1、 二次函數經典難題（含精解）一選擇題（共1小題）1頂點為P的拋物線y=x22x+3與y軸相交于點A，在頂點不變的情況下，把該拋物線繞頂點P旋轉180°得到一個新的拋物線，且新的拋物線與y軸相交于點B，則PAB的面積為（）A1B2C3D6二填空題（共12小題）2作拋物線C1關于x軸對稱的拋物線C2，將拋物線C2向左平移2個單位，向上平移1個單位，得到的拋物線C的函數解析式是y=2（x+1）21，則拋物線C1所對應的函數解析式是_3拋物線關于原點對稱的拋物線解析式為_4將拋物線y=x2+1的圖象繞原點O旋轉180°，則旋轉后的拋物線解析式是_5如圖，正方形ABCD的頂點A、B與

2、正方形EFGH的頂點G、H同在一段拋物線上，且拋物線的頂點在CD上，若正方形ABCD邊長為10，則正方形EFGH的邊長為_6如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”在拋物線y=ax2+bx+c中，系數a、b、c為絕對值不大于1的整數，則該拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形的概率為_7拋物線y=ax2+bx+c經過直角ABC的頂點A（1，0），B（4，0），直角頂點C在y軸上，若拋物線的頂點在ABC的部（不包括邊界），則a的圍是_8已知拋物線y=x26x+a的頂點在x軸上，則a=_；若拋物線與

3、x軸有兩個交點，則a的圍是_9拋物線y=x22x+a2的頂點在直線y=2上，則a=_10若拋物線y=x22x+a2的頂點在直線x=2上，則a的值是_11若拋物線的頂點在x軸上方，則m的值是_12如圖，二次函數y=ax2+c圖象的頂點為B，若以OB為對角線的正方形ABCO的另兩個頂點A、C也在該拋物線上，則ac的值是_13拋物線y=ax2+bx1經過點（2，5），則代數式6a+3b+1的值為_三解答題（共17小題）14已知拋物線C1的解析式是y=2x24x+5，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，求拋物線C2的解析式15將拋物線C1：y=（x+1）22繞點P（t，2）旋轉180得到拋物線C2，若

4、拋物線C1的頂點在拋物線C2上，同時拋物線C2的頂點在拋物線C1上，求拋物線C2的解析式16如圖，拋物線y1=x2+2向右平移1個單位得到拋物線y2，回答下列問題：（1）拋物線y2的頂點坐標_；（2）陰影部分的面積S=_；（3）若再將拋物線y2繞原點O旋轉180°得到拋物線y3，求拋物線y3的解析式17已知拋物線L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的頂點P的坐標是，與y軸的交點是M（0，c）我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線（1）請直接寫出拋物線y=2x24x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：伴隨拋物線的

5、解析式_，伴隨直線的解析式_；（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=x23和y=x3，則這條拋物線的解析式是_；（3）求拋物線L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；（4）若拋物線L與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，x2x10，它的伴隨拋物線與x軸交于C、D兩點，且AB=CD請求出a、b、c應滿足的條件18設拋物線y=x2+2ax+b與x軸有兩個不同的交點（1）將拋物線沿y軸平移，使所得拋物線在x軸上截得的線段的長是原來的2倍，求平移所得拋物線的解析式；（2）通過（1）中所得拋物線與x軸的兩個交點及原拋物線的頂點作一條新的拋物

6、線，求新拋物線的表達式19已知拋物線C：y=ax2+bx+c（a0）過原點，與x軸的另一個交點為B（4，0），A為拋物線C的頂點（1）如圖1，若AOB=60°，求拋物線C的解析式；（2）如圖2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線C，求拋物線C、C的解析式；（3）在（2）的條件下，設A為拋物線C的頂點，求拋物線C或C上使得PB=PA的點P的坐標20如圖，已知拋物線y=ax2+bx+交x軸正半軸于A，B兩點，交y軸于點C，且CBO=60°，CAO=45°，求拋物線的解析式和直線BC的解析式21已知：如圖，拋物線y=x2+bx

7、+c經過直線y=x+3與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D（1）求此拋物線的解析式；（2）點M為拋物線上的一個動點，求使得ABM的面積與ABD的面積相等的點M的坐標22已知拋物線的頂點為P，與x軸正半軸交于點B，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C3的解析式23如圖，拋物線y=x2+bxc經過直線y=x3與坐標軸的兩個交點A，B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D（1）求此拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上的一個動點，求使SAPC：SACD=5

8、：4的點P的坐標24已知一拋物線經過O（0，0），B（1，1）兩點，且解析式的二次項系數為（a0）（）當a=1時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標；（）已知點A（0，1），若拋物線與射線AB相交于點M，與x軸相交于點N（異于原點），當a在什么圍取值時，ON+BM的值為常數？當a在什么圍取值時，ONBM的值為常數？（）若點P（t，t）在拋物線上，則稱點P為拋物線的不動點將這條拋物線進行平移，使其只有一個不動點，此時拋物線的頂點是否在直線y=x上，請說明理由25如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）25的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），點B的橫坐標是1；（

9、1）求a的值；（2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，拋物線C3的頂點為M，當點P、M關于點O成中心對稱時，求拋物線C3的解析式26如圖，拋物線y=ax2+bx+3經過A（3，0），B（1，0）兩點（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為M，直線y=2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D現將拋物線平移，保持頂點在直線OD上若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值圍27如圖，拋物線y=a（x+1）2的頂點為A，與y軸的負半軸交于點B，且OB=OA（1）求拋物線的解析式； （2）若點C（3，b）在

10、該拋物線上，求SABC的值28如圖，拋物線y=x22x+c的頂點A在直線l：y=x5上（1）求拋物線頂點A的坐標及c的值；（2）設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側），試判斷ABD的形狀29如果拋物線m的頂點在拋物線n上，同時拋物線n的頂點在拋物線m上，那么我們就稱拋物線m與n為交融拋物線（1）已知拋物線a：y=x22x+1判斷下列拋物線b：y=x22x+2，c：y=x2+4x3與已知拋物線a是否為交融拋物線？并說明理由；（2）在直線y=2上有一動點P（t，2），將拋物線a：y=x22x+1繞點P（t，2）旋轉180°得到拋物線l，若拋物線a與l為交融拋物線，

11、求拋物線l的解析式；（3）M為拋物線a；y=x22x+1的頂點，Q為拋物線a的交融拋物線的頂點，是否存在以MQ為斜邊的等腰直角三角形MQS，使其直角頂點S在y軸上？若存在，求出點S的坐標；若不存在，請說明理由；（4）通過以上問題的探究解決，相信你對交融拋物線的概念及性質有了一定的認識，請你提出一個有關交融拋物線的問題30如圖1所示，已知直線y=kx+m與x軸、y軸分別交于點A、C兩點，拋物線y=x2+bx+c經過A、C兩點，點B是拋物線與x軸的另一個交點，當x=時，y取最大值（1）求拋物線和直線的解析式；（2）設點P是直線AC上一點，且SABP：SBPC=1：3，求點P的坐標；（3）直線y=x

12、+a與（1）中所求的拋物線交于點M、N，兩點，問：是否存在a的值，使得MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由猜想當MON90°時，a的取值圍（不寫過程，直接寫結論）（參考公式：在平面直角坐標系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），則M、N兩點之間的距離為|MN|=）參考答案與試題解析一選擇題（共1小題）1頂點為P的拋物線y=x22x+3與y軸相交于點A，在頂點不變的情況下，把該拋物線繞頂點P旋轉180°得到一個新的拋物線，且新的拋物線與y軸相交于點B，則PAB的面積為（）A1B2C3D6考點：二次函數圖象與幾何變換分析：根據題目意思，求出A和

13、B的坐標，再求三角形的面積則可解答：解：當x=0時，y=3，所以A的坐標是（0，3），y=x22x+3=（x1）2+2，把它繞頂點P旋轉180°得到一個新的拋物線是y=（x1）2+2=x2+2x+1，x=0時，y=1，所以B的坐標是（0，1），P的坐標是（1，2），PAB的面積=×2×（32）=1故選A點評：本題考查了拋物線與坐標軸交點的求法，和考查拋物線將一般式轉化頂點式的能力，難度較大二填空題（共12小題）2作拋物線C1關于x軸對稱的拋物線C2，將拋物線C2向左平移2個單位，向上平移1個單位，得到的拋物線C的函數解析式是y=2（x+1）21，則拋物線C1所對應

14、的函數解析式是y=2（x1）2+2考點：二次函數圖象與幾何變換專題：應用題分析：根據題意易得拋物線C的頂點，進而可得到拋物線B的坐標，根據頂點式及平移前后二次項的系數不變可得拋物線B的解析式，而根據關于x軸對稱的兩條拋物線的頂點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數，二次項系數互為相反數可得到拋物線C1所對應的函數表達式解答：解：根據題意易得拋物線C的頂點為（1，1），是向左平移2個單位，向上平移1個單位得到拋物線C的，拋物線B的坐標為（1，2），可設拋物線B的坐標為y=2（xh）2+k，代入得：y=2（x1）22，易得拋物線A的二次項系數為2，頂點坐標為（1，2），拋物線A的解析式為y=2（x1）2

15、+2，故答案為y=2（x1）2+2點評：本題主要考查了討論兩個二次函數的圖象的平移問題，只需看頂點坐標是如何平移得到的即可，關于x軸對稱的兩條拋物線的頂點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數，二次項系數互為相反數，難度適中3拋物線關于原點對稱的拋物線解析式為考點：二次函數圖象與幾何變換分析：根據關于原點對稱的點的坐標特點進行解答即可解答：解：關于原點對稱的點的橫縱坐標互為相反數，拋物線y=x2+x+2關于原點對稱的拋物線的解析式為：y=（x）2+（x）+2，即y=x2+x2故答案為：y=x2+x2點評：本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知關于原點對稱的點的坐標特點是解答此題的關鍵4將拋物線y=

16、x2+1的圖象繞原點O旋轉180°，則旋轉后的拋物線解析式是y=x21考點：二次函數圖象與幾何變換分析：根據關于原點對稱的兩點的橫坐標縱坐標都互為相反數求則可解答：解：根據題意，y=（x）2+1，得到y=x21故旋轉后的拋物線解析式是y=x21點評：考查根據二次函數的圖象的變換求拋物線的解析式5如圖，正方形ABCD的頂點A、B與正方形EFGH的頂點G、H同在一段拋物線上，且拋物線的頂點在CD上，若正方形ABCD邊長為10，則正方形EFGH的邊長為55考點：二次函數綜合題分析：首先建立平面坐標系：過點G作GMx軸于點M，進而得出拋物線解析式，進而表示出G點坐標，再利用FG+MG=10，

17、進而求出即可解答：解：如圖建立平面坐標系：過點G作GMx軸于點M，設拋物線解析式為：y=ax2，正方形ABCD邊長為10，B點坐標為：（5，10），將B點代入y=ax2，則10=25a，解得：a=，設G點坐標為：（a，a2），則GF=2a，MG=10GF，即a2=102a，整理的：a2+5a25=0，解得：a1=，a2=（不合題意舍去），正方形EFGH的邊長FG=2a=55故答案為：55點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及一元二次方程的解法，根據正方形的性質以及拋物線上點的坐標性質得出等式是解題關鍵6如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個

18、交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”在拋物線y=ax2+bx+c中，系數a、b、c為絕對值不大于1的整數，則該拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形的概率為考點：列表法與樹狀圖法；拋物線與x軸的交點分析：由系數a、b、c為絕對值不大于1的整數，可得系數a、b、c為：0，1，1；然后根據題意畫樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果與該拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形的情況，再利用概率公式即可求得答案解答：解：系數a、b、c為絕對值不大于1的整數，系數a、b、c為：0，1，1；畫樹狀圖得：共有18種等可能的結果，該拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形的有：（1，0，1），

19、（1，0，1），該拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形的概率為：=故答案為：點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率與二次函數的性質注意用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比7拋物線y=ax2+bx+c經過直角ABC的頂點A（1，0），B（4，0），直角頂點C在y軸上，若拋物線的頂點在ABC的部（不包括邊界），則a的圍是a0或0a考點：二次函數的性質專題：壓軸題分析：根據點A、B的坐標求出OA、OB的長，再求出ACO和CBO相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出OC的長，再根據二次函數的對稱性求出對稱軸，設對稱軸與直線BC相交于P，與x軸交于Q，利用ABC的正切值求出點P到x

20、軸的距離PQ，設拋物線的交點式解析式y=a（x+1）（x4），整理求出頂點坐標，再根據拋物線的頂點在ABC的部分兩種情況列式求出a的取值圍即可解答：解：點A（1，0），B（4，0），OA=1，OB=4，易得ACOCBO，=，即=，解得OC=2，拋物線y=ax2+bx+c經過A（1，0），B（4，0），對稱軸為直線x=，設對稱軸與直線BC相交于P，與x軸交于Q，則BQ=4=2.5，tanABC=，即=，解得PQ=，設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x4），則y=a（x23x4）=a（x）2a，當點C在y軸正半軸時，0a，解得a0，當點C在y軸負半軸時，a0，解得0a，所以，a的取值圍是a0或0

21、a故答案為：a0或0a點評：本題考查了二次函數的性質，相似三角形的判定與性質，把二次函數的解析式用交點式形式表示更加簡便，注意要分點C在y正半軸和負半軸兩種情況討論8已知拋物線y=x26x+a的頂點在x軸上，則a=9；若拋物線與x軸有兩個交點，則a的圍是a9考點：拋物線與x軸的交點分析：頂點在x軸上即拋物線與x軸只有一個交點，則判別式等于0，若拋物線與x軸有兩個交點，則0，據此即可求解解答：解：=364a，則定點在x軸上，則364a=0，解得：a=9；拋物線與x軸有兩個交點，則364a0，解得：a9故答案是：9；a9點評：本題考查了二次函數圖象與x軸的公共點的個數的判定方法，如果0，則拋物線與

22、x軸有兩個不同的交點；如果=0，與x軸有一個交點；如果0，與x軸無交點9拋物線y=x22x+a2的頂點在直線y=2上，則a=2考點：待定系數法求二次函數解析式專題：壓軸題分析：根據拋物線頂點的縱坐標等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意義解答：解：因為拋物線的頂點坐標為（，）所以=2解得：a1=2，a2=1又因為要有意義則a0所以a=2點評：此題考查了學生的綜合應用能力，解題時要注意別漏條件，特別是一些隱含條件，比如：中a010若拋物線y=x22x+a2的頂點在直線x=2上，則a的值是4考點：二次函數的性質分析：根據拋物線頂點的橫坐標等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意義解答：解：因為拋

23、物線的頂點坐標為（，），所以=2，解得：a1=4，a2=4，又因為要有意義，則a0，所以a=4故答案為4點評：此題考查了學生的綜合應用能力，解題時要注意別漏條件，特別是一些隱含條件，比如：中a011若拋物線的頂點在x軸上方，則m的值是2考點：二次函數的性質；二次函數的定義專題：計算題分析：先列出關于m的等式，再根據拋物線的頂點在x軸上方，求得m，所以只需令頂點縱坐標大于0即可解答：解：是拋物線，m22=2，解得m=±2，拋物線的頂點在x軸上方08（m+2）0，m2，m=2故答案為：2點評：本題考查了二次函數的定義和性質，將函數與一元二次方程結合起來，有一定的綜合性12如圖，二次函數y

24、=ax2+c圖象的頂點為B，若以OB為對角線的正方形ABCO的另兩個頂點A、C也在該拋物線上，則ac的值是2考點：二次函數的性質；正方形的性質分析：拋物線y=ax2+c的頂點B點坐標為（0，c），由四邊形ABCO是正方形，則C點坐標為標為（，），代入拋物線即可解答解答：解：拋物線y=ax2+c的頂點B點坐標為（0，c），四邊形ABCO是正方形，COB=90°，CO=BC，COB是等腰直角三角形，C點橫縱坐標絕對值相等，且等于BO長度一半，C點坐標為（，），將點C代入拋物線方程中得ac=2故答案為：2點評：本題將幾何圖形與拋物線結合了起來，同學們要找出線段之間的關系，進而求得問題的答案

25、13拋物線y=ax2+bx1經過點（2，5），則代數式6a+3b+1的值為10考點：二次函數圖象上點的坐標特征專題：整體思想分析：把點（2，5）代入拋物線求出2a+b的值，然后整體代入進行計算即可得解解答：解：拋物線y=ax2+bx1經過點（2，5），4a+2b1=5，2a+b=3，6a+3b+1=3（2a+b）+1=3×3+1=10故答案為：10點評：本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，把點的坐標代入函數解析式求出a、b的關系式是解題的關鍵，主要利用了整體思想三解答題（共17小題）14已知拋物線C1的解析式是y=2x24x+5，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，求拋物線C2的解

26、析式考點：二次函數圖象與幾何變換分析：利用關于x軸對稱的點的坐標為橫坐標不變，縱坐標互為相反數解答即可解答：解：拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標互為相反數，即y=2x24x+5，因此所求拋物線C2的解析式是y=2x2+4x5點評：利用軸對稱變換的特點可以解答15將拋物線C1：y=（x+1）22繞點P（t，2）旋轉180得到拋物線C2，若拋物線C1的頂點在拋物線C2上，同時拋物線C2的頂點在拋物線C1上，求拋物線C2的解析式考點：二次函數圖象與幾何變換分析：先求出拋物線C1的頂點坐標，再根據對稱性求出拋物線C2的頂點坐標，然后根據旋轉的性質寫出拋物線C2的頂點式形式解析式，

27、再把拋物線C1的頂點坐標代入進行即可得解解答：解：y=（x+1）22的頂點坐標為（1，2），繞點P（t，2）旋轉180得到拋物線C2的頂點坐標為（2t+1，6），拋物線C2的解析式為y=（x2t1）2+6，拋物線C1的頂點在拋物線C2上，（12t1）2+6=2，解得t1=3，t2=5，拋物線C2的解析式為y=（x7）2+6或y=（x+9）2+6點評：本題考查了二次函數圖象與幾何變換，難度較大，求出旋轉后的拋物線C2的頂點坐標是解題的關鍵，也是本題的難點16如圖，拋物線y1=x2+2向右平移1個單位得到拋物線y2，回答下列問題：（1）拋物線y2的頂點坐標（1，2）；（2）陰影部分的面積S=2；（

28、3）若再將拋物線y2繞原點O旋轉180°得到拋物線y3，求拋物線y3的解析式考點：二次函數圖象與幾何變換分析：直接應用二次函數的知識解決問題解答：解：（1）讀圖找到最高點的坐標即可故拋物線y2的頂點坐標為（1，2）；（2分）（2）把陰影部分進行平移，可得到陰影部分的面積即為圖中兩個方格的面積=1×2=2；（6分）（3）由題意可得：拋物線y3的頂點與拋物線y2的頂點關于原點O成中心對稱所以拋物線y3的頂點坐標為（1，2），于是可設拋物線y3的解析式為：y=a（x+1）22由對稱性得a=1，所以y3=（x+1）22（10分）點評：考查二次函數的相關知識，考查學生基礎知識的同時還

29、考查了識圖能力17已知拋物線L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的頂點P的坐標是，與y軸的交點是M（0，c）我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線（1）請直接寫出拋物線y=2x24x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：伴隨拋物線的解析式y=2x2+1，伴隨直線的解析式y=2x+1；（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=x23和y=x3，則這條拋物線的解析式是y=x22x3；（3）求拋物線L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；（4）若拋物線L與x軸交于A（x1，0）

30、、B（x2，0）兩點，x2x10，它的伴隨拋物線與x軸交于C、D兩點，且AB=CD請求出a、b、c應滿足的條件考點：二次函數綜合題專題：壓軸題；新定義分析：（1）先根據拋物線的解析式求出其頂點P和拋物線與y軸的交點M的坐標然后根據M的坐標用頂點式二次函數通式設伴隨拋物線的解析式然后將P點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出伴隨拋物線的解析式根據M，P兩點的坐標即可求出直線PM的解析式；（2）由題意可知：伴隨拋物線的頂點坐標是拋物線與y軸交點坐標，伴隨拋物線與伴隨直線的交點（與y軸交點除外）是拋物線的頂點，據此可求出拋物線的解析式；（3）方法同（1）；（4）本題要考慮的a、b、c滿足的條件有：拋物

31、線和伴隨拋物線都與x軸有兩個交點，因此0，由于拋物線L中，x2x10，因此拋物線的對稱軸x0，兩根的積大于0根據兩拋物線的解析式分別求出AB、CD的長，根據AB=CD可得出另一個需滿足的條件綜合這三種情況即可得出所求的a、b、c需滿足的條件解答：解：（1）y=2x2+1，y=2x+1；（2）將y=x23和y=x3組成方程組得，解得，或則原拋物線的頂點坐標為（1，4），與y軸的交點坐標為（0，3）設原函數解析式為y=n（x1）24，將（0，3）代入y=n（x1）24得，3=n（01）24，解得，n=1，則原函數解析式為y=（x1）24，即y=x22x3（3）伴隨拋物線的頂點是（0，c），設它的解

32、析式為y=m（x0）2+c（m0），此拋物線過P（，），=m（）2+c，解得m=a，伴隨拋物線解析式為y=ax2+c；設伴隨直線解析式為y=kx+c（k0），P（，）在此直線上，k=，伴隨直線解析式為y=x+c；（4）拋物線L與x軸有兩交點，1=b24ac0，b24ac；x2x10，x2+x1=0，x1x2=0，ab0，ac0對于伴隨拋物線有y=ax2+c，有2=0（4ac）=4ac0，由ax2+c=0，得x=±C（，0），D（，0），CD=2，又AB=x2x1=，AB=CD，則有：2=，即b2=8ac，綜合b2=8ac，b24ac0，ab0，ac0可得a、b、c需滿足的條件為：b2

33、=8ac且ab0（或b2=8ac且bc0）點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系以及一元二次方程根與系數的關系18設拋物線y=x2+2ax+b與x軸有兩個不同的交點（1）將拋物線沿y軸平移，使所得拋物線在x軸上截得的線段的長是原來的2倍，求平移所得拋物線的解析式；（2）通過（1）中所得拋物線與x軸的兩個交點及原拋物線的頂點作一條新的拋物線，求新拋物線的表達式考點：拋物線與x軸的交點；二次函數圖象與幾何變換專題：計算題分析：（1）設平移所得拋物線的解析式為y=x2+2ax+b+m，根據拋物線與x軸的交點的距離公式得到=2，解得m=3b3a2，則平移所得拋物線的解析式為y=x2+2ax+

34、4b3a2；（2）先確定y=x2+2ax+b的頂點坐標為（a，ba2），由于通過（1）中所得拋物線與x軸的兩個交點，則可設新拋物線解析式為y=t（x2+2ax+4b3a2），然后把（a，ba2）代入可求出t=解答：解：（1）設平移所得拋物線的解析式為y=x2+2ax+b+m，根據題意得=2，解得m=3b3a2，所以平移所得拋物線的解析式為y=x2+2ax+b+3b3a2=x2+2ax+4b3a2；（2）y=x2+2ax+b=（x+a）2+ba2，其頂點坐標為（a，ba2），新拋物線的表達式過拋物線y=x2+2ax+4b3a2與x軸兩交點，可設新拋物線解析式為y=t（x2+2ax+4b3a2），

35、把（a，ba2）代入得ba2=t（a22a2+4b3a2），解得t=，所以新拋物線的表達式過拋物線y=x2+ax+ba2點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系：=b24ac決定拋物線與x軸的交點個數；=b24ac0時，拋物線與x軸有2個交點；=b24ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；=b24ac0時，拋物線與x軸沒有交點19已知拋物線C：y=a

36、x2+bx+c（a0）過原點，與x軸的另一個交點為B（4，0），A為拋物線C的頂點（1）如圖1，若AOB=60°，求拋物線C的解析式；（2）如圖2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線C，求拋物線C、C的解析式；（3）在（2）的條件下，設A為拋物線C的頂點，求拋物線C或C上使得PB=PA的點P的坐標考點：二次函數綜合題；點的坐標；待定系數法求二次函數解析式；旋轉的性質；相似三角形的判定與性質專題：壓軸題分析：（1）先連接AB，根據A點是拋物線C的頂點，且C交x軸于O、B，得出AO=AB，再根據AOB=60°，得出ABO是等邊三角形，

37、再過A作AEx軸于E，在RtOAE中，求出OD、AE的值，即可求出頂點A的坐標，最后設拋物線C的解析式，求出a的值，從而得出拋物線C的解析式；（2）先過A作AEOB于E，根據題意得出OE=OB=2，再根據直線OA的解析式為y=x，得出AE=OE=2，求出點A的坐標，再將A、B、O的坐標代入y=ax2+bx+c（a0）中，求出a的值，得出拋物線C的解析式，再根據拋物線C、C關于原點對稱，從而得出拋物線C的解析式；（3）先作AB的垂直平分線l，分別交AB、x軸于M、N（n，0），由（2）知，拋物線C的頂點為A（2，2），得出AB的中點M的坐標，再作MHx軸于H，得出MHNBHM，則MH2=HNHB

38、，求出N點的坐標，再根據直線l過點M（1，1）、N（，0），得出直線l的解析式，求出x的值，再根據拋物線C上存在兩點使得PB=PA'，從而得出P1，P2坐標，再根據拋物線C上也存在兩點使得PB=PA'，得出P3，P4的坐標，即可求出答案解答：解：（1）連接ABA點是拋物線C的頂點，且拋物線C交x軸于O、B，AO=AB，又AOB=60°，ABO是等邊三角形，過A作ADx軸于D，在RtOAD中，OD=2，AD=，頂點A的坐標為（2，）設拋物線C的解析式為（a0），將O（0，0）的坐標代入，求得：a=，拋物線C的解析式為（2）過A作AEOB于E，拋物線C：y=ax2+bx+

39、c（a0）過原點和B（4，0），頂點為A，OE=OB=2，又直線OA的解析式為y=x，AE=OE=2，點A的坐標為（2，2），將A、B、O的坐標代入y=ax2+bx+c（a0）中，a=，拋物線C的解析式為，又拋物線C、C關于原點對稱，拋物線C的解析式為；（3）作AB的垂直平分線l，分別交AB、x軸于M、N（n，0），由前可知，拋物線C的頂點為A（2，2），故AB的中點M的坐標為（1，1）作MHx軸于H，MHNBHM，則MH2=HNHB，即12=（1n）（41），即N點的坐標為（，0）直線l過點M（1，1）、N（，0），直線l的解析式為y=3x+2，解得在拋物線C上存在兩點使得PB=PA'

40、;，其坐標分別為P1（，），P2（，）；解得，在拋物線C上也存在兩點使得PB=PA'，其坐標分別為P3（5+，173），P4（5，17+3）點P的坐標是：P1（，），P2（，），P3（5+，173），P4（5，17+3）點評：本題是二次函數的綜合，其中涉及到的知識點有旋轉的性質，點的坐標，待定系數法求二次函數等知識點，難度較大，綜合性較強20（1999）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+交x軸正半軸于A，B兩點，交y軸于點C，且CBO=60°，CAO=45°，求拋物線的解析式和直線BC的解析式考點：待定系數法求二次函數解析式；待定系數法求一次函數解析式分析：根據拋物

41、線的解析式，易求得C點的坐標，即可得到OC的長；可分別在RtOBC和RtOAC中，通過解直角三角形求出OB、OA的長，即可得到A、B的坐標，進而可運用待定系數法求得拋物線和直線的解析式解答：解：由題意得C（0，）在RtCOB中，CBO=60°，OB=OCcot60°=1B點的坐標是（1，0）；（1分）在RtCOA中，CAO=45°，OA=OC=A點坐標（，0）由拋物線過A、B兩點，得解得拋物線解析式為y=x2（）x+（4分）設直線BC的解析式為y=mx+n，得n=，m=直線BC解析式為y=x+（6分）點評：此題主要考查的是用待定系數法求一次函數及二次函數解析式的方

42、法21已知：如圖，拋物線y=x2+bx+c經過直線y=x+3與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D（1）求此拋物線的解析式；（2）點M為拋物線上的一個動點，求使得ABM的面積與ABD的面積相等的點M的坐標考點：二次函數綜合題分析：（1）先根據直線y=x+3求出A、B兩點的坐標，然后將它們代入拋物線中即可求出待定系數的值（2）根據（1）中拋物線的解析式可求出C，D兩點的坐標，由于ABM和ABD同底，因此面積比等于高的比，即M點縱坐標的絕對值：D點縱坐標的絕對值=5：4據此可求出P點的縱坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求出M點的坐標解答：解：（1）直線y

43、=x+3與坐標軸的兩個交點坐標分別是A（3，0），B（0，3），拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點，c=39+3b+c=0，得到b=2，c=3，拋物線的解析式y=x2+2x+3（2）作經過點D與直線y=x+3平行的直線交拋物線于點M則SABM=SABD，直線DM的解析式為y=x+t由拋物線解析式y=x2+2x+3=（x1）2+4，得D（1，4），t=5設M（m，m+5），則有m+5=m2+2m+3，解得m=1（舍去），m=2M（2，3）易求直線DM關于直線y=x+3對稱的直線l的解析式為y=x+1，l交拋物線于M設M（m，m+1）由于點M在拋物線y=x2+2x+3上，m+1=m2+2m+3

44、解得m=，m=M（，）或M（，）使ABM的面積與ABD的面積相等的點M的坐標分別是（2，3），（，），（，）點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法、圖形面積的求法等知識點考查了學生數形結合的數學思想方法22已知拋物線的頂點為P，與x軸正半軸交于點B，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C3的解析式考點：二次函數圖象與幾何變換分析：先求出點P的坐標，再令y=0，解方程求出點B的坐標，然后根據中心對稱求出點M的坐標，然后根據對稱性利用頂點式形式寫出C3的解析式即可解答：解：點P的坐

45、標為（2，5），令y=0，則（x+2）25=0，解得x1=1，x2=5，所以，點B的坐標為（1，0），點P、M關于點B對稱，點M的坐標為（4，5），拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，拋物線C2向右平移得到C3，拋物線C3的解析式為y=（x4）2+5點評：本題考查了二次函數圖象與幾何變換，此類題目利用定點的變換確定解析式的變化更簡便，難點在于確定出平移后的拋物線的頂點坐標23如圖，拋物線y=x2+bxc經過直線y=x3與坐標軸的兩個交點A，B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D（1）求此拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上的一個動點，求使SAPC：SACD=5：4的點P的坐標考點

46、：二次函數綜合題專題：壓軸題；動點型分析：（1）先根據直線y=x3求出A、B兩點的坐標，然后將它們代入拋物線中即可求出待定系數的值（2）根據（1）中拋物線的解析式可求出C，D兩點的坐標，由于APC和ACD同底，因此面積比等于高的比，即P點縱坐標的絕對值：D點縱坐標的絕對值=5：4據此可求出P點的縱坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求出P點的坐標解答：解：（1）直線y=x3與坐標軸的交點A（3，0），B（0，3）則，解得，此拋物線的解析式y=x22x3（2）拋物線的頂點D（1，4），與x軸的另一個交點C（1，0）設P（a，a22a3），則（×4×|a22a3|）：（&#

47、215;4×4）=5：4化簡得|a22a3|=5當a22a3=5，得a=4或a=2P（4，5）或P（2，5），當a22a30時，即a22a+2=0，此方程無解綜上所述，滿足條件的點的坐標為（4，5）或（2，5）點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法、圖形面積的求法等知識點考查了學生數形結合的數學思想方法24已知一拋物線經過O（0，0），B（1，1）兩點，且解析式的二次項系數為（a0）（）當a=1時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標；（）已知點A（0，1），若拋物線與射線AB相交于點M，與x軸相交于點N（異于原點），當a在什么圍取值時，ON+B

48、M的值為常數？當a在什么圍取值時，ONBM的值為常數？（）若點P（t，t）在拋物線上，則稱點P為拋物線的不動點將這條拋物線進行平移，使其只有一個不動點，此時拋物線的頂點是否在直線y=x上，請說明理由考點：二次函數綜合題專題：壓軸題分析：（）首先利用拋物線經過O（0，0），B（1，1）兩點，且解析式的二次項系數為求出拋物線解析式，再利用a=1求出拋物線的頂點坐標即可；（）利用當y=0時，有，求出x的值，進而得出點N的坐標，再利用若點M在點B右側，此時a1，BM=a1；若點M在點B左側，此時0a1，BM=1a得出答案即可；（）利用平移后的拋物線只有一個不動點，故此方程有兩個相等的實數根，得出判別式

49、=（a2h）24（h2ak）=0，進而求出k與h，a的關系即可得出頂點（h，k）在直線上解答：解：設該拋物線的解析式為，拋物線經過（0，0）、（1，1）兩點，解得該拋物線的解析式為（）當a=1時，該拋物線的解析式為y=x2+2x，y=x2+2x=（x22x+1）+1=（x1）2+1該拋物線的頂點坐標為（1，1）；（）點N在x軸上，點N的縱坐標為0當y=0時，有，解得x1=0，x2=a+1點N異于原點，點N的坐標為（a+1，0）ON=a+1，點M在射線AB上，點M的縱坐標為1當y=1時，有，整理得出，解得x1=1，x2=a點M的坐標為（1，1）或（a，1）當點M的坐標為（1，1）時，M與B重合，

50、此時a=1，BM=0，ON=2ON+BM與ONBM的值都是常數2當點M的坐標為（a，1）時，若點M在點B右側，此時a1，BM=a1ON+BM=（a+1）+（a1）=2a，ONBM=（a+1）（a1）=2若點M在點B左側，此時0a1，BM=1aON+BM=（a+1）+（1a）=2，ONBM=（a+1）（1a）=2a當0a1時，ON+BM的值是常數2，當a1時，ONBM的值是常數2（）設平移后的拋物線的解析式為，由不動點的定義，得方程：，即t2+（a2h）t+h2ak=0平移后的拋物線只有一個不動點，此方程有兩個相等的實數根判別式=（a2h）24（h2ak）=0，有a4h+4k=0，即頂點（h，k

51、）在直線上點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及根的判別式的性質等知識，利用分類討論的思想得出M與B的不同位置關系得出答案是解題關鍵25如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）25的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），點B的橫坐標是1；（1）求a的值；（2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，拋物線C3的頂點為M，當點P、M關于點O成中心對稱時，求拋物線C3的解析式考點：二次函數綜合題專題：綜合題分析：（1）將B點坐標代入拋物線C1的解析式中，即可求得待定系數a的值（2）在拋物線平移過程中，拋物線的開口大小沒有發現變化，變

52、化的只是拋物線的位置和開口方向，所以C3的二次項系數與C1的互為相反數，而C3的頂點M與C1的頂點P關于原點對稱，P點坐標易求得，即可得到M點坐標，從而求出拋物線C3的解析式解答：解：（1）點B是拋物線與x軸的交點，橫坐標是1，點B的坐標為（1，0），當x=1時，0=a（1+2）25，（2）設拋物線C3解析式為y=a（xh）2+k，拋物線C2與C1關于x軸對稱，且C3為C2向右平移得到，點P、M關于點O對稱，且點P的坐標為（2，5），點M的坐標為（2，5），拋物線C3的解析式為y=（x2）2+5=x2+x+點評：此題主要考查的是二次函數解析式的確定、二次函數圖象的幾何變化以及系數與函數圖象的關系，需要熟練掌