1、1-7 兩個重要極限練習題 教學過程：引入：考察極限問題1：觀察當x®0時函數的變化趨勢：x(弧度)0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.當x取正值趨近于0時，®1，即=1； 當x取負值趨近于0時，-x®0, -x>0, sin(-x)>0于是 綜上所述，得 一 的特點： (1)它是“”型，即若形式地應用商求極限的法則，得到的結果是； (2)在分式中同時出現三角函數和x的冪 推廣如果j(x)=0,(a可以是有限數x0, ±¥或¥)，則=1

2、例1 求 解=例2 求 解=例3 求 解=例4 求解令arcsinx=t，則x=sint且x®0時t®0所以=例5 求 解= = 考察極限問題2：觀察當x®+¥時函數的變化趨勢：x1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.當x取正值并無限增大時，是逐漸增大的，但是不論x如何大，的值總不會超過3實際上如果繼續增大x即當x®+¥時，可以驗證是趨近于一個確定的無理數e2.718281828. 當x®-¥時，函數有類似的變化趨勢，只是它是逐漸減

3、小而趨向于e綜上所述，得 二=e=e的特點：（）lim(1+無窮小) ；（）“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數 推廣（）若j(x)= ¥,(a可以是有限數x0, ±¥或¥)，則 =e；（）若j(x)=0,(a可以是有限數x0, ±¥或¥)，則 =e 變形令=t，則x®¥時t®0，代入后得到 如果在形式上分別對底和冪求極限，得到的是不確定的結果1¥，因此通常稱之為1¥不定型例6 求解令=t，則x=當x®¥時t®0，于是=e 2例7 求解令=1+

4、u，則x=2當x®¥時u®0，于是=e -1例8 求解設t=tanx，則cotx當x®0時t®0，于是=e小結：兩個重要極限在求極限過程中有著很重要的作用，特別要注意其變式。作業：見首頁§2-1 導數的概念教學過程：引入：一、兩個實例 實例1 瞬時速度 考察質點的自由落體運動真空中，質點在時刻t=0到時刻t這一時間段內下落的路程s由公式s=gt2來確定現在來求t=1秒這一時刻質點的速度當Dt很小時，從1秒到1+Dt秒這段時間內，質點運動的速度變化不大，可以這段時間內的平均速度作為質點在t=1時速度的近似 Dt (s)Ds(m)(m/s

5、)0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049 上表看出，平均速度隨著Dt變化而變化，當Dt越小時，越接近于一個定值9.8m/s考察下列各式： Ds=g×(1+Dt)2g×12=g2×Dt+(Dt)2， =g×=g(2+Dt)， 思考： 當Dt越來越接近于0時，越來越接近于1秒時的“速度”現在取Dt®0的極限，得 g=9.8(m/s)為質點在=1秒時速度為瞬時速度一般地，設質點的位移規律是

6、s=f(t)，在時刻t時時間有改變量Dt，s相應的改變量為Ds=f(t+Dt)-f(t)，在時間段t到t+Dt內的平均速度為 =，對平均速度取Dt®0的極限，得 v(t)=，稱v(t)為時刻t的瞬時速。研究類似的例子實例2 曲線的切線設方程為y=f(x)曲線為L其上一點A的坐標為(x0,f(x0)在曲線上點A附近另取一點B，它的坐標是(x0+Dx, f(x0+Dx)直線AB是曲線的割線，它的傾斜角記作b由圖中的RtDACB，可知割線AB的斜率 f(x0+Dx)xyOABx0x0+Dxf(x0)TCbatanb=在數量上，它表示當自變量從x變到x+Dx時函數f(x)關于變量x的平均變化

7、率(增長率或減小率)現在讓點B沿著曲線L趨向于點A，此時Dx®0，過點A的割線AB如果也能趨向于一個極限位置直線AT，我們就稱L在點A處存在切線AT記AT的傾斜角為a，則a為b的極限，若a¹90°，得切線AT的斜率為 tana= tanb=在數量上，它表示函數f(x)在x處的變化率上述兩個實例，雖然表達問題的函數形式y=f(x)和自變量x具體內容不同，但本質都是要求函數y關于自變量x在某一點x處的變化率 1. 自變量x作微小變化Dx，求出函數在自變量這個段內的平均變化率=，作為點x處變化率的近似； 2. 對求Dx®0的極限，若它存在，這個極限即為點x處變

8、化率的的精確值二、導數的定義 1. 函數在一點處可導的概念 定義 設函數y=f(x)在x0的某個鄰域內有定義對應于自變量x在x0處有改變量Dx，函數y=f(x)相應的改變量為Dy=f(x0+Dx)-f(x0)，若這兩個改變量的比 當Dx®0時存在極限，我們就稱函數y=f(x)在點x0處可導，并把這一極限稱為函數y=f(x)在點x0處的導數(或變化率)，記作或f¢(x0)或或即 =f¢(x0)= (2-1) 比值表示函數y=f(x)在x0到x0+Dx之間的平均變化率，導數則表示了函數在點x0處的變化率，它反映了函數y=f(x)在點x0處的變化的快慢 如果當Dx

9、74;0時的極限不存在，我們就稱函數y=f(x)在點x0處不可導或導數不存在在定義中，若設x=x0+Dx，則(2-1)可寫成 f¢(x0)= (2-2)根據導數的定義，求函數y=f(x)在點x0處的導數的步驟如下：第一步 求函數的改變量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)； 第二步 求比值； 第三步 求極限f¢(x0)= 例1 求y=f(x)=x2在點x=2處的導數 解 Dy=f(2+Dx)-f(2)=(2+Dx)2-22=4Dx+(Dx)2； =4+Dx； =(4+Dx)=4所以y¢|x=2=4 當存在時，稱其極限值為函數y=f(x)在點x0處的左導數，記作；當存

10、在時，稱其極限值為函數y=f(x)在點x0處的右導數，記作據極限與左、右極限之間的關系 f¢(x0) Û 存在,，且= f¢(x0) 2. 導函數的概念 如果函數y=f(x)在開區間(a,b)內每一點處都可導，就稱函數y=f(x)在開區間(a,b)內可導這時，對開區間(a,b)內每一個確定的值x0都有對應著一個確定的導數f¢(x0)，這樣就在開區間(a,b)內，構成一個新的函數，我們把這一新的函數稱為f(x)的導函數，記作等f¢(x)或y¢等 根據導數定義，就可得出導函數 f¢(x)=y¢= (2-3)導函數也簡稱

11、為導數注意（）f¢(x)是x的函數，而f¢(x0)是一個數值（）f(x)在點處的導數f¢(x0)就是導函數f¢(x)在點x0處的函數值 例2 求y=C (C為常數)的導數 解因為Dy=C-C=0，=0，所以y¢=0即 (C)¢=0常數的導數恒等于零） 例3 求y=xn(nÎN, xÎR)的導數 解 因為Dy=(x+Dx)n-xn=nxn-1Dx+xn-2(Dx)2+.+(Dx)n， = nxn-1 +xn-2×Dx+.+(Dx)n-1，從而有 y¢= nxn-1 +xn-2×Dx+.+

12、(Dx)n-1= nxn-1即 (xn)¢=nxn-1 可以證明，一般的冪函數y=xa, (aÎR, x>0)的導數為 (xa)¢=a xa-1例如()¢=()¢=；()¢=(x-1)¢=-x-2=- 例4 求y=sinx, (xÎR)的導數 解=，在§1-7中已經求得 =cosx，即 (sinx)¢=cosx 用類似的方法可以求得y=cosx, (xÎR)的導數為 (cosx)¢=-sinx 例5 求y=logax的導數(a>0, a¹1, x>

13、0) 解對a=e、y=lnx的情況，在§1-7中已經求得為 (lnx)¢=對一般的a，只要先用換底公式得y=logax=，以下與§1-7完全相同推導，可得 (logax)¢=三、導數的幾何意義 方程為y=f(x)的曲線，在點A(x0,f(x0)處存在非垂直切線AT的充分必要條件是f(x)在x0存在導數f¢(x0)，且AT的斜率k=f¢(x0) 導數的幾何意義函數y=f(x)在x0處的導數f¢(x0)，是函數圖象在點(x0,f(x0)處切線的斜率，另一方面也可立即得到切線的方程為 y-f(x0)=f¢(x0)(x-x

14、0) (2-4) 過切點A (x0,f(x0)且垂直于切線的直線，稱為曲線y=f(x)在點A (x0,f(x0)處的法線，則當切線非水平(即f¢(x0)¹0)時的法線方程為 y-f(x0)=-(x-x0) (2-5) 例6 求曲線y=sinx在點(,)處的切線和法線方程解（sinx）¢=cosx=所求的切線和法線方程為y=(x)，法線方程y=(x) 例7 求曲線y=lnx平行于直線y=2x的切線方程 解設切點為A(x0, y0)，則曲線在點A處的切線的斜率為y¢(x0)， y¢(x0)=(lnx)¢=，因為切線平行于直線y=2x，所以

15、=2，即x0=；又切點位于曲線上，因而y0=ln=-ln2故所求的切線方程為 y+ln2=2(x-)，即y=2x-1-ln2四、可導和連續的關系 如果函數y=f(x)在點x0處可導，則存在極限 =f¢(x0)，則=f¢(x0)+a (a=0)，或Dy= f¢(x0) Dx+a×Dx (a=0)，所以 Dy=f¢(x0) Dx+a×Dx=0這表明函數y=f(x)在點x0處連續但y=f(x)在點x0處連續，在x0處不一定是可導的例如：（）y=|x|在x=0處都連續但卻不可導xyOy=|x|（）y=在x=0處都連續但卻不可導注意在點(0,0

16、)處還存在切線，只是切線是垂直的1xyOy=-1-11·· 學生思考： 設函數f(x)=，討論函數f(x)在x=0處的連續性和可導性 小結：明確導數就是函數相對于自變量的變化率。 作業：見首頁§42換元積分法教學過程復習引入1 不定積分的概念； 2 不定積分的基本公式和性質。新課：一、第一類換元積分法例如：，積分基本公式中只有：=sinx+C為了應用這個公式，可進行如下變換：u=2x回代令2x=u sinu+C sin2x+C,因為(sin2x+C)¢=cos2x，所以=sin2x+C是正確的定理1設f(u)具有原函數F(u)，j¢(x)是連續

17、函數，那么 =Fj(x)+C證明思路 因為F(u)是f(u)的一個原函數，所以F¢(u)=f(u)； 由復合函數的微分法得： d Fj(x)=F¢(u)×j¢(x)dx=fj(x)×j¢(x)dx，所以 =Fj(x)+C基本思想：作變量代換u=j(x), (dj(x)= j¢(x)dx)，變原積分為，利用已知f(u)的原函數是F(u)得到積分，稱為第一類換元積分法例1求, (a,b為常數)解 因為dx=d(ax+b)，所以令ax+b=u +Cu=ax+b回代 (ax+b)11+C例2求解 因為dx=d(lnx)，所以u=ln

18、x回代令lnx=u 原式= u2+C (lnx)2+C例3求解 因為xdx=d(x2)，所以u=x2回代令x2=u 原式= =eu+C +C例4求令a2-x2=u解 因為xdx=d(x2)=d(a2-x2)，所以 原式= = +Ca2-x2=u回代 +C學生思考：求第一類換元積分法計算的關鍵：把被積表達式湊成兩部分，一部分為dj(x)，另一部分為j(x)的函數fj(x)，且f(u)的原函數易于求得因此，第一類換元積分法又形象化地被稱為湊微分法常用微分式： dx=d(ax)； xdx=d(x2)； dx=d(ln|x|)； dx=2d()； dx=d()； dx=d(arctanx)； dx=d(arcsinx)； exdx=d(ex)； sinxdx=d(cosx)； cosxdx=d(sinx)； sec2xdx=d(tanx)；