1、第七章立體幾何初步第一節空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖【知識梳理】【知識梳理】1.1.必會知識必會知識 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)空間幾何體的結構特征空間幾何體的結構特征. .多面體的結構特征多面體的結構特征: :平行且相等平行且相等全等全等公共點公共點平行于底面平行于底面相似相似多邊多邊旋轉體的結構特征旋轉體的結構特征: :幾何體幾何體旋轉圖形旋轉圖形旋轉軸旋轉軸圓柱圓柱矩形矩形_所在的直線所在的直線圓錐圓錐直角三角形直角三角形_所在的直線所在的直線圓臺圓臺直角梯形直角梯形_所在的直線所在的直線球球半圓半圓_所在的直線所在的直線任一邊任一邊任一直角邊任一直角邊垂直于底邊的腰

2、垂直于底邊的腰直徑直徑(2)(2)空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖. .三視圖的形成與名稱三視圖的形成與名稱: :()()形成形成: :空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的, ,在這種投影之下在這種投影之下, ,與投影面平行的平面圖形留下的影子與投影面平行的平面圖形留下的影子, ,與平面圖形的與平面圖形的_和和_是完是完全相同的全相同的; ;()()名稱名稱: :三視圖包括三視圖包括_、_、_._.形狀形狀大小大小正視圖正視圖側視圖側視圖俯視圖俯視圖三視圖的畫法三視圖的畫法: :()()在畫三視圖時在畫三視圖時, ,重疊的線只畫一條重疊的線只畫一條, ,

3、擋住的線要畫成擋住的線要畫成_._.()()三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的_方、方、_方、方、_方觀察幾何體畫出的輪廓線方觀察幾何體畫出的輪廓線. .虛線虛線正前正前正左正左正上正上(3)(3)空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖. .空間幾何體的直觀圖常用空間幾何體的直觀圖常用_畫法來畫畫法來畫, ,基本步驟是基本步驟是: :畫幾何體的底面畫幾何體的底面: :在已知圖形中取互相垂直的在已知圖形中取互相垂直的x x軸、軸、y y軸軸, ,兩軸相交于點兩軸相交于點O,O,畫直觀圖時畫直觀圖時, ,把把它們畫成對應的它們畫成對應的xx軸

4、、軸、yy軸軸, ,兩軸相交于點兩軸相交于點O,O,且使且使xOyxOy=_,=_,已知圖形中平行于已知圖形中平行于x x軸的線段軸的線段, ,在直觀圖中長度在直觀圖中長度_,_,平行于平行于y y軸的線段軸的線段, ,長度長度_._.斜二測斜二測4545( (或或135135) )不變不變減半減半畫幾何體的高畫幾何體的高: :在已知圖形中過在已知圖形中過O O點作點作z z軸垂直于軸垂直于xOyxOy平面平面, ,在直觀圖中對應的在直觀圖中對應的zz軸軸, ,也也垂直于垂直于xOyxOy平面平面, ,已知圖形中平行于已知圖形中平行于z z軸的線段軸的線段, ,在直觀圖中仍平在直觀圖中仍平行于

5、行于zz軸且長度軸且長度_._.不變不變2.2.必備結論必備結論 教材提煉記一記教材提煉記一記(1)(1)正棱柱、正棱錐的結構特征正棱柱、正棱錐的結構特征: :正棱柱正棱柱: :側棱側棱_于底面的棱柱叫做直棱柱于底面的棱柱叫做直棱柱, ,底面是底面是_的的直棱柱叫做正棱柱直棱柱叫做正棱柱. .反之反之, ,正棱柱的底面是正棱柱的底面是_,_,側棱側棱_于底于底面面, ,側面是矩形側面是矩形. .正棱錐正棱錐: :底面是正多邊形底面是正多邊形, ,頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐的棱錐叫做正棱錐. .特別地特別地, ,各棱各棱_的正三棱錐叫

6、正四面體的正三棱錐叫正四面體. .垂直垂直正多邊形正多邊形正多邊形正多邊形垂直垂直均相等均相等(2)(2)簡單組合體的結構特征簡單組合體的結構特征: :由簡單幾何體由簡單幾何體_或或_或或_一部分而成一部分而成. .(3)(3)三視圖的長度特征三視圖的長度特征: :一個幾何體的三視圖一個幾何體的三視圖_平齊、平齊、_對正、對正、_相等相等. .3.3.必用技法必用技法 核心總結看一看核心總結看一看(1)(1)三視圖與直觀圖互相轉換的方法三視圖與直觀圖互相轉換的方法. .(2)(2)數學思想數學思想: :轉化與化歸思想轉化與化歸思想. .拼接拼接截去截去挖去挖去高高長長寬寬【小題快練】【小題快練

7、】1.1.思考辨析思考辨析 靜心思考判一判靜心思考判一判(1)(1)底面是正方形的四棱柱為正四棱柱底面是正方形的四棱柱為正四棱柱.(.() )(2)(2)有一個面是多邊形有一個面是多邊形, ,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(.() )(3)(3)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱.(.() )(4)(4)用斜二測畫法畫水平放置的用斜二測畫法畫水平放置的AA時時, ,若若AA的兩邊分別平行于的兩邊分別平行于x x軸和軸和y y軸軸, ,且且A=90A=90, ,則在直觀圖中則在直觀圖中,A=45,A=45.(.()

8、 )(5)(5)正方體、球、圓錐各自的三視圖中正方體、球、圓錐各自的三視圖中, ,三視圖均相同三視圖均相同.(.() )【解析】【解析】(1)(1)錯誤錯誤. .因為側棱不一定與底面垂直因為側棱不一定與底面垂直. .(2)(2)錯誤錯誤. .盡管幾何體滿足了一個面是多邊形盡管幾何體滿足了一個面是多邊形, ,其余各面都是三角形其余各面都是三角形, ,但但不能保證三角形具有公共頂點不能保證三角形具有公共頂點. .(3)(3)錯誤錯誤. .因為兩個平行截面不能保證與底面平行因為兩個平行截面不能保證與底面平行. .(4)(4)錯誤錯誤.A.A應為應為4545或或135135. .(5)(5)錯誤錯誤.

9、 .正方體的三視圖由于正視的方向不同正方體的三視圖由于正視的方向不同, ,其三視圖的形狀可能其三視圖的形狀可能不同不同, ,圓錐的側視圖與俯視圖顯然不相同圓錐的側視圖與俯視圖顯然不相同. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)2.2.教材改編教材改編 鏈接教材練一練鏈接教材練一練(1)(1)(必修必修2P10T12P10T1改編改編) )如圖如圖, ,長方體長方體ABCD-ABCDABCD-ABCD中被截去一部分中被截去一部分, ,其中其中EHAD.EHAD.剩下的幾何體剩下的幾何體是是( () )A.A.棱臺棱臺 B.B.四棱柱四棱柱C.C.五棱柱五棱柱

10、 D.D.簡單組合體簡單組合體【解析】【解析】選選C.C.由空間幾何體的結構特征知由空間幾何體的結構特征知, ,該剩下部分為五棱柱該剩下部分為五棱柱ABFEA-DCGHD.ABFEA-DCGHD.(2)(2)(必修必修2P21T2(4)2P21T2(4)改編改編) )若某幾何體的三視圖如圖所示若某幾何體的三視圖如圖所示, ,則該幾何體則該幾何體為為. .【解析】【解析】由三視圖知該幾何體為上面為一圓柱由三視圖知該幾何體為上面為一圓柱, ,下面為一四棱柱組合下面為一四棱柱組合而成的簡單組合體而成的簡單組合體. .答案答案: :四棱柱與圓柱組合而成的簡單組合體四棱柱與圓柱組合而成的簡單組合體3.3

11、.真題小試真題小試 感悟考題試一試感悟考題試一試(1)(2014(1)(2014江西高考江西高考) )一幾何體的直觀圖如圖所示一幾何體的直觀圖如圖所示, ,下列給出的四個俯下列給出的四個俯視圖中正確的是視圖中正確的是( () )【解析】【解析】選選B.B.因為俯視圖是幾何體在下底面上的投影因為俯視圖是幾何體在下底面上的投影, ,所以選所以選B.B.(2)(2013(2)(2013四川高考四川高考) )一個幾何體的三視圖如圖所示一個幾何體的三視圖如圖所示, ,則該幾何體可以則該幾何體可以是是( () )A.A.棱柱棱柱B.B.棱臺棱臺C.C.圓柱圓柱D.D.圓臺圓臺【解題提示】【解題提示】本題考

12、查的是幾何體的三視圖本題考查的是幾何體的三視圖, ,在判斷時要結合三種視在判斷時要結合三種視圖進行判斷圖進行判斷. .【解析】【解析】選選D.D.根據幾何體的三視圖中正視圖與側視圖一致且為梯形根據幾何體的三視圖中正視圖與側視圖一致且為梯形, ,并且俯視圖是兩個圓并且俯視圖是兩個圓, ,可知只有選項可知只有選項D D適合適合, ,故選故選D.D.(3)(2015(3)(2015珠海模擬珠海模擬) )利用斜二測畫法得到的利用斜二測畫法得到的: :三角形的直觀圖一定是三角形三角形的直觀圖一定是三角形; ;正方形的直觀圖一定是菱形正方形的直觀圖一定是菱形; ;等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形等腰梯形的

13、直觀圖可以是平行四邊形; ;菱形的直觀圖一定是菱形菱形的直觀圖一定是菱形. .以上結論正確的個數是以上結論正確的個數是. .【解析】【解析】由斜二測畫法的規則可知由斜二測畫法的規則可知正確正確; ;錯誤錯誤, ,是一般的平行四邊是一般的平行四邊形形; ;錯誤錯誤, ,等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形; ;而菱形的直觀圖而菱形的直觀圖也不一定是菱形也不一定是菱形, ,也錯誤也錯誤. .答案答案: :1 1考點考點1 1 空間幾何體的結構特征空間幾何體的結構特征【典例【典例1 1】(1)(1)下列說法正確的是下列說法正確的是( () )A.A.有兩個平面互相平行

14、有兩個平面互相平行, ,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B.B.四棱錐的四個側面都可以是直角三角形四棱錐的四個側面都可以是直角三角形C.C.有兩個平面互相平行有兩個平面互相平行, ,其余各面都是梯形的多面體是棱臺其余各面都是梯形的多面體是棱臺D.D.棱臺的各側棱延長后不一定交于一點棱臺的各側棱延長后不一定交于一點(2)(2)以下命題以下命題: :以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐; ;以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺; ;圓柱、圓錐、

15、圓臺的底面都是圓圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓; ;一個平面截圓錐一個平面截圓錐, ,得到一個圓錐和一個圓臺得到一個圓錐和一個圓臺. .其中正確命題的個數為其中正確命題的個數為( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解題提示】【解題提示】(1)(1)根據棱柱、棱錐、棱臺的結構特征進行判斷根據棱柱、棱錐、棱臺的結構特征進行判斷. .(2)(2)根據圓柱、圓錐、圓臺的結構特征進行判斷根據圓柱、圓錐、圓臺的結構特征進行判斷. .【規范解答】【規范解答】(1)(1)選選B.AB.A錯錯, ,如圖如圖1;B1;B正確正確, ,如圖如圖2,2,其中底面其中底面ABCDABCD是矩形是矩

16、形, ,可證明可證明PAB,PCBPAB,PCB都是直角都是直角, ,這樣四個側面都是直角三角形這樣四個側面都是直角三角形;C;C錯錯, ,如如圖圖3;D3;D錯錯, ,由棱臺的定義知由棱臺的定義知, ,其側棱必相交于同一點其側棱必相交于同一點. .(2)(2)選選B.B.命題命題錯錯, ,因為這條邊若是直角三角形的斜邊因為這條邊若是直角三角形的斜邊, ,則得不到圓錐則得不到圓錐; ;命題命題錯錯, ,因為這條腰必須是垂直于兩底的腰因為這條腰必須是垂直于兩底的腰; ;命題命題對對; ;命題命題錯錯, ,必必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以. .【規律方法

17、】【規律方法】解決與空間幾何體結構特征有關問題的技巧解決與空間幾何體結構特征有關問題的技巧(1)(1)熟悉空間幾何體的結構特征熟悉空間幾何體的結構特征, ,依據條件構建幾何模型依據條件構建幾何模型, ,在條件不變在條件不變的情況下的情況下, ,變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素, ,然后再依然后再依據題意判定據題意判定. .(2)(2)利用反例對結構特征進行辨析利用反例對結構特征進行辨析, ,即要說明某個命題是錯誤的即要說明某個命題是錯誤的, ,只要只要舉出一個反例即可舉出一個反例即可. .【變式訓練】【變式訓練】給出下列命題給出下列命題: :

18、棱柱的側棱都相等棱柱的側棱都相等, ,側面都是全等的平行四邊形側面都是全等的平行四邊形; ;用一個平面去截棱錐用一個平面去截棱錐, ,棱錐底面與截面之間的部分是棱臺棱錐底面與截面之間的部分是棱臺; ;若三棱錐的三條側棱兩兩垂直若三棱錐的三條側棱兩兩垂直, ,則其三個側面也兩兩垂直則其三個側面也兩兩垂直; ;若四棱柱有兩個過相對側棱的截面都垂直于底面若四棱柱有兩個過相對側棱的截面都垂直于底面, ,則該四棱柱為直則該四棱柱為直四棱柱四棱柱; ;存在每個面都是直角三角形的四面體存在每個面都是直角三角形的四面體; ;棱臺的側棱延長后交于一點棱臺的側棱延長后交于一點. .其中正確命題的序號是其中正確命題

19、的序號是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】選選C.C.錯誤錯誤, ,因為棱柱的側面不一定是全等的因為棱柱的側面不一定是全等的平行四邊形平行四邊形; ;錯誤錯誤, ,必須用平行于底面的平面去截棱必須用平行于底面的平面去截棱錐錐, ,才能得到棱臺才能得到棱臺; ;正確正確, ,根據面面垂直的判定定理判根據面面垂直的判定定理判斷斷; ;正確正確, ,因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱, ,又垂直于又垂直于底面底面; ;正確正確, ,如圖所示如圖所示, ,正方體正方體ACAC1 1中的三棱錐中的三棱錐C C1 1-ABC,-ABC

20、,四個面都是直四個面都是直角三角形角三角形; ;正確正確, ,由棱臺的概念可知由棱臺的概念可知. .因此因此, ,正確命題的序號是正確命題的序號是. .【加固訓練】【加固訓練】(2015(2015北京模擬北京模擬) )下列結論正確的是下列結論正確的是( () )A.A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸, ,其余兩邊旋轉形成的曲面所其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐圍成的幾何體叫圓錐C.C.棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等, ,則此棱錐可能是六棱錐則

21、此棱錐可能是六棱錐D.D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線【解析】【解析】選選D.AD.A錯誤錯誤, ,如圖所示如圖所示, ,由兩個結構相同的三棱由兩個結構相同的三棱錐疊放在一起構成的幾何體錐疊放在一起構成的幾何體, ,各面都是三角形各面都是三角形, ,但它不但它不是三棱錐是三棱錐; ;B B錯誤錯誤, ,如圖如圖, ,若若ABCABC不是直角三角形或是直角不是直角三角形或是直角三角形三角形, ,但旋轉軸不是直角邊但旋轉軸不是直角邊, ,所得的幾何體都所得的幾何體都不是圓錐不是圓錐; ;C C錯誤錯誤, ,若六棱錐的所有棱長都相等若六

22、棱錐的所有棱長都相等, ,則底面多邊形是正六邊形則底面多邊形是正六邊形. .由幾何由幾何圖形知圖形知, ,若以正六邊形為底面若以正六邊形為底面, ,側棱長必然要大于底面邊長側棱長必然要大于底面邊長. .考點考點2 2 空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖知知考情考情空間幾何體三視圖的確認與應用是高考考查空間幾何體的一個重空間幾何體三視圖的確認與應用是高考考查空間幾何體的一個重要考向要考向, ,常與空間幾何體的結構特征、直觀圖、表面積與體積等知識常與空間幾何體的結構特征、直觀圖、表面積與體積等知識綜合綜合, ,以選擇題、填空題的形式出現以選擇題、填空題的形式出現. .明明角度角度命題角度命題角度

23、1:1:根據幾何體的結構特征確認其三視圖根據幾何體的結構特征確認其三視圖【典例【典例2 2】(2015(2015廈門模擬廈門模擬) )如圖所示如圖所示, ,正方體正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,E為棱為棱BBBB1 1的中點的中點, ,若用過點若用過點A,E,CA,E,C1 1的平面截去該正方體的上半部分的平面截去該正方體的上半部分, ,則剩余則剩余幾何體的側視圖為幾何體的側視圖為( () )【解題提示】【解題提示】結合原正方體先確定剩余幾何體的形狀結合原正方體先確定剩余幾何體的形狀, ,再確認其側視再確認其側視圖圖. .【規范解答】【規范解答

24、】選選C.C.設過點設過點A,E,CA,E,C1 1的截面與棱的截面與棱DDDD1 1相交于點相交于點F,F,且且F F是棱是棱DDDD1 1的中點的中點, ,該正方體截去上半部分后該正方體截去上半部分后, ,剩余幾何體如圖所示剩余幾何體如圖所示, ,則它的側視則它的側視圖應選圖應選C.C.【易錯警示】【易錯警示】解答本題有兩點易出錯解答本題有兩點易出錯: :(1)(1)將剩余的幾何體搞錯將剩余的幾何體搞錯, ,錯誤認為截面過錯誤認為截面過D D1 1點而誤選點而誤選B B或或D.D.(2)(2)將剩余幾何體確認正確將剩余幾何體確認正確, ,但將但將ECEC1 1的投影搞錯而誤選的投影搞錯而誤

25、選A.A.命題角度命題角度2:2:根據三視圖還原直觀圖根據三視圖還原直觀圖( (幾何體的結構特征幾何體的結構特征) )【典例【典例3 3】(2014(2014新課標全國卷新課標全國卷)如圖所示如圖所示, ,網格紙的各小格都是正網格紙的各小格都是正方形方形, ,粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖, ,則這個幾何體是則這個幾何體是( () )( (本題源于教材必修本題源于教材必修2P15T4)2P15T4)A.A.三棱錐三棱錐B.B.三棱柱三棱柱C.C.四棱錐四棱錐D.D.四棱柱四棱柱【解題提示】【解題提示】結合三視圖進行判斷結合三視圖進行判斷, ,特別注意垂直關系的

26、轉化特別注意垂直關系的轉化. .【規范解答】【規范解答】選選B.B.將三視圖還原為幾何體即可將三視圖還原為幾何體即可. .如圖所示如圖所示, ,幾何體為三幾何體為三棱柱棱柱. .悟悟技法技法1.1.根據幾何體確認三視圖的技巧根據幾何體確認三視圖的技巧由實物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖由實物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖, ,按照按照“正側一樣高正側一樣高, ,正俯一樣長正俯一樣長, ,俯側一樣寬俯側一樣寬”的特點確認的特點確認. .2.2.根據三視圖還原幾何體的技巧策略根據三視圖還原幾何體的技巧策略(1)(1)對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉. .(2)(2)明確三視圖的

27、形成原理明確三視圖的形成原理, ,并能結合空間想象將三視圖還原為直觀圖并能結合空間想象將三視圖還原為直觀圖. .(3)(3)遵循遵循“長對正、高平齊、寬相等長對正、高平齊、寬相等”的原則的原則. .提醒提醒: :對于簡單組合體的三視圖對于簡單組合體的三視圖, ,首先要確定正視、側視、俯視的方向首先要確定正視、側視、俯視的方向, ,其次要注意組合體由哪些幾何體組成其次要注意組合體由哪些幾何體組成, ,弄清它們的組成方式弄清它們的組成方式, ,特別應注特別應注意它們的交線的位置意它們的交線的位置, ,區分好實線和虛線的不同區分好實線和虛線的不同. .通通一類一類1.(20151.(2015天津模擬

28、天津模擬) )一個正方體截去兩個角后所得幾何體的正視圖、一個正方體截去兩個角后所得幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示俯視圖如圖所示, ,則其側視圖為則其側視圖為( () )【解析】【解析】選選C.C.根據一個正方體截去兩個角后所得幾何體的正視圖、俯根據一個正方體截去兩個角后所得幾何體的正視圖、俯視圖可得幾何體的直觀圖為視圖可得幾何體的直觀圖為: :所以側視圖為所以側視圖為: .: .2.(20132.(2013湖南高考湖南高考) )已知正方體的棱長為已知正方體的棱長為1,1,其俯視圖是一個面積為其俯視圖是一個面積為1 1的正方形的正方形, ,側視圖是一個面積為側視圖是一個面積為 的矩形的矩形, ,

29、則該正方體的正視圖的面則該正方體的正視圖的面積等于積等于( () ) 【解析】【解析】選選D.D.由題知此正方體的正視圖與側視圖是一樣的由題知此正方體的正視圖與側視圖是一樣的, ,正視圖的正視圖的面積與側視圖的面積相等面積與側視圖的面積相等, ,為為 . .2321A. B.1 C. D. 22223.(20153.(2015威海模擬威海模擬) )一空間幾何體的三視圖如圖所示一空間幾何體的三視圖如圖所示, ,則此空間幾何體的直觀圖為則此空間幾何體的直觀圖為( () )【解析】【解析】選選A.A.由正視圖與俯視圖知由正視圖與俯視圖知, ,上部的三棱錐的頂點應在棱的中上部的三棱錐的頂點應在棱的中點

30、處點處. .選選A.A.4.(20154.(2015鄭州模擬鄭州模擬) )一只螞蟻從正方體一只螞蟻從正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的頂點的頂點A A處出發處出發, ,經正方體的表面經正方體的表面, ,按最短路線爬行到達頂點按最短路線爬行到達頂點C C1 1位置位置, ,則下列圖形中可以則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖是表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】選選C.C.由已知得最短路線應有四條由已知得最短路線應有四條, ,其正視圖符合要求的只有其正視圖符合要求的只有. .故選

31、故選C.C.考點考點空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖【典例】【典例】(1)(2015(1)(2015宜春模擬宜春模擬) )已知正三角形已知正三角形ABCABC的邊長為的邊長為a,a,那么那么ABCABC的平面直觀圖的平面直觀圖ABCABC的面積為的面積為( () )22223366A.a B.a C.a D.a48816(2)(2)如圖所示如圖所示, ,四邊形四邊形ABCDABCD是一水平放置的是一水平放置的平面圖形的斜二測畫法的直觀圖平面圖形的斜二測畫法的直觀圖, ,在斜二測直觀圖在斜二測直觀圖中中, ,四邊形四邊形ABCDABCD是一直角梯形是一直角梯形,AB,ABCD,ADCD,CD

32、,ADCD,且且BCBC與與yy軸平行軸平行, ,若若AB=6,AB=6,DC=4,AD=2,DC=4,AD=2,則這個平面圖形的實際面積為則這個平面圖形的實際面積為. .【解題提示】【解題提示】(1)(1)先建立坐標系先建立坐標系, ,然后畫出然后畫出ABCABC的直觀圖的直觀圖ABC,ABC,求出求出ABCABC相關的邊相關的邊, ,確定其面積確定其面積. .(2)(2)按照斜二測畫法按照斜二測畫法, ,將直角梯形還原為平面圖形再求解將直角梯形還原為平面圖形再求解. .【規范解答】【規范解答】(1)(1)選選D.D.如圖如圖所示的實際圖形和直觀圖所示的實際圖形和直觀圖, ,由可知由可知,A

33、B=AB=a,OC= ,AB=AB=a,OC= 在圖中作在圖中作CDABCDAB于于D,D,則則CD= CD= 所以所以S SABCABC= ABCD= ABCD13OCa24，26O Ca.28 122166aaa .2816 (2)(2)根據斜二測畫法規則可知根據斜二測畫法規則可知: :該平面圖形是直角梯形該平面圖形是直角梯形, ,且且AB=6,CD=4.AB=6,CD=4.由于由于CB= AD=2 .CB= AD=2 .所以所以CB=4 .CB=4 .故平面圖形的實際面積為故平面圖形的實際面積為 (6+4)(6+4)4 =20 .4 =20 .答案答案: :202022212222【互動

34、探究】【互動探究】若本例若本例(1)(1)改為改為“A A1 1B B1 1C C1 1是邊長為是邊長為a a的正三角形的正三角形, ,且且A A1 1B B1 1C C1 1是是ABCABC的直觀圖的直觀圖”, ,則則ABCABC的面積為多少的面積為多少? ?【解析】【解析】如圖如圖, ,可知可知在在A A1 1D D1 1C C1 1中中, ,由正弦定理由正弦定理 得得x= a,x= a,所以所以S SABCABC= = axsin 45sin 120，62216a6aa .22 【規律方法】【規律方法】直觀圖畫法的關鍵與結論直觀圖畫法的關鍵與結論(1)(1)關鍵關鍵: :在斜二測畫法中在

35、斜二測畫法中, ,要確定關鍵點及關鍵線段要確定關鍵點及關鍵線段.“.“平行于平行于x x軸的軸的線段平行性不變線段平行性不變, ,長度不變長度不變; ;平行于平行于y y軸的線段平行性不變軸的線段平行性不變, ,長度減半長度減半.”.”(2)(2)結論結論: :按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖, ,其面積與原圖形其面積與原圖形的面積的關系的面積的關系:S:S直觀圖直觀圖= S= S原圖形原圖形. .24【變式訓練】【變式訓練】如圖如圖, ,正方形正方形OABCOABC的邊長為的邊長為1cm,1cm,它是水平放置的一個平它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖面

36、圖形的直觀圖, ,則原圖形的周長為則原圖形的周長為. .【解析】【解析】將直觀圖還原為平面圖形將直觀圖還原為平面圖形, ,如圖如圖. .可知還原后的圖形中可知還原后的圖形中OB=2 ,AB= OB=2 ,AB= 于是周長為于是周長為2 23+23+21=8(cm).1=8(cm).答案答案: :8cm8cm22212 23,【加固訓練】【加固訓練】1.1.如圖所示是水平放置三角形的如圖所示是水平放置三角形的直觀圖直觀圖,D,D是是ABCABC的的BCBC邊中點邊中點,AB,BC,AB,BC分別與分別與yy軸、軸、xx軸平行軸平行, ,則三條線段則三條線段AB,AD,ACAB,AD,AC中中(

37、() )A.A.最長的是最長的是AB,AB,最短的是最短的是ACACB.B.最長的是最長的是AC,AC,最短的是最短的是ABABC.C.最長的是最長的是AB,AB,最短的是最短的是ADADD.D.最長的是最長的是AC,AC,最短的是最短的是ADAD【解析】【解析】選選B.B.由條件知由條件知, ,原平面圖形中原平面圖形中ABABBC,BC,從而從而ABADAC.ABADAC.2.2.水平放置的水平放置的ABCABC的斜二測直觀圖如圖所示的斜二測直觀圖如圖所示, ,若若A A1 1C C1 1=2,=2,ABCABC的面積為的面積為2 ,2 ,則則A A1 1B B1 1的長為的長為. .【解析

38、】【解析】由直觀圖可知由直觀圖可知ACBC,BC=2BACBC,BC=2B1 1C C1 1,AC=2,AC=2,又因為又因為 ACBC=2 ,ACBC=2 ,所以所以BC=2 ,BC=2 ,則則B B1 1C C1 1= BC= ,= BC= ,所以所以 =2=22 2+( )+( )2 2-2-22 2 cos45cos45=2,=2,解得解得A A1 1B B1 1= .= .答案答案: : 21222122211A B22223.3.如圖所示如圖所示, ,梯形梯形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是一個平面圖形是一個平面圖形ABCDABCD的直觀圖的直觀圖. .若若A A

39、1 1D D1 1OO1 1y,Ay,A1 1B B1 1CC1 1D D1 1,A,A1 1B B1 1= C= C1 1D D1 1=2,A=2,A1 1D D1 1=O=O1 1D D1 1=1.=1.請畫出原來的平面幾何圖形的形狀請畫出原來的平面幾何圖形的形狀, ,并求原圖形的面積并求原圖形的面積. .23【解析】【解析】如圖如圖, ,建立直角坐標系建立直角坐標系xOy,xOy,在在x x軸上截取軸上截取OD=OOD=O1 1D D1 1=1;OC=O=1;OC=O1 1C C1 1=2.=2.在過點在過點D D的的y y軸的平行線上截取軸的平行線上截取DA=2DDA=2D1 1A A1 1