得：2-8. 圓柱形容器內(nèi)裝有一定量的液體，若它們一起繞圓柱軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試問穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)液面的形狀如何？解：受力分析如圖 （1） （2） 兩式相比 當(dāng) 時(shí) 所以 穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)液面是一個(gè)拋物面由于旋轉(zhuǎn)后成為立體，故方程變?yōu)椤尽?-9. 質(zhì)量為的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦滑動(dòng)，劈形物質(zhì)量為，放置在光滑的水平面上，斜面傾角為，求釋放后兩物體的加速度及它們的相互作用力。解：隔離物塊和斜面體，分析力，列出方程，發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠，即未知數(shù)比方程數(shù)多，關(guān)鍵

6、在于，m1與m2的運(yùn)動(dòng)有聯(lián)系的，m1沿地面運(yùn)動(dòng)，m2沿斜面運(yùn)動(dòng)，這就是約束條件。取地面作為參考系，則m2的運(yùn)動(dòng)為： （1） （2）m1的運(yùn)動(dòng)方程為： （3）下面列出約束條件的方程：取m1作為參考系，設(shè)m2在其中的相對加速度為，在x,y方向的分量分別為與，那么：利用相對運(yùn)動(dòng)的公式，所以： 于是：即： （4）由（1）（2）（3）（4）聯(lián)立，計(jì)算可得：；zrO相互作用力N=2-10. 一小環(huán)套在光滑細(xì)桿上，細(xì)桿以傾角繞豎直軸作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，求：小環(huán)平衡時(shí)距桿端點(diǎn)的距離.解：根據(jù)題意，當(dāng)小環(huán)能平衡時(shí)，其運(yùn)動(dòng)為繞Z軸的圓周運(yùn)動(dòng)，所以可列式： 所以，可得：2-11. 設(shè)質(zhì)量為的帶電微粒受到沿方向

7、的電力，計(jì)算粒子在任一時(shí)刻的速度和位置，假定時(shí)，.其中為與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)，、的單位分別為、.解：根據(jù)題意和牛頓第二定律，可列式：，整理可得二階微分方程：。令 下面分c為正負(fù)再做進(jìn)一步討論。當(dāng) ，可得： 一次求導(dǎo)，得到：當(dāng) ，可得： 一次求導(dǎo)，得到：2-12. 在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，摩擦系數(shù)為，在時(shí)，球的速率為，求任一時(shí)刻球的速率和運(yùn)動(dòng)路程。 解：在法向上有 而 在切向上有 由上面三個(gè)式子可得 思考題2-1. 質(zhì)量為m的小球，放在光滑的木板和光滑的墻壁之間，并保持平衡，如圖所示設(shè)木板和墻壁之間的夾角為a，當(dāng)a逐漸增大時(shí)，小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓拷猓?/p>

8、假設(shè)墻壁對小球的壓力為N1，木板對小球的壓力為N2。由受力分析圖可知： 所以當(dāng)所以增大，小球?qū)δ景宓膲毫镹2將減小；同時(shí)： 所以增大，小球?qū)Ρ诘膲毫σ矞p小。2-2. 質(zhì)量分別為m1和m2的兩滑塊A和B通過一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為，系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示如突然撤消拉力，則剛撤消后瞬間，二者的加速度aA和aB分別為多少 ？解：分別對A，B進(jìn)行受力分析，由受力分析圖可知：所以2-3. 如圖所示，用一斜向上的力(與水平成30°角)，將一重為G的木塊壓靠在豎直壁面上，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說明木塊與壁面間的靜摩

9、擦系數(shù)m的大小為多少？解：假設(shè)墻壁對木塊的壓力為N，由受力分析圖可知： 整理上式，并且根據(jù)題意，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說明： 即當(dāng) 此式中F無論為多大，總成立，則可得：2-4. 質(zhì)量分別為和的滑塊和，疊放在光滑水平桌面上，如圖所示、間靜摩擦系數(shù)為，滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，系統(tǒng)原處于靜止今有一水平力作用于上，要使、不發(fā)生相對滑動(dòng)，則應(yīng)取什么范圍？解：根據(jù)題意，分別對A，B進(jìn)行受力分析，要使A，B不發(fā)生相對滑動(dòng)，必須使兩者具有相同的加速度，所以列式：可得：2-5. 如圖，物體A、B質(zhì)量相同，B在光滑水平桌面上滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計(jì)，滑輪與其軸之間的摩擦也不計(jì)系統(tǒng)無初速地

10、釋放，則物體A下落的加速度是多少？ 解：分別對A，B進(jìn)行受力分析，由受力分析圖可知：則可計(jì)算得到：2-6. 如圖所示，假設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑，軌道是光滑的，在從A至C的下滑過程中，下面哪個(gè)說法是正確的？ (A) 它的加速度大小不變，方向永遠(yuǎn)指向圓心。(B) 它的速率均勻增加。(C) 它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。(D) 它的合外力大小不變。(E) 軌道支持力的大小不斷增加。在下滑過程中，物體做圓周運(yùn)動(dòng)。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的說法不對；速率的增加由重力沿切線方向的分力提供，由于切線方向始終在改變，所以速率增加不均勻；外力有重力和支持力，后者的

11、大小和方向都在變化，所以合力的大小方向也在變化。C，D的說法都不對。下滑過程中的和v都在增大，所以N也在增大，則E的說法正確。2-7. 一小珠可在半徑為的豎直圓環(huán)上無摩擦地滑動(dòng)，且圓環(huán)能以其豎直直徑為軸轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)圓環(huán)以一適當(dāng)?shù)暮愣ń撬俣绒D(zhuǎn)動(dòng)，小珠偏離圓環(huán)轉(zhuǎn)軸而且相對圓環(huán)靜止時(shí)，小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為多大？解：根據(jù)題意，當(dāng)小珠能相對于圓環(huán)平衡時(shí)，其運(yùn)動(dòng)為繞Z軸的圓周運(yùn)動(dòng)，假設(shè)小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為，可列式： 所以，可得：2-8. 幾個(gè)不同傾角的光滑斜面，有共同的底邊，頂點(diǎn)也在同一豎直面上（如圖所示）為使一物體（視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面上端由靜止滑到下端的時(shí)間最短，則斜面的傾角應(yīng)選(A) 60° (B) 45°(C) 30° (D) 15°解：根據(jù)題意，假設(shè)底邊長為s，斜面的傾角為，可列式： 當(dāng)=45。時(shí)，時(shí)間最短。2-9. 如圖所示，小球A用輕彈簧與輕繩系住；小球B用輕繩與系住，今剪斷繩和繩，在剛剪斷的瞬間，、球的加速度量值和方向是否相同？解：不同。對于a圖，在剪斷繩子的瞬間，彈簧的伸長沒有變化，所以彈簧的拉力F不變，A的加速度應(yīng)該是由重力和彈簧的拉力提供的合力T，所以： 所以加速度大小為：，方向?yàn)樗椒较颉τ赽圖，在剪斷繩子的瞬間，繩子