1、小波的幾個術語及常見的小波基介紹 本篇是這段時間學習小波變換的一個收尾，了解一下常見的小波函數，混個臉熟，知道一下常見的幾個術語，有個印象即可，這里就當是先作一個備忘錄，以后若有需要再深入研究。一、小波基選擇標準 小波變換不同于傅里葉變換，根據小波母函數的不同，小波變換的結果也不盡相同?，F實中到底選擇使用哪一種小波的標準一般有以下幾點：1、支撐長度 小波函數(t)、()、尺度函數(t)和()的支撐區間，是當時間或頻率趨向于無窮大時，(t)、()、(t)和()從一個有限值收斂到0的長度。支撐長度越長，一般需要耗費更多的計算時間，且產生更多高幅值的小波系數。大部分應用選擇支撐長度為59之間的小波，

2、因為支撐長度太長會產生邊界問題，支撐長度太短消失矩太低，不利于信號能量的集中。 這里常常見到“緊支撐”的概念，通俗來講，對于函數f(x)，如果自變量x在0附近的取值范圍內，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值為0，那么這個函數f(x)就是緊支撐函數，而這個0附近的取值范圍就叫做緊支撐集?？偨Y為一句話就是“除在一個很小的區域外，函數為零，即函數有速降性”。2、對稱性 具有對稱性的小波，在圖像處理中可以很有效地避免相位畸變，因為該小波對應的濾波器具有線性相位的特點。3、消失矩 在實際中，對基本小波往往不僅要求滿足容許條件，對還要施加所謂的消失矩（Vanishing Moments）條件，使盡

3、量多的小波系數為零或者產生盡量少的非零小波系數，這樣有利于數據壓縮和消除噪聲。消失矩越大，就使更多的小波系數為零。但在一般情況下，消失矩越高，支撐長度也越長。所以在支撐長度和消失矩上，我們必須要折衷處理。 小波的消失矩的定義為，若其中，(t)為基本小波，0=pN。則稱小波函數具有N階消失矩。從上式還可以得出，同任意n-1階多項式正交。在頻域內表示就是()在=0處有高階零點（一階零點就是容許條件）。4、正則性 在量化或者舍入小波系數時，為了減小重構誤差對人眼的影響，我們必須盡量增大小波的光滑性或者連續可微性。因為人眼對“不規則”(irregular)誤差比“平滑”誤差更加敏感。換句話說，我們需要

4、強加“正則性”(regularity)條件。也就是說正則性好的小波，能在信號或圖像的重構中獲得較好的平滑效果，減小量化或舍入誤差的視覺影響。但在一般情況下，正則性好，支撐長度就長，計算時間也就越大。因此正則性和支撐長度上，我們也要有所權衡。 消失矩和正則性之間有很大關系，對很多重要的小波（比如，樣條小波，Daubechies小波等）來說，隨著消失矩的增加，小波的正則性變大，但是，并不能說隨著小波消失矩的增加，小波的正則性一定增加，有的反而變小。5、相似性 選擇和信號波形相似的小波，這對于壓縮和消噪是有參考價值的。二、常見的小波基 以下列出的15種小波基是Matlab中支持的15種。小波函數Ha

5、arDaubechiesBiorthogonalCoifletsSymletsMorletMexican HatMeyer小波縮寫名haardbbiorcoifsymmorlmexhmeyr表示形式haardbNbiorNr.NdcoifNsymNmorlmexhmeyr舉例haardb3bior2.4coif3sym2morlmexhmeyr正交性有有無有有無無有雙正交性有有有有有無無有緊支撐性有有有有有無無無連續小波變換可以可以可以可以可以可以可以可以離散小波變換可以可以可以可以可以不可以不可以可以但無FWT支撐長度12N-1重構:2Nr+1分解:2Nd+16N-12N-1有限長度有限長度

6、有限長度濾波器長度22NMax(2Nr,2Nd)+26N2N-4, 4-5, 5-8, 8對稱性對稱近似對稱不對稱近似對稱近似對稱對稱對稱對稱小波函數消失矩階數1NNr-12NN-尺度函數消失矩階數-2N-1-小波函數GausDmeyerReverseBiorCgauCmorFbspShan小波縮寫名gausdmeyrbioNr.Ndcgaucmorfbspshan表示形式gausNdmeyrbioNr.NdcgauNcmorfbspshan舉例gaus3dmeyrbio2.4cgau3cmorfbspshan緊支撐正交性無無無無無無無緊支撐雙正交性無無有無無無無連續小波變換可以不可以可以不可

7、以不可以不可以不可以離散小波變換不可以可以可以不可以不可以不可以不可以對稱性對稱對稱對稱對稱對稱對稱對稱小波函數消失矩階數-尺度函數消失矩階數-Nr-1-1、Haar小波 Haar，一般音譯為“哈爾”。 Haar函數是小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數，也是最簡單的一個小波函數，它是支撐域在t0,1范圍內的單個矩形波。 Haar小波在時域上是不連續的，所以作為基本小波性能不是特別好。 在Matlab中輸入命令waveinfo(haar)可得到如下信息： General characteristics: Compactlysupported wavelet, the oldest

8、and the simplestwavelet. scaling function phi = 1 on 0 1 and 0otherwise. wavelet function psi = 1 on 0 0.5, = -1on 0.5 1 and 0 otherwise. Family Haar Short name haar Examples haar is the same as db1 Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support yes DWT possible CWT possible Support width 1 Filters

9、 length 2 Regularity haar is not continuous Symmetry yes Number of vanishing moments for psi 12、Daubechies(dbN)小波(緊支集正交小波) Daubechies，一般音譯為“多貝西”。 Daubechies小波是由世界著明的小波分析學者Ingrid Daubechies(一般音譯為英格麗多貝西)構造的小波函數，我們一般簡寫成dbN，N是小波的階數。小波函數(t)和尺度函數(t)中的支撐區為2N-1，(t)的消失矩為N。dbN小波具有較好的正則性，即該小波作為稀疏基所引入的光滑誤差不容易被察

10、覺，使得信號重構過程比較光滑。dbN小波的特點是隨著階次（序列N）的增大消失矩階數越大，其中消失矩越高光滑性就越好，頻域的局部化能力就越強，頻帶的劃分效果越好，但是會使時域緊支撐性減弱，同時計算量大大增加，實時性變差。另外，除N=1外，dbN小波不具有對稱性（即非線性相位），即在對信號進行分析和重構時會產生一定的相位失真。dbN沒有明確的表達式（除了N=1外，N=1時即為Haar小波）。 在Matlab中輸入命令waveinfo(db)可得到如下信息： General characteristics: Compactlysupported wavelets with extremal phas

11、e and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filtersare minimum-phase filters. Family Daubechies Short name db Order N N strictly positive integer Examples db1 or haar, db4, db15 Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support yes DWT possible CWT possible

12、Support width 2N-1 Filters length 2N Regularity about 0.2 N for large N Symmetry far from Number of vanishing moments for psi N3、Symlet(symN)小波(近似對稱的緊支集正交小波) Symlet小波函數是IngridDaubechies提出的近似對稱的小波函數，它是對db函數的一種改進。Symlet小波系通常表示為symN(N=2,3,8)。symN小波的支撐范圍為2N-1，消失矩為N，同時也具備較好的正則性。該小波與dbN小波相比，在連續性、支集長度、濾波器長

13、度等方面與dbN小波一致，但symN小波具有更好的對稱性，即一定程度上能夠減少對信號進行分析和重構時的相位失真。 在Matlab中輸入命令waveinfo(sym)可得到如下信息： General characteristics: Compactlysupported wavelets with least asymmetry and highest number ofvanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are nearlinear-phase filters. Family Symle

14、ts Short name sym Order N N = 2, 3, . Examples sym2, sym8 Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support yes DWT possible CWT possible Support width 2N-1 Filters length 2N Regularity Symmetry near from Number of vanishing moments for psi N4、Coiflet(coifN)小波 根據R.Coifman的要求，Daubechies構造了Coiflet小波，它具有

15、coifN(N=1,2,3,4,5)這一系列。Coiflet的小波函數(t)的2N階矩為零，尺度函數(t)的2N-1階矩為零。(t)和(t)的支撐長度為6N-1。Coiflet的(t)和(t)具有比dbN更好的對稱性。 在Matlab中輸入命令waveinfo(coif)可得到如下信息： General characteristics: Compactlysupported wavelets with highest number of vanishing moments for both phi and psi for a given support width. Family Coifle

16、ts Short name coif Order N N = 1, 2, ., 5 Examples coif2, coif4 Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support yes DWT possible CWT possible Support width 6N-1 Filters length 6N Regularity Symmetry near from Number of vanishing moments for psi 2N Number of vanishing moments for phi 2N-15、Biorthogon

17、al(biorNr.Nd)小波 為了解決對稱性和精確信號重構的不相容性，引入了雙正交小波，稱為對偶的兩個小波分別用于信號的分解和重構。雙正交小波解決了線性相位和正交性要求的矛盾。由于它有線性相位特性，所以主要應用在信號與圖像的重構中。通常的用法是采用一個函數進行分解，用另外一個小波函婁進行重構。 雙正交小波與正交小波的區別在于正交小波滿足=j,kl,m，也就是對小波函數的伸縮和平移構成的基函數完全正交，而雙正交小波滿足的正交性為=j,k，也就是對不同尺度伸縮下的小波函數之間有正交性，而同尺度之間通過平移得到的小波函數系之間沒有正交性，所以用于分解與重構的小波不是同一個函數，相應的濾波器也不能由

18、同一個小波生成。 該小波雖然不是正交小波，但卻是雙正交小波，具備正則性，同時也是緊支撐的，其重構支撐范圍為2Nr+1，分解支撐范圍為2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表現在具有線性相位特性。一般來說為了獲得線性相位，需要降低對于正交性的局限，為此該雙正交小波降低了對于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了線性相位和較短支集的特性。 在Matlab中輸入命令waveinfo(bior)可得到如下信息：General characteristics: Compactly supportedbiorthogonal spline wavelets for whichsym

19、metry and exact reconstruction are possible withFIR filters (in orthogonal case it isimpossible except for Haar).FamilyBiorthogonal Shortname bior OrderNr,Nd Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5 r forreconstruction Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6,8 d fordecomposition Nr = 3 , Nd = 1, 3, 5,7, 9 Nr = 4 , Nd = 4 Nr = 5 , Nd =

20、5 Nr = 6 , Nd = 8Examples bior3.1,bior5.5Orthogonal noBiorthogonal yesCompact support yesDWT possibleCWT possibleSupport width 2Nr+1 forrec., 2Nd+1 for dec.Filters lengthmax(2Nr,2Nd)+2 but essentially biorNr.Nd ld lr effective length effective length of Lo_D of Hi_D bior1.1 2 2 bior1.3 6 2 bior1.5 1

21、0 2 bior2.2 5 3 bior2.4 9 3 bior2.6 13 3 bior2.8 17 3 bior3.1 4 4 bior3.3 8 4 bior3.5 12 4 bior3.7 16 4 bior3.9 20 4 bior 4.4 9 7 bior5.5 9 11 bior6.8 17 11Regularity for psirec. Nr-1 and Nr-2 at theknotsSymmetry yes Numberof vanishingmoments for psi dec. NrRemark: bior 4.4 , 5.5 and 6.8 are such th

22、at reconstruction anddecomposition functions and filters are close in value.6、ReverseBior小波 由Biorthogonal而來，因此兩者形式很類似。 在Matlab中輸入命令waveinfo(bior)可得到如下信息：General characteristics: Compactly supportedbiorthogonal spline wavelets for whichsymmetry and exact reconstruction are possible withFIR filters (i

23、n orthogonal case it isimpossible except for Haar).FamilyBiorthogonal Shortname rbio OrderNd,Nr Nd = 1 , Nr = 1, 3, 5 r forreconstruction Nd = 2 , Nr = 2, 4, 6,8 d fordecomposition Nd = 3 , Nr = 1, 3, 5,7, 9 Nd = 4 , Nr = 4 Nd = 5 , Nr = 5 Nd = 6 , Nr = 8Examples rbio3.1,rbio5.5Orthogonal noBiorthog

24、onal yesCompact support yesDWT possible CWT possibleSupport width 2Nd+1 forrec., 2Nr+1 for dec.Filters lengthmax(2Nd,2Nr)+2 but essentially rbioNd.Nr lr ld effective length effective length of Hi_D of Lo_D rbio1.1 2 2 rbio1.3 6 2 rbio1.5 10 2 rbio2.2 5 3 rbio2.4 9 3 rbio2.6 13 3 rbio2.8 17 3 rbio3.1

25、 4 4 rbio3.3 8 4 rbio3.5 12 4 rbio3.7 16 4 rbio3.9 20 4 rbio4.4 9 7 rbio5.5 9 11 rbio6.8 17 11Regularity for psirec. Nd-1 and Nd-2 at theknotsSymmetry yes Numberof vanishingmoments for psi dec. NdRemark: rbio 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction anddecomposition functions and filters are c

26、lose in value.7、Meyer小波 Meyer小波的小波函數和尺度函數都是在頻率域中進行定義的，它不是緊支撐的，但它的收斂速度很快。 在Matlab中輸入命令waveinfo(meyr)可得到如下信息：General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet. Family Meyer Shortname meyrOrthogonal yesBiorthogonal yesCompact support noDWT possiblebut without FWT FIR based approximation pr

27、ovides FWTCWT possibleSupport width infiniteEffective support -8 8Regularityindefinitely derivableSymmetry yes8、Dmeyer小波 Dmeyer即離散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似，用于快速離散小波變換的計算。 在Matlab中輸入命令waveinfo(dmey)可得到如下信息： Definition: FIR based approximation of theMeyer Wavelet. Family DMeyer Short name dmey Orthog

28、onal yes Biorthogonal yes Compact support yes DWT possible CWT possible9、Gaussian小波 Gaussian小波是高斯密度函數的微分形式，它是一種非正交與非雙正交的小波，沒有尺度函數。 在Matlab中輸入命令waveinfo(gaus)可得到如下信息： Definition: derivatives of the Gaussian probability density function. gaus(x,n) = Cn * diff(exp(-x2),n) wherediff denotes the symbolic

29、 derivative and where Cn issuch that the 2-norm of gaus(x,n) = 1. Family Gaussian Short name gaus Wavelet name gausn Orthogonal no Biorthogonal no Compact support no DWTno CWT possible Support width infinite Effective support -5 5 Symmetry yes n even = Symmetry n odd = Anti-Symmetry10、MexicanHat(mex

30、h)小波 Mexican Hat函數為Gauss函數的二階導數。因數它的形狀像墨西哥帽的截面，所以我們稱這個函數為墨西哥草帽函數。它在時域和頻率都有很好的局部化，但不存在尺度函數，所以此小波函數不具有正交性。 在Matlab中輸入命令waveinfo(mexh)可得到如下信息： Definition: second derivative of theGaussian probability density function mexh(x) = c * exp(-x2/2) * (1-x2) where c = 2/(sqrt(3)*pi1/4) Family Mexican hat Short

31、 name mexh Orthogonalno Biorthogonal no Compact support no DWT no CWT possible Support width infinite Effective support -5 5 Symmetry yes11、Morlet小波 Morlet小波是高斯包絡下的單頻率正弦函數，沒有尺度函數，是非正交分解。 在Matlab中輸入命令waveinfo(morl)可得到如下信息： Definition: morl(x) = exp(-x2/2) * cos(5x) Family Morlet Short name morl Ortho

32、gonal no Biorthogonal no Compact support no DWT no CWT possible Support width infinite Effective support -4 4 Symmetry yes12、ComplexGaussian小波 屬于一類復小波，沒有尺度函數。 在Matlab中輸入命令waveinfo(cgau)可得到如下信息： Definition: derivatives of the complexGaussian function cgau(x) = Cn * diff(exp(-i*x)*exp(-x2),n)where dif

33、f denotes the symbolic derivative and where Cn is aconstant Family Complex Gaussian Short name cgau Wavelet name cgaun Orthogonal no Biorthogonal no Compact support no DWT no Complex CWT possible Support width infinite Symmetry yes n even = Symmetry n odd = Anti-Symmetry13、ComplexShannon Wavelets：sh

34、an 在Matlab中輸入命令waveinfo(shan)可得到如下信息： Definition: a complex Shannon wavelet is shan(x) =Fb0.5*sinc(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x) depending on two parameters: Fb is a bandwidth parameter Fc is a wavelet center frequency The condition Fc Fb/2 is sufficient toensure that zero is not in the frequency supportinterval. Family Complex Shannon Short name shan Wavelet name shanFb-Fc Orthogonal no Biorthogonal no Compact support no DWT no complex CWT