1、勾股定理的逆定理第一課時 一、教學設計思路本節從古埃及人畫直角的方法談起，然后讓學生畫一些三角形（已知三邊，并且兩邊的平方和等于第三邊的平方）從而發現畫出的三角形是直角三角形猜想如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，即教科書中的命題2，把命題2的條件、結論與上節命題1的條件、結論作比較，引出逆命題的概念二、教學目標知識與技能1研究直角三角形的判別條件；2熟記一些勾股數；3研究勾股定理的逆定理的探究方法。過程與方法用三邊的數量關系來判斷一個三角形是否為直角三角形，體會數形結合的思想。情感態度與價值觀1通過對Rt判別條件的研究，樹立大膽猜想，勇于探索的創新精

2、神。2通過介紹有關歷史資料，激發解決問題的愿望。三、教學重點和難點教學重點：探究勾股定理的逆定理，理解互逆命題，原命題、逆命題的有關概念及關系。教學難點：歸納、猜想出命題2的結論。四、教學方法啟發引導、分組討論五、教學媒體多媒體課件演示。六、教學過程設計（一）創設問題情境，引入新課（1）總結直角三角形有哪些性質。（2）一個三角形，滿足什么條件是直角三角形？學生分組討論，交流總結；教師引導學生回憶。（1）直角三角形有如下性質：有一個角是直角；兩個銳角互余；兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；在含30°角的直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半。（2）有一個內角是90&#

3、176;，那么這個三角形就為直角三角形大家思考一下還有沒有其他的方法來說明一個三角形是直角三角形呢？前面我們學習了勾股定理，可不可以用三角形三邊的關系來判定它是否為直角三角形呢？我們來看一下古埃及人如何做？（二）講授新課活動1問題：據說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結、4個結、5個結的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角。這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5有下面的關系“32+42=52”那么圍成的三角形是直角三角形。大家畫一畫、量一量，看看這樣做出的三角形是直角三角形嗎？再畫畫看，如果三角形的三邊分別為2.5 cm、6

4、 cm、6.5 cm，有下面的關系，“2.52+62=6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4 cm、7.5cm、8.5 cm再試一試。讓學生在小組內共同合作，協手完成此活動。用尺規作圖的方法作出三角形，經過測量后，發現以上兩組數組成的三角形是直角三角形，而且三邊滿足a2+b2=c2。我們進而會想：是不是三角形的三邊只要有兩邊的平方和等于第三邊的平方，就能得到一個直角三角形呢？活動2下面的三組數分別是一個三角形的三邊長a，b，c。5，12，13；7，24，25；8，15，17。（1）這三組數都滿足a2+b2=c2嗎？（2）分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直

5、角三角形嗎？學生進一步以小組為單位按給出的三組數作出三角形，從而更加堅信前面猜想出的結論。從而得出一個命題：命題2 如果三角形的三邊長：a，b，c滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形。同時，我們也進一步明白了古埃及人那樣做的道理實際上，古代中國人也曾利用相似的方法得到直角。直至科技發達的今天人類已跨入21世紀建筑工地上的工人師傅們仍然離不開“三四五放線法”。“三四五放線法”是一種古老的歸方操作。所謂“歸方”就是“做成：直角”譬如建造房屋，房角般總是成90°，怎樣確定房角的縱橫兩線呢？ 如右圖，欲過基線MN上的一點C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測繩的0和12尺

6、處，固定在C點；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點，再由一人拿9尺處。把尺拉直，定出B點，于是連結BC，就是MN的垂線。建筑工人用了3，4，5作出了一個直角，能不能用其他的整數組作出直角呢？據說，我國古代大禹治水測量工程時，也用類似的方法確定直角。滿足a2b2c2的三個正整數，稱為勾股數。如3，4，5；5，12，13活動3問題：命題1 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。命題2 如果三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形。它們的題設和結論各有何關系？學生閱讀課本，并回憶前面學過的一些命題，得出命題和逆命題的概

7、念。教師認真傾聽學生的分析。教師在本活動中應重點關注學生；能否發現互逆命題的題沒和結論之間的關系。能否積極主動地回憶我們前面學過的互逆命題。（三）課時小結問題：你對本節內容有哪些認識？教師課前準備卡片，卡片上寫出三個數，讓學生隨意抽出，判斷以這三個數為邊的三角形能否構成直角三角形。（四）板書設計18.2勾股定理的逆定理（一）2互逆命題、原命題、逆命題。第二課時一、教學設計思路本節主要學習勾股定理逆定理的證明，經歷證明勾股定理逆定理的過程，得出命題2是正確的，引出勾股定理的逆定理的概念，最后是利用勾股定理的逆定理解決實際問題的例子，可以進一步理解勾股定理的逆定理，體會數學與現實世界的聯系。二、教

8、學目標知識與技能1說出證明勾股定理逆定理的方法。2敘述逆定理，互逆定理的概念。過程與方法1經歷證明勾股定理逆定理的過程，發展邏輯思維能力和空間想象能力。2經歷互為逆定理的討論，樹立嚴謹的治學態度和實事求是求學精神。情感態度與價值觀1經歷探索勾股定理逆定理證明的過程，樹立克服困難的勇氣和堅強的意志。2樹立與人合作、交流的團隊意識。三、教學重點和難點教學重點：勾股定理逆定理的證明，及互逆定理的概念。教學難點：互逆定理的概念。四、教學方法合作探究五、教學媒體多媒體課件演示。六、教學過程設計（一）創設問題情境，引入新課以下列各組線段為邊長，能構成三角形的是_（填序號）能構成直角三角形的是_3，4，5

9、1，3，4 4，4，6 6，8，10 5，7，2 13，5，12 7，25，24幫助學生回憶構成三角形的條件和判定一個三角形為直角三角形的條件。能構成三角形的是：；能構成直角三角形的是；（二）講授新課活動1命題2正確嗎？如何證明呢？讓學生試著尋找解題思路；教師可引導學生發現證明的思路。師：ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，如果ABC是直角三角形，它應與直角邊是a，b的直角三角形全等實際情況是這樣嗎？我們畫一個直角三角形，使（如下圖）把畫好的剪下，放在 ABC上，它們重合嗎？生 我們所畫的Rt，又因為c2=a2+b2，所以即。和三邊對應相等，所以兩個三角形全等，為直角三角形。即命題2

10、是正確的。活動2當我們證明了命題2是正確的，那么命題就成為一個定理由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題l的逆命題，在此我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互為逆定理。師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立嗎？師 你還能舉出類似的例子嗎？活動3練習：1如果三條線段長a，b，c滿足a2=c2b2。這三條線段組成的三角形是不是直角三角形？為什么？2說出下列命題的逆命題這些命題的逆命題成立嗎？（1）兩條直線平行，內錯角相等。（2）如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等。（3）全等三角形的對應角相等。（4）在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。進一步理解和掌握

11、勾股定理的逆定理的本質特征，以及互為逆命題的關系及正確性；提高學生的數學應用意識和邏輯推理能力。（三）鞏固提高例1個零件的形狀如下圖所示，按規定這個零件中 和都應為直角工人師傅量出了這個零件各邊尺寸，那么這個零件符合要求嗎？例2 （1）判斷題以a=10，b=8，c=6為邊組成的三角形是不是直角三角形。解：因為a2+b2=100+64=164c2，即所以由a，b，c不能組成直角三角形。請問：上述解法對嗎？為什么？（2）已知：在中，AB=13cm ，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm 。求證：AB=AC。這是利用勾股定理的逆定理解決實際問題的例子，可以使學生進一步理解勾股定理的逆定理，體

12、會數學與現實世界的聯系。例1：分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子。解：在中，所以是直角三角形。是直角。在中，所以是直角三角形。是直角。因此這個零件符合要求。例2：（1）解：上述解法是不對的因為a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2，即b2+c2=a2。所以由 a，b，c組成的三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可構成直角三角形，其中a是斜邊，b，c是兩直角邊。評注：在解題時，我們不能簡單地看兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，而應先判斷哪一條邊有可能作為斜邊往往只需看最大邊的平方是否等于另外兩邊的平方和。（2

13、）證明：根據題意，畫出圖形AB=13cm，BC=10cm 。AD是BC邊上的中線BD=CD=5cm，在中AD=12cm ，BD=5cm，AB=13cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169。所以AB2=AD2+BD2。則。在Rt中，所以。（四）課時小結你對本節的內容有哪些認識？掌握勾股定理的逆定理及其應用熟記幾組勾股數 。（五）板書設計18.2勾股定理的逆定理（二）1勾股定理的逆定理的證明構造Rt，使兩直角邊為a，b，從而得斜邊，得到，所以為直角三角形。2鞏固提高第三課時一、教學設計思路本節進一步學習勾股定理的逆定理在實際生活中的廣泛應用，經歷將實際問題轉化為數學模型的過程，給

14、學生充分交流的時間和空間，學會自主學習。二、教學目標知識與技能能運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題。過程與方法1經歷將實際問題轉化為數學模型的過程，體會用勾股定理的逆定理解決實際問題的方法，發展應用意識。2在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，發展實踐能力和創新精神。情感態度與價值觀1在用勾股定理的逆定理探索解決實際問題的過程中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立學習數學的自信心。2在解決實際問題的過程中，形成實事求是的態度以及進行質疑和獨立思考問題的習慣。三、教學重點和難點教學重點：運用勾股定理的逆定理解決實際問題。教學難點：將實際問題轉化成用勾股定理的逆定理解決的數學問題。四

15、、教學方法合作探究、小組討論五、教學媒體多媒體課件演示。六、教學過程設計（一）教授新課例1 判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形。（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15；（3）求證m2n2，m2+n2，2mn（mn，m，n是正整數）是直角三角形的三條邊長。進一步讓學生體會用勾股定理的逆定理，實現數和形的統一，第（3）題又讓學生從一次從一般形式上去認識勾股數，如果能讓學生熟記幾組勾股數，我們在判斷三角形的形狀時，就可以避開很麻煩的運算。解：（1）因為152+82=225+64=289，172=289，所以152+82=172，這個三角形是直角三角形。（2

16、）因為132+142=169+196=365152=225所以132+142152。這個三角形不是直角三角形。（3）證明：mn、m、n是正整數（m2n2）+（m2+n2）=2m22mn，即（m2n2）+（m2+n2）2mn。又因為（m2n2）+2mn=m2+n（2mn），而2mn=m+（nn0，）所以（m2n2）+2mnm2+n2這三條線段能組成三角形。又因為（m2n2）2=m4+n42m2n2（m2+n2）2=m4+n4+2m2n2（2mn）2=4m2n2，所以（m2n2）2+（2mn）2=m4+n42m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2所以，此三角是直角三角形，m

17、2n2、2mn、m2+n2（mn、m、n是正整數）這三邊是直角三角形的三邊。師：我們把像15、8、7這樣，能夠成為三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。而且我們不難發現m2n2、m2+n2、2mn也是一組勾股數，而且這組勾股數由于m、n取值的不同會得到不同的勾股數。例如m=2，n=1時，m2n2=2212=3，m2+n2=22+12=5，2mn=2×2×1=4，而3、4、5就是一組勾股數。你還能找到不同的勾股數嗎？師：由此我們發現，勾股數組有無數個，而上面介紹的就是尋找勾股數組的一種方法。17世紀，法國數學家費馬也研究了勾股數組的問題，并且在這個問題的啟發下，向導了一個更

18、一般的問題，1637年，他提出了數學史上的一個著名猜想費馬大定理，即當n2時，周布道任何的正整數組，使等式xn+yn=zn成立，費馬大定理公布以后，引起了各國優秀數學家的關注，他們圍繞著這個定理頑強的探索著，試圖來證明它。1995年，英籍數學家懷爾斯終于證明了費馬大定理，解開了這個困惑世間無數智者300多年的迷。例2 “遠航”號，“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里，如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？教師先鼓勵學生根據題意畫出圖形，然后小組內交流討論，教師需巡視，對有困難的學生一個啟示，幫助它們尋找解題的途徑。了解：根據題意畫出下圖PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30因為242+182=302，即PQ2+PR2=QR2。所以QPR=90°由“遠航”號沿東北方向航行可知，QPS=45°，所以RPS=45°，即“海天