1、專題7 概率與離散型隨機變量的分布列一. 本周教學內容： 專題7 概率與離散型隨機變量的分布列 （一）考點提要： 概率簡單題的基本類型大致有三類，分別以等可能性事件，相互獨立事件或獨立重復試驗為載體，而事件的互斥，對立的關系滲透在上述基本類型中，概率綜合問題是上述基本類型的混合。 離散型隨機變量是建立在等可能性事件，互相獨立事件或獨立重復試驗的基礎上，并求離散型隨機變量的分布列，期望與方差。 解決概率問題，關鍵要能分清楚概型，正確使用好排列、組合工具，列出隨機變量的所有取值并求出相應的概率P（），列出分布列，尤其要揭示問題中的隱含條件，靈活運用“正難則反”的思考方法。 （二

2、）知識串講 1. 了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率。 如果一次試驗中可能出現的結果總數有n個，且所有的結果出現的可能性都相等，某事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率： 2. 了解互斥事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式計算一些事件的概率。 如果事件A、B互斥，那么P（AB）P（A）P（B），即兩個互斥事件至少有一個發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的和，它可以推廣為：n個互斥事件和的概率等于各個事件概率的和。 對立事件是互斥事件且概率的和等于1，即： 當兩個事件A、B不互斥時，往往利用對立事件的方法解決，即： 3. 了解相互獨立事件的意義，會用

3、相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率。 如果事件A、B相互獨立，那么P（A·B）P（A）·P（B），即兩個獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積。也可推廣為：n個相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積。 4. 會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率。 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為： 5. 了解隨機變量，離散型隨機變量的意義，會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列及其期望和方差。 如果離散型隨機變量的取值為x1，x2，xn，且取每個值xi（i1，2）的概率為： 則稱： 為隨機

4、變量的概率分布列。 它有性質： （1）Pi0；（2）P1P21 的數學期望為： 的方差為： 如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是： 則稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作B（n，P），且EnP，DnPq（q1P）  【典型例題】（一）概率題的基本類型 例1. （1）從裝有3個白球，4個紅球的箱子中，把球一個一個地取出來，到第五個恰好把白球全部取出來的概率是（ ） 解：為“第五個恰好把白球全部取出”，即取出的五個球中有3個白球，且第五次為白球，共 故選C 說明：本題為等可能概型，注意分子、分母的一致性。 （2）如圖，A、B、C、D為海

5、上的4個小島，現可在任兩個島之間建一座橋，若只建其中的三座，則能把這四個小島連結起來的概率為_。 解： 不能讓四個島連結起來是指三座橋僅連結了其中的三個島，而第四個島孤立，共有 故所求概率為： 說明：“能把四個小島連結起來”，從正面分析可分為兩類，第一類是“中心型”，如： 有4種 另一類是“直線型”，如：ABCD 共16種。 （3）甲、乙兩人同時報考一所大學，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否錄取互不影響，則其中至少一人被錄取的概率為（ ） A. 0.12B. 0.42C. 0.46D. 0.88 解：設甲、乙被錄取分別為A、B事件，A、B相互獨立，則甲、乙至少一人被錄

6、0.88 故選D 或者利用對立事件概率的關系，得 說明：立。 （4）設在4次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的概率相同，若已知事件A至少發(fā)生一 解：在4次獨立重復試驗中，設每次事件A發(fā)生的概率為P，則4次試驗中至少發(fā)生一次的概率為： 故選A 說明：本題為n次獨立重復試驗，恰好發(fā)生k次的概型，本題4次獨立重復試驗中，至少發(fā)生一次，是指恰好發(fā)生1，2，3，4次，或看成是A不發(fā)生即A發(fā)生0次的對立事件，解本題采用后一種方法。 （二）概率綜合題 例2. 從10位同學（其中6女，4男）中，隨機選出3位參加測驗，每位女同學能通過 （1）選出的3位同學中至少有一位男同學的概率； （2）10位同學中的女同

7、學甲和乙及男同學丙同時被抽到，且三人中恰有二人通過測驗的概率。 解：（1）選出的三位同學中“至少有一位男同學”的對立事件是“沒有男同學”，記為事件A，則 （2）女生甲、女生乙，男生丙同時被選中（記為事件B），則 這三人中恰有二人通過記為事件C，（是指恰有兩女生通過，恰有一女一男通過） 故所求概率為： 點評：第二問中“女同學甲、乙及男同學丙被選中”與“三人中恰有二人通過測驗”是相互獨立事件，故可以分別求出它們的概率后再相乘。  例3. 某種電子玩具按下按鈕后，會出現紅球或綠球，已知按鈕第一次按下后，出現紅球 （1）求P2的值； （2）當nN，n2時，求用Pn-1表示Pn的表達式； （3

8、）求Pn關于n的表達式。 解：（1）P2是“第二次按下按鈕后出現紅球”。 若第一次，第二次均出現紅球，則概率為： 第一次出現綠球，第二次出現紅球的概率為： 故所求概率為： （2）第n1次按下按鈕出現紅球的概率為： 則出現綠球的概率為： 若第n1次，第n次均出現紅球，其概率為： 若第n1次，第n次依次出現綠球，紅球，其概率為： （3）由（2）   例4. 在相同功能的四個元件組成的電路（如圖）中，串聯的兩個元件都正常工作時該線路正常工作，并聯的兩個線路至少有一個正常工作時，該電路正常工作。 （1）若A、B、C、D正常工作的概率分別為0.5，0.6，0.7，0.8，求該電路正常工作的概率

9、。 （2）若將四個正常工作的概率分別為P1，P2，P3，P4（0<P1<P2<P3<P4）的元件P1，P2，P3，P4按任意次序裝在A、B、C、D四個位置上，試給出一個方案，使電路正常工作的概率最大，并證明你的結論。 解： 0.5×0.60.3 0.7×0.80.56 故該電路正常工作的概率為： （2）因為線路上兩個元件的排列順序不影響該線路正常工作的概率，故不等效的方案至多有： 又上、下兩條線路是對稱的，故不等效的方案至多有3種，如下圖： 它們正常工作的概率如下： 同理可證P甲>P丙，因此甲方案電路正常工作的概率最大。 （三）離散型

10、隨機變量的期望與方差 例5. 一同學上學途中必須經過A、B、C、D四個交通崗，其中在A、B崗遇到紅的事件是獨立的，表示他遇到紅燈的次數。 （1）若3，就會遲到，求該學生不遲到的概率； （2）求E 解：（1）的可能取值為0，1，2，3，4，3表示該同學在A、B以及C、D之一遇紅燈或在A、B之一和C、D遇紅燈。 故該同學不遲到的概率為： 隨機變量的分布列為：   例6. 某射手進行射擊練習，每射擊5發(fā)子彈算一組，一旦命中就停止射擊，并進入下一組練習，否則一直打完5發(fā)子彈才能進入下一組練習，已知他每射擊一次的命中率為0.8，且各次射擊是否命中互不影響。 （1）求在一組練習中耗用子彈數的分布

11、列，并求出的數學期望； （2）求在完成連續(xù)兩組練習后，恰好共耗用4發(fā)子彈的概率。 解：（1）一組練習中耗用的子彈數的可能取值為1，2，3，4，5，1表示一發(fā)即中，故P（1）0.8，2表示第一發(fā)未中，第二發(fā)擊中，故 3表示第一、二發(fā)未中，第三發(fā)擊中 4表示前三發(fā)未中，第四發(fā)擊中 （注：射擊5次等價于前4次未擊中或(1-0.8)4×0.8+(1-0.8)4(1-0.8)=(1-0.8)4×1） 的分布列為： （2） 兩組練習共耗用4發(fā)子彈的情況如圖，故所求概率為： 因此，在連續(xù)兩組射擊后，恰耗4發(fā)子彈的概率為0.0768。  例7. 在12個同類型的零件中有2個次品，

12、抽取3次進行檢驗，每次任取一個，并且取出不再放回，若以和分別表示取出次品和正品的個數 （1）求的分布列，期望值及方差； （2）求的分布列，期望值及方差。 解：（1）的可能取值為0，1，2 ， （本問題抽取樣本連續(xù)抽取3次，也可認為一次抽取3個，所以： ） 的分布列為： 的數學期望為： 方差為： （2）的可能取值為1，2，3，且3 的分布列為： 注：通過本題復習相關變量的期望與方差的關系，E(a+b)aE+b，D(a+b)a2·D。  例8. 在2004年雅典奧運會上，中國女排與俄羅斯女排以“五局三勝”制進行決賽，根勝了第一局，求： （1）中國女排在這種情況下取勝的概率； （

13、2）設比賽局數為，求的分布列及E（均用分數作答） 解：（1）因為第一局俄羅斯女排先勝一局，故在剩下的4局中，中國女排或連勝3局，或在第2，3，4局中勝2局且第五局勝。 所以，中國女排取勝的概率為： （2）比賽局數即某一方取勝時所比賽的局數 則的可能取值為3，4，5，3即比賽3局結束，因為俄方先勝一局，故以下兩局應為俄方連勝，所以： 4即比賽4局結束，有兩種可能一種是中方連勝3局，另一種是俄方在2，3兩局中勝1局且第四局也勝，所以 5即比賽5局結束，在下面的四局中，中方勝則第5局中方勝，在第2，3，4局中，中方勝2局；或俄方勝，第5局俄方勝，在第2，3，4局中俄方勝1局，所以 所以比賽局數的分布

14、列為：  【模擬試題】 1. 一次投擲兩顆骰子，求出現的點數之和為奇數的概率。 2. 一個自動報警器由雷達和計算機兩個部分組成，兩部分有任何一個失靈，這個報警器就失靈。若使用100小時后，雷達部分失靈的概率為0.1，計算機失靈的概率為0.3，若兩部分失靈與否是獨立的，求這個報警器使用100小時而不失靈的概率。 3. 對同一目標進行3次射擊，第1、第2、第3次射擊的命中概率分別為0.4、0.5、0.7，求： （1）在這3次射擊中，恰好有1次擊中目標的概率； （2）在這3次射擊中，至少有1次擊中目標的概率。 4. 已知A、B、C為三個相互獨立事件，若事件A發(fā)生的概率為，事件B發(fā)生的概率為

15、，事件C發(fā)生的概率為，求下列事件的概率： （1）事件A、B、C都不發(fā)生； （2）事件A、B、C不都發(fā)生； （3）事件A發(fā)生且B、C恰好發(fā)生一個 5. 甲、乙兩個乒乓球運動員進行乒乓球單打比賽，已知每一局甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4。 （1）賽滿3局，甲勝2局的概率是多少？ （2）若比賽采用三局二勝制，先贏兩局為勝，求甲獲勝的概率。 6. 某種項目的射擊比賽規(guī)則是：開始時在距目標100m處射擊，如果命中記3分，同時停止射擊；若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但目標已在150m遠處，這時命中記2分，同時停止射擊；若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時目標已在200m遠處，

16、若第三次命中則記1分，同時停止射擊；若三次都未命中，則記0分，已知射手甲在100m處擊中目標的概率為，他命中目標的概率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的。 （1）求射手甲在200m處命中目標的概率； （2）設射手甲得k分的概率為P0，求P3，P2，P1，P0的值； （3）求射手甲在三次射擊中擊中目標的概率。 7. 袋子里有大小相同的3個紅球和4個黑球，今從袋子里隨機取出4個球。 （1）求取出的紅球數的概率分布列和數學期望； （2）若取出每個紅球得2分，取出每個黑球得1分，求得分不超過5分的概率。 8. 有甲、乙兩個盒子，甲盒子中有8張卡片，其中兩張寫有數字0，三張寫有數字1，三張寫

17、有數字2；乙盒子中有8張卡片，其中三張寫有數字0，兩張寫有數字1，三張寫有數字2。 （1）如果從甲盒子中取兩張卡片，從乙盒子中取一張卡片，那么取出的3張卡片都寫有1的概率是多少？ （2）如果從甲、乙兩個盒子中各取一張卡片，設取出的兩張卡片數字之和為，求的分布列和期望值。 9. 一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有6個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是。 （1）設為這名學生在途中遇到紅燈的次數，求的分布列； （2）設為這名學生在首次停車前經過的路口數，求的分布列； （3）求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率。 10. 某公司“咨詢熱線”電話共有8路外線，經

18、長期統(tǒng)計發(fā)現，在8點到10點這段時間內，外線電話同時打入情況如下表所示： （1）若這段時間內，公司只安排了2位接線員（一個接線員一次只能接一個電話）。 （I）求至少一種電話不能一次接通的概率； （II）在一周五個工作日中，如果至少有三個工作日的這段時間（8點至10點）內至少一路電話不能一次接通，那么公司的形象將受到損害，現用該事件的概率表示公司形象的“損害度”，求上述情況下公司形象的“損害度”。 （2）求一周五個工作日的這段時間（8點至10點）內，電話同時打入數的期望。【試題答案】 1. 基本事件共有6×636種，出現點數之和為奇數。第一次出現奇數且第二次出現偶數有3×3種

19、，第一次出現偶數，第二次出現奇數有3×3種，所求概率為： 2. 記使用100小時雷達失靈的概率為A，計算機失靈的概率為B，則 3. 記第i次命中為Ai，i1，2，3，則 （1） （2） 4. 記“A發(fā)生”為事件A，“B發(fā)生”為事件B，“C發(fā)生”為事件C （1） （2） （3） 5. 記甲勝一局的概率P0.6 （1）賽滿3局，甲勝兩局的概率為 （2）先勝兩局為勝是指“連勝兩局”或“三局前兩局勝一局且第三局勝”，則甲獲勝的概率為： 6. （1）令射手甲在xm處命中目標的概率為P(x)，則 當x100時， 當x200m時，即射手甲在200米處命中目標的概率為 （2）由（1）時， （3） 7. （1） （2）當且僅當取出4個黑球或3個黑球一個白球得分不超過5分 8. （1） （2） 分布列： 9. （1），的分布列為 （2）由于表示該學生首次停車時經過的路口數，取值為0，1，2，3，4，5，其中（k0，1，5）表示前k個路口沒遇紅燈，但在k1個路口遇紅燈，故，而表示一路上沒遇紅燈， 的分布列略 （3） 10. （1）（I）已安排2位接線員，從3路開始不能一次接通，至少一路電話