1、精選優質文檔-傾情為你奉上歐拉方程的求解1.引言在數學研究領域，我們經常會看到以數學家名字命名的概念、公式、定理等等，讓人敬佩跟羨慕.但是，迄今為止，哪位數學家的名字出現得最多呢？他就是數學史上與阿基米德、牛頓、高斯齊名的“四杰”之一，人稱“分析學的化身”的盲人數學家歐拉（Leonhard Euler,1707-1783）.幾乎在每一個數學領域都可以看到他的名字，譬如我們熟悉的“歐拉線”、“歐拉圓”、“歐拉公式”、“歐拉定理”、“歐拉函數”、“歐拉積分”、“歐拉變換”、“歐拉常數”歐拉還是許多數學符號的發明者，例如用表示圓周率、表示自然對數的底、表示函數、表示求和、表示虛數單位以歐拉命名的數學

2、名詞有很多，本文主要講解以歐拉命名的方程即“歐拉方程”.在文獻1中，關于歐拉方程的求解通常采用的是變量變換的方法.變量變換法就是將所求的歐拉方程化為常系數齊次線性微分方程，然后再來求解這個常系數齊次線性微分方程的解，亦即求其形如的解，進而求得歐拉方程的解.但有些歐拉方程在用變量變換法求解時比較困難.本文在所學的歐拉方程的求解的基礎上，對歐拉方程進行了簡單的分類，并針對不同階的歐拉方程的求解給出了不同的定理.最后在每類歐拉方程后面給出了典型的例題加以說明.2.幾類歐拉方程的求解定義1 形狀為 （1）的方程稱為歐拉方程. （其中，為常數）2.1二階齊次歐拉方程的求解（求形如的解）二階齊次歐拉方程：

3、 . （2）(其中,為已知常數）我們注意到，方程（2）的左邊、和的系數都是冪函數（分別是、和），且其次依次降低一次.所以根據冪函數求導的性質，我們用冪函數來嘗試，看能否選取適當的常數，使得滿足方程（2）.對求一、二階導數，并帶入方程（2），得或,消去，有 . （3）定義2 以為未知數的一元二次方程（3）稱為二階齊次歐拉方程（2）的特征方程.由此可見，只要常數滿足特征方程（3），則冪函數就是方程（2）的解.于是，對于方程（2）的通解，我們有如下結論：定理1 方程（2）的通解為(i) , （是方程（3）的相等的實根）(ii), (是方程（3）的不等的實根)(iii).（是方程（3）的一對共軛復根）

4、（其中、為任意常數）證明 （i）若特征方程（3）有兩個相等的實根: ，則是方程（2）的解,且設，（為待定函數）也是方程（2）的解（由于，即，線性無關），將其帶入方程（2），得,約去，并以、為準合并同類項，得.由于是特征方程（3）的二重根，因此或,于是，得或,即 ,故 .不妨取，可得方程（2）的另一個特解,所以，方程（2）的通解為.（其中，為任意常數）（ii）若特征方程（3）有兩個不等的實根: ，則，是方程（2）的解.又不是常數，即，是線性無關的.所以，方程（2）的通解為.（其中，為任意常數）（iii）若特征方程（3）有一對共軛復根：（），則，是方程（2）的兩個解，利用歐拉公式，有，,顯然，和

5、是方程（2）的兩個線性無關的實函數解.所以，方程（2）的通解為.（其中，為任意常數）例1求方程的通解.解 該歐拉方程的特征方程為，即 ,其根為： ,所以原方程的通解為.（其中，為任意常數）例2 求方程的通解.解 該歐拉方程的特征方程為，即 ,其根為： ，所以原方程的通解為.（其中，為任意常數）例3 求方程的通解.解 該歐拉方程的特征方程為，即 ,其根為： ,所以原方程的通解為.（其中，為任意常數）2.2二階非齊次歐拉方程的求解（初等積分法）二階非齊次歐拉方程：. （4） （其中，為已知實常數，為已知實函數）為了使方程（4）降階為一階線性微分方程，不妨設，, （5）則方程（4）變為，即, （6）

6、根據韋達定理，由（5）式可知，是一元二次代數方程 （3）的兩個根.具體求解方法：定理2 若，為方程（2）的兩個特征根，則方程（4）的通解為 . （7）證明 因為，為方程（2）的兩個特征根，于是方程（4）等價于方程（6），令 ,代入方程（6）并整理，得和,解之，得方程（4）的通解為.由定理2知，只需要通過兩個不定積分（當（7）式中的積分可積時）即可求得方程（4）的通解.為了方便計算，給出如下更直接的結論.定理3 若， 為方程（2）的兩個特征根，則（i）當是方程（2）的相等的實特征根時，方程（4）的通解為,（ii）當是方程（2）的互不相等的實特征根時，方程（4）的通解為,（iii）當是方程（2）的

7、共軛復特征根時，方程（4）的通解為證明 （ii）當是方程（2）的互不相等的的實特征根時，將方程（1）的通解（7）進行分部積分，得 （8）（iii）當是方程（2）的共軛復特征根時，再由歐拉公式有,將其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解為（i）的證明和（ii）類似.例1求方程的通解.解 該歐拉方程所對應的齊次方程的特征方程為，特征根為 ,所以由定理3，原方程的通解為（其中，為任意常數）例2求方程的通解.解 該歐拉方程所對應的齊次方程的特征方程為，特征根為 ，所以由定理3，原方程的通解為（其中，為任意常數）例3求方程的通解.解 該歐拉方程所對應的齊次方程的特征方程為，特征根為 ,所以由定理3，原

8、方程的通解為（其中，為任意常數）在定理3中，若令，則得到二階齊次歐拉方程（2）的通解.推論 方程（2）的通解為(i), （是方程（2）的相等的實特征根）(ii), （是方程（2）的不等的實特征根）(iii).（是方程（2）的共軛復特征根）（其中，為任意常數）2.3三階非齊次歐拉方程的求解（常數變易法）三階非齊次歐拉方程：. （9）（其中，為常數） （9）對應的齊次方程為. （10）特征方程為. （11）定理4 設是方程（11）的根，是方程的根，則（9）的通解為 . （12）證明 根據條件（為任意常數）是方程（10）的解.設是方程（9）的解（其中是待定的未知數），將其代入方程（9），整理得 （1

9、3）因為是（11）的根，則,于是（13）式化為（14）這是以為未知函數的二階歐拉方程.設為（14）對應的齊次方程的特征方程, （15）的根，則.從而.故方程（1）的通解為.定理5 設是方程（11）的根，是方程（15）的根，則（i）當是方程（11）的單實根，是方程（15）的單實根，則（9）的通解為（ii）當是方程（11）的單實根，是方程（15）的單虛根，則（9）的通解為（其中，）(iii）當是方程（11）的單實根，是方程（15）的重實根，則（9）的通解為,（iv）當是方程（11）的三重實根，方程（15）變為，有，則（9）的通解為.證明 （i）因為是方程（15）的單實根，得（14）的通解為則（9）

10、的通解為（ii）因為是方程（14）的單虛根，此時方程（15）有一對共軛虛根,得（14）的通解為則（9）的通解為（其中，）（iii）因為是方程（15）的重實根，得（9）的通解為.（iv）當是方程（10）的三重實根（），方程（15）變為，有，將，代入（12）式得,對上式分部積分得（9）的通解為.例1 求三階歐拉方程的通解.解 原方程對應的齊次方程為,其特征方程為，解得其特征根為，取 ，將，代入方程（15），得,解得或，利用定理5（i）的通解公式有.（其中，為任意常數）例2 求三階歐拉方程的通解.解 原方程對應的齊次方程為,其特征方程為，從而解得特征單實根為，將，代入方程（15），得到，解得 .令，

11、則，利用定理5（ii）的通解公式有（其中，為任意常數）2.4 階齊次歐拉方程的求解（求形如的解）令是方程（1）的解，將其求導（需要求出、）代入方程（1），并消去，得 . (16）定義3 以為未知數的一元次方程（16）稱為階齊次歐拉方程（1）的特征方程.由此可見，如果選取是特征方程（16）的根，那么冪函數就是方程（1）的解.于是，對于方程（1）的通解，我們有如下結論：定理6 方程（1）的通解為（其中，為任意常數），且通解中的每一項都有特征方程（16）的一個根所對應，其對應情況如下表：方程（16）的根方程（1）通解中的對應項單實根：給出一項：一對單共軛復根：給出兩項：重實根：給出項：一對重共軛復根

12、：給出項：例1 求方程的通解.解 該歐拉方程的特征方程為,整理，得，其根為，所以原方程的通解為.（其中，為任意常數）例2 求方程的通解.解 該歐拉方程的特征方程為，整理，得，其根為，（即一對二重共軛復根），所以原方程的通解為.（其中，為任意常數）3.結束語從前面的討論過程來看，和教材中的變量變換法相比，本文中的解決辦法更直接、更簡單.但需要說明的是，本文中的定理和例題都是在范圍內對齊次歐拉方程求解的，如果要在范圍內對其求解，則文中的所有都將變為，所得的結果和范圍內的結果相似.4.致謝經過這好幾個月忙碌的學習跟工作，本次畢業論文的寫作已經接近尾聲了，但這次畢業論文的寫作經歷讓我感受頗多.首先，自

13、己要有很好的專業知識的儲備，這也是寫作的基礎.其次，自己要有嚴謹的思維邏輯.再次，自己要善于思考，遇到不懂得問題就要勤于思考，查資料，問老師.最后，自己一定要有堅持不懈的精神.畢業論文的寫作是一個長期的過程，在寫作過程中我們難免會遇到各種各樣的過程，但我們不能因此就放棄，而要做到堅持.要相信“有付出就一定會有所收獲”的.在這里首先要感謝我的指導老師胡宏昌教授.胡老師平日里工作繁多，但在我做畢業論文階段，他都給予了我悉心的指導，細心地糾正論文中的錯誤并給予指導.如果沒有他的大力支持，此次論文的完成將變得非常困難.除了敬佩胡老師的專業水平外，他的治學嚴謹和科學研究的精神也值得我永遠學習，并將積極影響我今后的學習和工作.然后還要感謝大學四年來我的所有的老師跟領導，為我們打下了堅實的專業知識的基礎.最后祝各位評審老師身體健康，工作順利！5、參考文獻1王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程M.第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.2華東師范大學數學系.數學分析（上）M.第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.3鐘玉泉.復變函數論M.第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.4胡勁松.一類歐拉方程特解的求解.重慶科技學院學報J,2009,11(2):143-144.5胡勁松，鄭克龍.常數變易法解二階歐拉方