1、SARS傳播的數學模型摘要：我們以傳統的微分方程為理論基礎，從經典的傳染病模型SIR模型入手，參考用2003年6月以前的有關SARS的統計數據，對SARS病情的特殊性進行了分析，建立了描述SARS疫情傳播的微分方程模型。還用曲線擬合的方式，給出了模型中參數的確定方法，以及模型的數值解法。關鍵詞：SARS，傳染病模型，微分方程，曲線擬合SARS的簡介： SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥, 俗稱：非典型肺炎）是21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病。SARS的爆發和蔓延給我國的經濟發展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要

2、的經驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規律、為預測和控制傳染病蔓延創造條件的重要性。 與以往的傳染病不同，SARS具有其自身的特征：除了考慮易感染者、已感染者和移出者外，還要考慮疑似者、疑似者中的確診者、不可控者、不可控者中轉化為病人（感染）者。我們從經典的傳染病模型SIR模型出發，考慮了傳染病蔓延過程中政府部門的決策和措施對抑制疾病蔓延的積極作用基本假設：1. 除感病特征外，人群的個體間沒有差異、感病者與易感者的個體在人群中混合是均勻的人群的數量足夠大，只考慮傳染過程的平均效應。2. 易感者感病的機會與他接觸感病者的機會成正比。3. 疾病的傳染率為常數。4. 不考慮出生與死亡的過程和人群

3、的遷出和遷入5 .已感染者以固定的比率痊愈或死亡。6 .對于一個SARS康復者我們可以假設他二度感染SARS的概率為0，這些人既不是健康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)。符號說明：S(t) 為易感染者在總人口中所占的比例I(t) 為已感染者在總人口中所占的比例R(t) 為移出者在總人口中所占的比例N(t) 為疑似者在總人口中所占的比例M(t) 為不可控者在總人口中所占的比例k為每個易感染者平均每天感染的有效人數h為移出率（即SARS患者的日死亡率和日治愈率之和）e 為不可控者中轉化為病人的日轉化率a 為被不可控者有效感染的人中可以控制的比率y1為疑似者中每日被診斷為未被感染者占疑似者的比

4、例y2為疑似者中每日被診斷為被感染者占疑似者的比例對問題一的回答：某種函數的形式，引入一些參量因子進行考慮。對問題二的回答：模型的建立模型I（SIR） 如果假設S(t) 為易感染者在總人口中所占的比例，I(t) 為已感染者在總人口中所占的比例，R(t) 為移出者在總人口中所占的比例，k為每個易感染者平均每天感染的有效人數，h為移出率，則通過機理分析，這種情況可以用經典的傳染病模型SIR模型來描述，其表達式為如下的微分方程組：，S(0) = S0，I(0) = I0，R(0) = R0其中S(t) + I(t) + R(t) = 1。 （相對移出率）解為： 討論：當時， 無論初始條件如何，感病者

5、終將在系統中消失，即有。事實上，而故存在。由且故存在。若，則。對于充分大的有。從而對充分大的有。這將導致。與存在矛盾。可得。設法提高模型中（改善衛生條件、減少傳染期的接觸數）的值，在模型中，參數是重要的，通常稱之為相對移出率。我們可以用S的極值來表示，因此可以由觀測數據給出估計。 當傳染病流行結束后得到和，由上式就可給出的估計。模型（針對SARS特征建立的模型） SARS的傳播機理又與一般的傳染病不盡相同。不僅有易感染者、已感染者和移出者，還有疑似者和不可控者（自由帶菌者），同時疑似者和不可控者中都可能有一部分轉化為易感染者，也有一部分轉化為易感染者。所以，傳統的傳染病模型無法描述SARS的傳

6、播機理，必須對其進行修改。假設S(t) 為易感染者在總人口中所占的比例，I(t) 為已感染者在總人口中所占的比例，R(t) 為移出者在總人口中所占的比例，N(t) 為疑似者在總人口中所占的比例，M(t) 為不可控者在總人口中所占的比例。又設k為每個不可控者發病后被收治前平均每天感染的有效人數，e 為不可控者中轉化為病人的日轉化率，h為移出率（即SARS患者的日死亡率和日治愈率之和），a 為被不可控者有效感染的人中可以控制的比率，y1為疑似者中每日被診斷為未被感染者占疑似者的比例，y2為疑似者中每日被診斷為被感染者占疑似者的比例。于是，從經典的傳染病模型SIR模型出發，通過機理分析動態地修正，得

7、到描述SARS傳播的微分方程模型如下：，S(0) = S0，I(0) = I0，R(0) = R0，N(0) = N0，M(0) = M0參數的確定上述的SARS傳播模型中，共有6個參數。根據政府發布的統計數據信息，每天的y1、y2和h可以使用如下的公式進行估計：一=初步用曲線擬合處理一下原始數據，如圖所示： 圖1y1的值主要分布2%4.5%之間，其中概率最大的取值為：3.51%，故我們在模型建立過程中，就取3.51%為y1的概率平均值。二=初步用曲線擬合處理一下原始數據，如圖2所示：三h =初步用曲線擬合處理一下原始數據，如圖3所示：將每天估計的參數數據作為原始數據集，用曲線進行擬合（圖1為

8、對13天中h數據的擬合），求出相應的近似概率分布，從而可以求得三個參數的估計值。四從數據可推算出其值在12%30%之間我們在這里令五與城市的人口密度、生活習慣等因素有關，由于在強化控制階段對人員的流動控制的相當嚴格，還采取了比如封校、小區隔離、公共場合的關閉、減少聚集活動等有效措施，故我們可估計模型的求解從建立的模型來看很難直接得到S，I，R，和M的解析解，這里采用三階龍格庫塔方法，通過Matlab進行數據擬合來求出它們的數值解。通過采集到的實際數據計算出每一天的S，I，R，N和M，畫出它們作為時間的函數的圖象，然后畫出我們通過模型解出的數值解隨時間變化的圖形。對比這兩組圖形曲線，可以發現實際

9、和理論存在著一定的差異。這一方面是因為在疫情發展過程中的偶然因素造成的，另一方面也是因為我們的參數估計不精確造成的。所以，我們必須通過不斷的動態的調整那些非計算得到的參數（k，a）來使實際圖象和理論圖象趨于一致。例如，初步用曲線擬合處理一下原始數據，如圖2所示。經過不斷調試，找到適當的k，a，使實際圖象和理論圖象有最好的符合，從而得到非計算的三個參數，進而求得模型的數值解。初步用曲線擬合處理一下原始數據，如圖4所示：圖4經過多次調試,我們發現，當K=0.71人,=0.2,=0.8時,實際圖象和理論圖象有最好的符合。而這三個值均在我們估計的范圍內，所以我們認為這三個值的得到是比較合理的。對政府措

10、施的評價： 如果提前5天采取嚴格的隔離措施，那么在我們建立的模型中參數K將大大減小，也就是可控人數N中感染sars的人對易感人群的感染率將大大降低。反之，若延后5天采取嚴格的隔離措施，可控人數N中感染sars的人對易感人群的感染率將大大升高。由式可得出，可控制比例將增大，不可控人群變化率將降低。 由于所建模型中，常微分方程涉及到的參數特別多，所以對參數的確定有一定的困難，我們僅僅通過圖形法對數據進行擬合，顯然其擬合的結果可靠性、準確性受到一定限制，數值解也有相對的不確定性。對問題三的回答：旅游業經濟模型由于SARS的原因，我國經濟受到了很大的影響，我們通過對北京對海外旅游業的統計數據，建立了如下模型。符號說明表示n年k月份北京接待海外旅游人數。方程如圖5所示圖4平均年增長率如圖5所示圖5由于8月非典得到有效抑制，全國非典病人也實現了零增長，故