1、學號：05008基于Black-Scholes模型的歐式期權定價研究清華大學 高 皓 指導教師：束為（北京市商務局副局長）摘要：期權是人們為了規避市場風險而創造出來的一種金融衍生工具。期權定價是金融衍生工具理論研究和實際應用的核心問題。本文介紹了金融衍生品概況，利用隨機過程的知識，系統研究了基于Black-Scholes模型的歐式期權定價問題。文章推導出了標的資產的價格過程，進而應用風險中性法詳細解析了Black-Scholes模型。關鍵詞：期權定價，伊藤過程，Black-Scholes模型，風險中性。1 金融衍生品概論1.1 金融衍生品及其市場期權是最基本的金融衍生品之一。金融衍生工具（de

2、rivative instruments）又稱金融衍生品（derivatives）或金融證券（derivative securities），是一種金融工具，其價格或投資回報最終取決于另一種資產，即所謂的標的資產（underlying asset）的價格。這就是說金融衍生品的價值是由其標的資產價值衍生（derived）而得到的。其中，用來作為標的資產的可以是債券、股票、貨幣等基礎金融工具，也可以是其它實物資產，或者是金融衍生品本身。從金融工程學角度看，遠期合同、期貨合同和期權合同是三種最基本的衍生品。市場上還存在的的其它衍生品，如掉期（swaps）、按揭抵押債券（mortgage-backed

3、securities）、結構化債券（structured securities）等都可以看作上述三種基本衍生工具及債券、股票的基礎金融工具不同組合的產物。金融衍生品市場是一個非常巨大的市場，表1和表2分別列出了5年前交易所內外交易的金融衍生產品市值。目前全球每年的交易額超過100萬億美元，而全世界所有國家的當年GDP總和也不過30萬億美元。這個市場發展極其迅猛，也對全世界的經濟走勢產生了極其深遠的影響。從原理上來講，金融衍生品市場首先是規避風險的工具，通過交易使得風險從風險厭惡者手中轉移到風險喜好者手中。但在實踐中取得的效果往往適得其反，越是設計的復雜的產品，其破壞力往往就越大。1994年墨西

4、哥金融危機，1997年亞洲金融風暴都與金融衍生品市場息息相關。金融衍生品市場非常精妙復雜，充滿了不確定性，每天都在發生著驚心動魄的財富故事，是對人類智力的挑戰。目前在中國還未允許期權交易和金融期貨交易，但是，中國的金融安全、中國的發展，需要一大批金融衍生品方面的頂尖專家。前一段時間發生的“國儲銅”事件，讓我們感到學習掌握金融衍生品交易的尖端技術迫在眉睫。表1 交易所交易的金融衍生產品市值（單位:10億美元）期末名義余額名義交易額時間1997年12月1998年12月1999年6月1997年1998年1999年總計12,202.213,549.215,097.8356,752.8387,699.2

5、92,818.0數據來源：國際清算銀行1999年發布的國際銀行業與金融市場發展季度報告表2 場外市場交易的金融衍生產品期末未結清余額（單位:10億美元）工具1998年6月1998年12月名義本金額市場總價值名義本金額市場總價值總計72,1432,58080,3003,230數據來源：國際清算銀行1999年關于衍生品OTC市場的統計報告1.2 期權的基本概念期權 (option)：是一種選擇權，持有者有在約定時間以約定價格向其權提供者購買或售出某種資產的權利，但不負有必須買進或賣出的義務。做多方（long position）：買方。做空方（short position）：賣方。標的資產（unde

6、rlying asset）：期權合同做多方行使權力時買入或賣出的資產。可供選擇的表弟資產有股票、債券、貨幣、利率等金融資產，也可以是黃金和其他一些商品。敲定價格（strike price）：期權合同所規定的標的資產的買入或賣出價格。敲定價格在簽訂期權合同時就已經固定，不再隨標的資產的市場價格變化而變化。看漲期權(call option)：是指期權的買方享有在規定的有效期限內按某一具體的敲定價格買進某一特定數量的相關商品期貨合約的權利，但不同時負有必須買進的義務。看跌期權(put option)：是指期權的買方享有在規定的有效期限內按某一具體的敲定價格賣出某一特定數量的相關商品期貨合約的權利，但

7、不同時負有必須賣出的義務。到期日（expiration date）：期權合同所規定的有效期限或合同做多方行使權力的時間。根據做多方在期權有效期內行使權力自由度的不同，期權有可以分為美式期權（American-style option），即做多方可以在到期日前任何一天行使權力；歐式期權（European-style option），即做多方只能在到期日行使權力，本文中僅研究歐式期權。可行市場：研究金融市場有一個基本的假定，就是無套利原則，也稱套利原則，這個原則就是假定正常運行的市場沒有套利機會（套利的粗略含義是，在開始時無資本，經過資本的市場運作后，變成有非負的（隨機）資金，而且有正資金的概率為

8、正）。因為在出現套利機會時，大量的投機者就會涌向市場進行套利，于是經過一個相對短的時期的“混亂”后，市場就會重返“正常”，即回復到無套利狀態。在金融衍生證券的定價理論中，并不討論這段短混亂時期，因此，在研究中普遍地設置無套利假定，這樣的市場也稱為可行市場。套期：粗略地說，以持有某些有價證券組合來抵消某種金融衍生證券所帶來的風險，稱為套期，這種套期事實上是完全套期。如果只抵消了部分風險，則稱為部分套期。1.3 期權交易過程以某種證券為標的變量的歐式看漲期權，是指在t0時甲方（一般為證券公司）與乙方的一個合約，按此合約規定乙方有一個權利，能在時刻T以價格X（敲定價格）從甲方買進一批這種證券，如果時

9、間T時的市場價格低于X，乙方可以不買，而只要時間T時的市場價格高于X，乙方就得利。綜合起來，乙方在時刻T凈得隨機收益為。因為乙方只能在最終時刻T做出選擇，所以這種期權是歐式期權。此外，乙方希望盡量大，以便有更多的獲利。也就是有選擇權的乙方盼望股票上漲，這就是看漲期權，或者買權。由于這個合約能給乙方帶來的隨機收益，就需要乙方在t0時刻用錢從甲方購買。這個合約在t0時刻的價格，稱為它的貼水或保證金(premium)。問題關鍵是如何確定這個合約在時刻的價格。這正是本文研究的問題。 1.4 Black-Scholes期權定價模型的簡述價格從來都是市場經濟的核心內容，價格是使市場上的交易雙方達成交易的最

10、重要的因素，價格反映了市場上的供求關系。資產定價（asset valuation）是現代財務學的一個基本問題。1973年，芝加哥大學教授Black和MIT 教授Scholes在美國“政治經濟學報”（Journal of Political Economy）上發表了一篇題為“期權定價和公司負債”（The pricing of Options and Corporate Liabilities）的論文；同年，哈佛大學教授Merton在“貝爾經濟管理科學學報”上發表了另一篇論文“期權的理性定價理論”（Theory of rational option pricing），奠定了期權定價的理論性基礎，為

11、財務金融學開創了一個嶄新的領域，也拉開了100萬億美元龐大市場的序幕。Scholes和Merton由于在期權定價方面的開拓性貢獻，被授予1997年諾貝爾經濟學獎（Black教授1995年逝世未能享此殊譽，但英名也永載史冊）。現在，期權理論與應用研究已經成為財務金融學領域最為活躍的分支，本文的研究就是以著名的Black-Scholes 模型展開的。概念與基本假定Black-Scholes期權定價模型將股票期權價格的主要因素分為五個：標的資產市場價格、執行價格、無風險利率r、標的資產價格波動率和距離到期時間。除此之外，對于股票期權來說，影響其價值的參數還包括股利支付D。在具體分析上述參數對期權價值

12、的影響之前，我們先討論一下期權價值的構成問題。期權的價值等于內在價值和時間價值之和。其中，期權的內在價值(intrinsic value)是指期權盈價的金額，即期權的做多方從執行期權合同中得到的現金收入額。買權的內在價值表明，由于期權損益結構的不對稱性，其內在價值不會為負，至少等于0。內在價值時間價值期權價值0圖1 歐式看漲期權的價格（） 對于一個歐式買權、且現在時刻t離到期日T尚有一段時間T-t，則不能簡單地用現行市場價格，減去執行價格X作為其內在價值，因為它們是發生在兩個不同時刻的價值量，考慮到貨幣的時間價值，簡單的算術加減是沒有意義的，而應當將未來T時刻的價值量X按無風險利率r貼現到當前

13、時刻。因此，歐式買權內在價值的計算公式應當調整為 Black-Scholes期權定價的基本思路 期權定價的主要研究工具是隨機過程的分支隨機微分方程和鞅。隨機微積分起源于馬爾可夫過程結構的研究。日本數學家伊藤清在探討馬爾可夫過程的內部結構時，認為布朗運動(又稱維納過程)是最基本的擴散過程，能夠用它來構造出一般的擴散運動。Black-Scholes考察一類特殊的擴散過程 ：，這里表示股票價格，股票預期收益率及波動率均為常數，t代表時間，為標準布朗運動。在無交易成本、不分股利的假設下，得出歐式看漲期權價格應滿足如下微分方程 (r為無風險利率 ) ：Black在1989年曾在一篇文章中介紹了得到Bla

14、ck-Scholes模型的全部經過。他指出，期權定價的核心在于設計一個套期組合策略，使得期權市場投資風險為零，這是對期權定價建模思路的高度概括。我們下面將詳細討論。利用偏微分方程的理論求出的方程解析解 ，即著名的Black-Scholes期權定價公式。下面列出了歐式買權解的表達式。其中，2標的資產價格變動的概率分布模型從概率論的角度講，標的資產價格的變化是一個隨機過程。因此，了解和掌握這個隨機過程的基本特征，是期權定價理論首先要回答的基本問題。例如，股票價格變動服從幾何布朗運動或對數正態分布，是Black和Scholes在推導B-S期權定價模型時用到的最基本的假設。本節介紹與之相關的基本概念，

15、布朗運動、幾何布朗運動、伊藤過程和伊藤定理等。在此基礎上，以股票為例，討論標的資產價格的概率模型。2.1 布朗運動及一般化維納過程股票價格的變化行為常用著名的布朗運動來刻畫。布朗運動是馬爾柯夫過程的一種特殊形式。布朗運動最早起源于物理學，物理學中把某個粒子的運動是受到大量小分子碰撞的結果成為布朗運動。股票價格的變化也是受著很多種因素的影響，所以形象的說，股票價格運動的軌跡類似于布朗運動。關于這一點假設，文章中還會有比較詳細的說明。定義 布朗運動（維納過程）隨機過程稱為布朗運動（維納過程），如果它滿足：（1）過程具有獨立增量；（2）正態增量，即；（3）是一個連續函數。從下圖中布朗運動的軌跡看，確

16、實沒有什么規律可言。圖2 布朗運動的軌跡定義 一般維納過程設為布朗運動，則稱 為一般化的維納過程（布朗運動）。稱為瞬時期望漂移率（instantaneous expected draft rate ），為瞬時標準差，它們都是給定的參數，是連續的維納過程。一般化維納過程是最常用來刻畫基礎金融變量，特別是描述股票價格的變化的一種隨機過程形式。影響股票價格變化的因素主要有以下兩點：股票價格隨時間上漲的趨勢和股票價格的平均波動率。前者對股票價格增長的貢獻取決于時間的長短；后者至取決于布朗運動造成的隨機波動。所以，股票價格的變化可以看成是兩個方向上的力共同決定的。具體地說，如果我們不計算 在內，則 ，即

17、，這說明股票價格具有線性增長的性質。如果我們考慮，這種波動分為兩個部分，（1），即所謂白噪聲（white noise），（2）它被放大了倍，則有，這說明股票價格S 在線性增長的同時，還有隨機波動的傾向，兩部分的疊加就獲得了如圖的一般維納過程。圖3 一般維納過程最上邊那條隨機波動的藍色曲線代表股票價格，斜向上的紅色直線代表不計隨機波動影響的股票價格，下面那條隨機波動的綠色曲線代表沒有線性增長趨勢的股票價格的變動。真實的股票價格是由線性增長和隨機波動兩種因素共同影響而成。2.2 幾何布朗運動早在1900年巴舍利耶（Bachelier）就曾經假定股票價格運動服從維納過程，但這引起了一個矛盾，即股票價

18、格也有可能為負數，這與現代公司有限負債前提相矛盾。而直接假設股票價格遵循一般維納過程也忽略了一個事實，即投資者往往要求股票的期望收益率是一個常數，而不管股票價格的絕對水平是多少。因此，現在通用的描述股價的適當形式應為：或寫成 定義 幾何布朗運動如果隨機過程是布朗運動，則稱隨機過程為幾何布朗運動（geometric Brown motion），如果 。下面將證明，股票價格服從幾何布朗運動。對于一般的金融資產，瞬時預期回報率和回報率標準差可能不是常數，而是金融資產價格和時間的某個函數，即和，因此該金融資產價格變化規律由下式表示顯然此式是更一般形式。由下可知，這時的是一個伊藤過程。23 伊藤過程和伊

19、藤公式定義 伊藤過程如果過程可以表示為 ，其中是二元連續函數，為布朗運動，則稱為伊藤隨機過程（簡稱伊藤過程）。伊藤定理設是由給出的伊藤過程， 是二次可微連續函數，具有連續偏導數則 滿足如下的伊藤微分方程2.4 股票價格變化的概率分布有了伊藤定理這個有力工具，我們就可以分析股票價格的概率分布性質了。若記，則對于有 這樣，由伊藤定理，有亦即，對上式兩邊在上積分即可得到是布朗運動，因為，所以，而。布朗運動的每一連續瞬間都是獨立同分布的隨機變量，所以有因此， 或 這是一個非常重要的結論，它給出了在給定當前股價的條件下，未來t時刻股票價格服從的概率分布，即它是一個對數正態隨機變量。由于這個結果是在幾何布

20、朗運動基礎上推導出來的，說明這是一個問題的兩個不同表示形式。因此，在研究股票價格變動規律時，幾何布朗運動和對數正態分布往往成為一個同義語，盡管在數學上它們本來是兩個不同的概念。在下文中，我們不再加以區分。期望值概率密度圖4 股票價格的概率密度分布：對數正態分布3Black-Scholes 模型建立及求解3.1 Black-Scholes期權定價模型概述基本假設Black和Scholes在推導Black-Scholes模型時做了以下7條基本假設：（1） 無風險利率r已知，且為常數，不隨時間變化；（2） 有兩種長期存在的證券，一種是股票（標的資產），其價格的變化為一幾何布朗運動，即或者說，服從對數

21、正態分布，另一種是無風險證券，它的價格過程為。（3） 在衍生證券的有效期內，標的股票沒有紅利支付；（4） 期權為歐式期權；（5） 對于股票市場、期權市場和資金借貸市場來說，不存在交易費用，且沒有印花稅；（6） 投資者可以自由借入和貸出資金，借入利率和貸出利率相等，均為無風險利率。而且所有證券都是高度可分的，即投資者可以購買任意數量的標的股票；（7） 對賣空沒有任何限制（如不設保證金），允許使用全部所得賣空衍生證券。符號在上述假設下，記：標的資產（股票）的市場價格；X：買權合同的執行價格；r：按連續復利計算的無風險利率；：標的資產價格波動率；T：到期日；t：當前定價日；：距離到期時間。 結論（1

22、） 在定價日，歐式買權的價值為其中，是標準正態變量的累積分布函數，即（2） 由買權-賣權平價公式：，又由，歐式賣權在定價日的價值3.2 Black-Scholes期權定價建模推導方法我們按照Black和Scholes在1973年那篇奠定諾貝爾經濟學獎的經典論文的思路來推導Black-Scholes 微分方程。假設是期權（或者其他衍生證券）的當前價格，顯然，一定是標的股票當前市場價格和當前定價日t的某種函數。注意到Black-Scholes模型的基本假設，股票價格遵循隨機過程：因此，由伊藤定理，期權價值是標的股票價格的函數，應有：Black-Scholes期權定價模型采用的是典型的動態無套利均衡

23、分析的技術。基本思路是套期保值，即交易者為減少風險而采取的投資組合(portfolio)的策略。在上述假設下，采用一種動態交易策略，復制歐式買權到期末的現金流。這一復制技術是在期初時購買一個有標的股票和一種無風險證券構成的證券組合，然后不斷地動態調整其頭寸使之保持住無套利均衡關系，一直到到期日。這樣，現在時刻歐式期權的價值就一定等于復制組合在時刻的價值。這一動態過程有以下三個特點：（1） 與復制一份歐式買權相對應，股票的頭寸始終小于1股。（2） 所對應的股票頭寸大小成為套頭比或期權的delta()，定義為（3） 套頭比不停地發生變化，所以為了復制1份期權，需要隨時調整復制組合中股票的頭寸，但這

24、種調整是無成本的（自融資的）。具體地說，這一動態復制過程就是用期權、標的股票和一種無風險證券來構筑一個無套利均衡的組合頭寸。用份標的股票（股票價格為）的多頭和無風險證券的空頭來復制一份期權（價格為）。亦即構造如下的套期組合：在當前t時刻，以買入標的股票股，同時以賣空1份期權。無風險證券的空頭價值記為。為使復制在全過程中成立，必須始終保證以下關系：移項整理有，經過一段微小時間，兩邊的價值變為而伊藤過程刻畫了，伊藤定理刻畫了，于是，將前面的關系帶入上式，即可得到這是一個有趣的結果，在上面的表達式右邊，隨機項不再出現。這意味著1份期權的空頭和份股票的多頭能實現風險的完全對沖，而的大小是動態地調整的。

25、所以右邊這二者的組合和與之等價的無風險證券是完全等價的。（對于期權和股票的證券組合來說，其瞬時收益率一定同其他短期無風險證券的收益率相同。如果該證券組合的收益率大些，套利者就會賣出無風險證券然后購入證券組合獲取無風險收益；如果該證券組合的收益率小些，套利者就會通過賣出該證券組合購買無風險證券來獲得無風險收益。）即兩者組合的收益率應當等于無風險收益率r，因此即有令并在上述關系式中展開和就得到著名的Black-Scholes 隨機微分方程：對于歐式看漲期權，其邊界條件為：對于歐式看跌期權，其邊界條件為：3.3 Black-Scholes模型的風險中性定價解法風險中性定價解法方法利用了風險中性假設，

26、解法中具有比較深刻的金融學含義，被現在的金融學研究者廣泛采用。風險中性假設首先簡要介紹在金融學中極為重要的風險中性假設。現實世界中的人往往分為風險厭惡型、風險中性型、風險喜好型。18世紀著名數學家Daniel Bernoulli在研究賭博問題時發現，人們往往對賭博可能輸掉的錢看得比可能贏到的錢重。例如，在一個擲硬幣的賭博中，假設硬幣完全對稱，正面朝上可以贏得2000元，反面朝上1分錢也收不回，要下多少錢的賭注人們才會來參加？所謂公平的賭博，就是指賭博結果的預期只應當與入局前所持有的資金量相等，我們學過的鞅就描述了公平賭博。因此，花費元入局是一場公平的賭局。但是，對于許多人來說，不愿意花1000

27、元參加這場公平的賭局，他們可能只愿意花300元來入局，實際上，他們是要以700元的預期收益作為承受風險的補償。這些人是風險厭惡型的，在沒有風險補償時，風險厭惡型的人拒絕公平的賭博。定義 風險中性（risk-neutrality）如果有人愿意無條件地參加公平的賭博，則這樣的人被認為是風險中性的。風險中性者對風險采取無所謂的態度：他們對所有資產所要求的預期收益率都是一樣的，而不管其風險如何，并不要求風險的補償。因此，對所有資產所要求的預期收益率也就同無風險資產的收益率相同。這就是說，風險中性的投資者投資于任何資產所要求的收益率就是無風險收益率。在一個假想的風險中性的世界里，所有的市場參與者都是風險

28、中性的，那么，所有的資產不管其風險大小或是否有風險，預期收益率都相同，都等于無風險收益率。而且，所有資產現在的市場均衡價格都應當等于其未來收益的預期值，加上考慮到資金的時間價值，就都是未來預期值用無風險利率折現后的現值。風險中性假設是和無套利均衡分析緊密聯系在一起的。當無風險套利機會出現時，所有的市場參與者就都會進行套利活動，而不管其對風險的厭惡程度如何。由此出發，可以得到這樣一個推理結果：無套利均衡分析的過程和結果與市場參與者的風險偏好無關。風險中性假設如果對一個問題的分析過程與投資者的風險偏好無關，則可以將問題放到一個假設的風險中性的世界里進行分析，所得的結果在真實的世界里也應當成立。利用

29、風險中性假設可以大大簡化問題的分析，因為在風險中性的世界里，對所有的資產都要求相同的收益率，而且，所有資產的均衡定價都可以按照風險中性概率算出未來收益的預期值，再以無風險利率折現得到。最后，將所得的結果放回真實的世界，就獲得有意義的結果。 風險中性定價解法下面應用風險中性假設來分析Black-Scholes 微分方程。在Black-Scholes 微分方程中，通過動態對沖的方法，使風險由于完全的對沖而消除掉，方程中不再含有隨機項，除此之外，也不再含有，這一點同樣是意味深長的，股票的預期收益率中含有風險補償，因而會與投資者的風險偏好有關。不含（是連續計算收益率的股票在單位時間內收益的自然對數的期

30、望值，即預期單位時間連續計息的復利收益率），說明問題與投資者的風險偏好無關。這樣，風險中性假設就可以應用了。由定義，買權在到期日的價格滿足，根據風險中性定價原則，只要先求出的期望值，然后再將這一發生在未來時刻的期望值按無風險利率貼現到當前時刻t，就可以得到該買權在定價日t的價值所以，確定的關鍵問題在于如何計算。設P為的概率，即。則由隨機變量期望值的定義因此，最終歸結為計算概率P和。下面分別來計算這兩個量。（1） 求解由，有和，即因此，。另一方面，我們把求解Black-Scholes 微分方程的期權定價問題先放到一個“風險中性”的假設世界中去。在這個假想的世界里，所有市場參與者都是風險中性的，他

31、們對于有風險資產的收益，都是不需要風險的補償。在這個假想的世界里，所有資產的預期收益率都相等，即都等于無風險收益率r，即。因此，由模型假設知，服從正態分布，其期望值和方差分別為其中，換元，令則可以化作標準正態分布形式，有因此，若記則上式為這樣，我們求出了第一個值，即（2） 求解由于，服從對數正態分布，因此其密度函數其中，于是，作變量替換則有計算積分限，當時，；當時，因此，至此，和均已求出，則該期權價值即為所求，解畢。 關于風險中性解法的進一步思考寫出Black-Scholes 隨機微分方程：可以看出，Black-Scholes 微分方程中包含的參數有以及時間變量，但是，反映投資者風險偏好的瞬時

32、期望收益率卻在推導的過程中被消掉了。這一點再次說明了風險中性假設的合理性。一般來說，對于任何給定的金融資產，投資者厭惡風險的程度越高，其期望得到的收益就越大。如果該項資產不能提供足夠高的期望收益率的話，投資者要么望而卻步，要么不將其出售。這樣，資產的價格又會有所下降，反過來又將提高收益率。資產價格與收益率之間的如此調整達到平衡后，所對應的收益率即為瞬時期望收益率。現在，既然Black-Scholes 微分方程不包含反映風險偏好的參數，風險偏好就不會對方程的解產生影響。因此，在衍生工具定價時，可以使用任何一種風險偏好假設，其中最簡單的當然是假設投資者是風險中性的。風險中性假設大大簡化了衍生工具的定價過程，因為在風險中性世界里，有以下兩個重要結論成立：任何可交易的基礎金融資產的瞬時期望收益率均為無風險利率，即恒有；任何一種衍生品當前t時刻的價值等于未來T時刻其價值的期望值按無風險利率貼現的現值。4 總結本文介紹了金融衍生品概況，利用隨機過程的知識，系統研究了基于Black-Scholes模型的歐式期權定價問題。文章推導出了標的資產的價格過程，進而應用