1、概率論與數理統計期末試題、填空題（每小題 3分，共15分）1 .設事件A,B僅發生一個的概率為 0.3,且P(A) P(B) 0.5,則A, B至少有一個不發 生的概率為.答案：0.9解：P(AB AB) 0.3即0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)所以P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 0.9.2 .設隨機變量X服從泊松分布，且 P(X 1) 4P(X 2),則P(X 3) 答案：11-e 6解答：2P(X 1) P(X 0) P(X 1) e e , P(X 2) e 2由 P(X 1) 4P(X 2)知

2、e e 2 2e一 一 2,一，即 21 0 解得 1,故11P(X 3) -e63.設隨機變量X在區間（0,2）上服從均勻分布,則隨機變量Y X2在區間（0,4）內的概率教育資料密度為fY（y） 答案：fY(y)Fy(y) ： fX(, y)2,y_1_4, y，4,0 ,其它.解答：設Y的分布函數為FY(y), X的分布函數為Fx(x),密度為fX(x)則FY(y) P(Y y) P(X2 _y) P( ,y X .y) Fx(.y) Fx( y) 因為 X U (0, 2),所以 Fx( Jy) 0,即 FyW) Fx(J7)fY(y)(y)21fx (6)爾, 0 y 4,0 ,其它.

3、另解 在(0,2)上函數y x2嚴格單調，反函數為 h(y) 日所以4,fY(y)0 ,其它.4.設隨機變量 X,Y相互獨立，且均服從參數為的指數分布，P(X 1) e 2,則, Pmin(X,Y) 1 =.答案： 2, Pmin( X,Y) 1 1 e-4解答：2P(X 1) 1 P(X 1) e e ,故 2Pmin( X,Y) 11 Pmin(X,Y) 11)P(Y1)P(X4e .5.設總體X的概率密度為f(x)(1)x , 0 x 1,0,其它1.X1 ,X2, , Xn是來自X的樣本，則未知參數的極大似然估計量為答案:1一 ln xn i 1解答:似然函數為L(x1 ,L ,xn；

4、)1)xi(1)n(x1L,xn)ln xi 10nln L n ln( 1) ln xi i 1d ln Ld解似然方程得的極大似然估計為$111 n I 一 In xi n i 1二、單項選擇題(每小題 3分，共15分)1 .設A, B,C為三個事件，且 A, B相互獨立，則以下結論中不正確的是(A)若P(C) 1,則AC與BC也獨立.(B)若P(C) 1,則AUC與B也獨立.(C)若P(C) 0,則AUC與B也獨立.(D)若C B ,則A與C也獨立.()答案：(D).(C)解答：因為概率為1的事件和概率為0的事件與任何事件獨立，所以( A), (B),都是正確的，只能選(D)可見A與C不

5、獨立.2 .設隨機變量X N(0,1), X的分布函數為(x),則P(|X | 2)的值為(A) 21(2).(B) 2 (2) 1.(0 2(2) .(D) 1 2 (2).()答案：(A)解答：X N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(|X| 2) 1 P( 2 X 2) 1(2)( 2) 1 2 (2) 1 21(2)應選(A).3 .設隨機變量 X和Y不相關，則下列結論中正確的是(A) X 與 Y 獨立.(B) D(X Y) DX DY .(C) D(X Y) DX DY .(D) D(XY) DXDY .( )答案：（B）解答：由不相關的等價條件知，xy 0 cov （x,

6、 y） 0D（X Y） DX DY+2cov （x, y）應選（B）.4 .設離散型隨機變量 X和Y的聯合概率分布為(X,Y)(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)若X,Y獨立，則9的值為18(A)(C)2, 916(A)(D)1,951818答案:(A)故應選P(X2, Y2)P(X 2)P(Y 2)(3(A).5 .設總體X的數學期望為 ，Xi,X2,L ,Xn為來自X的樣本，則下列結論中正確的是（A） Xi是的無偏估計量.（B） Xi是的極大似然估計量.（C） Xi是 的相合（一致）估計量.（D） Xi不是 的估計量.（）答案：（A）解答：EXi，所以Xi

7、是 的無偏估計，應選（A）.三、（7分）已知一批產品中 90%是合格品，檢查時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.05 , 一個次品被誤認為是合格品的概率為0.02求(1) 一個產品經檢查后被認為是合格品的概率；(2) 一個經檢查后被認為是合格品的產品確是合格品的概率解：設A 任取一產品，經檢驗認為是合格品B任取一產品確是合格品則(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.(2)P(B|A)P(AB)0.9 0.95P(A)0.8570.9977 .四、(12分)從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的

8、事件是相互獨立的，并且概率都是 2/5.設X為途中遇到紅燈的次數，求X的分布列、分布函數、數學期望和方差.解：X的概率分布為P(Xk)3 kk0,1,2,3X0123即P2754368125125125125X的分布函數為F(x)027125811251171251x 0, 0x1,1 x 2,2x3, x 3.五、EXDX1825(10分)設二維隨機變量(X,Y)在區域D (x,y)|x 0, y0, x y 1上服從X Y的分布函數與概率均勻分布.求(1) (X,Y)關于X的邊緣概率密度；(2) Z密度.fx(x)(1) (X,Y)的概率密度為f(x, y)2, (x, y) d0,其它.

9、f (x, y)dy2 2x, 0 x 10 ,其它(2)利用公式fZ(z)f (x, z x)dx其中f (x,z x)2,1,02,1,x z 1.0,其它0,其它.fz(z)Z的分布函數為fz(z)zdx02xz2z故Z的概率密度為fz(z)2z, 0 z0,其它.1,0,zfz (z)fz(y)dyz0 2ydy,或利用分布函數法Fz(z) P(Z z) P(X1,z)D12dxdy,0,1.1,0,z 1,1.0,1,1.fz(z)Fz (z)2z,1,其它.六、(10分)向一目標射擊，目標中心為坐標原點，已知命中點的橫坐標X和縱坐標Y相222 一 一互獨立，且均服從N(0,2 )分

10、布.求(1)命中環形區域 D (x,y)|1 x y 2的概率；（2）命中點到目標中心距離 Z Jx2 Y2的數學期望2r2T2e11e4PX,Y) D2y8 dxdyd(218)f (x, y) dxdy22 Le 8 rdrd1r2e 81e*(2) EZ E(病Y2)2y8 dxdyrer28 rdrdr28 r2dr2 rree 8 dr七、（11分）設某機器生產的零件長度（單位：cm） X N（ , 2）,今抽取容量為16的樣2本，測得樣本均值 x 10,樣本萬差s 0.16. （1）求的置信度為0.95的置信區2同；（2）檢驗假設H0 : 20.1 （顯著性水平為0.05）.（附注）t0.05（16） 1.746, t0.05（15） 1.753, t0.025（15） 2.132,0.05(16) 26.296,2.05(15) 24.996,0.025(15) 27.488.解：（1）的置信度為1下的置信區間為(Xt /2(n1)s, n ,X 1