1、宜賓市一中高2013級自主招生數(shù)學(xué)輔導(dǎo)資料 導(dǎo)數(shù)函數(shù)不等式綜合（三）二元變量 李波 涉及多個變量的問題，其本質(zhì)就是消元，盡可能減少變量的個數(shù).類型一、化成齊次式，構(gòu)造一元變量，這類題往往和函數(shù)的零點有關(guān)，主要是涉及形如函數(shù)練習(xí)1：已知函數(shù)圖像上一點處的切線方程為()求的值；()若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根，求的取值范圍；()令如果的圖像與軸交于兩點，的中點為，求證：解：() a2,b1 () (),.假設(shè)結(jié)論成立,則有,得.由得,于是有,即. 令, (0t1),則0.在0t1上是增函數(shù),有,式不成立,與假設(shè)矛盾.練習(xí)2：已知函數(shù),(為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域;(2)是否存在

2、實數(shù),對任意給定的,在區(qū)間上都存在兩個不同的,使得成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由;(3)給出如下定義:對于函數(shù)圖象上任意不同的兩點,如果對于函數(shù)圖象上的點(其中)總能使得成立,則稱函數(shù)具備性質(zhì)“”,試判斷函數(shù)是否具備性質(zhì)“”,并說明理由.解：(1) . (2)當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,不合題意; 當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞減,不合題意; 當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增. 注意到此時,故只需的最小值小于等于0即可.而由解得,這與矛盾. 綜上,滿足條件的不存在. (3)設(shè)函數(shù)具備性質(zhì)“”,即在點處的切線斜率等于,不妨設(shè),則 , 而在點處的切線斜率為, 故有, 即. 令,則上式

3、化為. 令,則由可知在上單調(diào)遞增,故,即方程無解. 函數(shù)不具備性質(zhì)“”. 例2、已知函數(shù)（1）當(dāng)時，討論函數(shù)；（2）如果證明：.解：（） （）， 練習(xí)1：設(shè)函數(shù).（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 （）若函數(shù)有兩個零點，且，求證： 解：（）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 當(dāng)時，由，得；由，得所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 （）因為是函數(shù)的兩個零點，有則，兩式相減得即所以 又因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，故只要證即可，即證明 即證明，即證明， 設(shè).令，則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，所以在是增函數(shù)；又因為，所以當(dāng)時，總成立. 練習(xí)2： 已知函數(shù)（為常數(shù)，）,（1）當(dāng)時，求證：函數(shù)； （2）（）討論的

4、單調(diào)性，并證明當(dāng)有兩個不同零點時，（）若有兩個不同零點，求證：。解：（1）略（2）（）由已知得易知，均為負(fù)數(shù)才有可能有兩個零點，（）要使成立，即證由（1）得，即原不等式成立練習(xí)3：已知函數(shù)（I）若函數(shù)的圖象在x0處的切線方程為y2xb，求a，b的值；（II）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（III）如果函數(shù)恰好有兩個不同的極值點證明：解：（I）， 于是由題知1a=2，解得a=1 ，于是1=2×0+b，解得b=1（II）由題意即恒成立， 恒成立設(shè)，則x(，0)0(0，+)0+h(x)減函數(shù)極小值增函數(shù) h(x)min=h(0)=1， a1（III）由已知， x1，x2是函數(shù)g

5、(x)的兩個不同極值點（不妨設(shè)x1<x2）， a0（若a0時，即g(x)是R上的增函數(shù)，與已知矛盾），且， ，兩式相減得：，于是要證明，即證明，兩邊同除以，即證，即證(x1-x2)>，即證(x1x2)>0，令x1x2=t，t<0即證不等式當(dāng)t<0時恒成立設(shè)， 由(II)知，即， (t)<0， (t)在t<0時是減函數(shù) (t)在t=0處取得極小值(0)=0 (t)>0，得證 練習(xí)3：已知函數(shù). （I）若a1,求曲線y=f(x)在x3處的切線方程； （II）若對任意的，都有f(x)g(x)恒成立，求a的最小值；（III)設(shè)p(x)f（x1），a0，若

6、為曲線yp (x)的兩個不同點，滿足使得曲線y=f(x)在x0處的切線與直線AB平行，求證：類型二、利用根與系數(shù)關(guān)系，構(gòu)造一元變量，此類題目較多的涉及極值點的問題，其特征之一就是導(dǎo)數(shù)為零的時候與二次函數(shù)有關(guān)。練習(xí)3、設(shè)函數(shù)有兩個極值點。（）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；（）證明：也可證.3、轉(zhuǎn)化為任意存在，求最值問題練習(xí)3.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性（2）設(shè)，當(dāng)時，若對任意，存在.使求實數(shù)的取值范圍.()練習(xí)4.已知函數(shù)，其中.（1）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值; （2）若對任意的都有成立，求實數(shù)的取值范圍練習(xí)5已知函數(shù).（1）若，求曲線在處切線的斜率；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，若

7、對任意的，均存在，使得，求得取值范圍.()練習(xí)7、已知函數(shù).（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性;（2）當(dāng)時，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點;（3）若存在使得，試求的取值范圍.練習(xí)8、（2015年成都一診21）已知函數(shù)，其中且為自然對數(shù)的底數(shù) （）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值； （）當(dāng)時，若函數(shù)存在三個零點，且，試證明：；（）是否存在負(fù)數(shù)，對，都有成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由解：（）（且）由，得；由，得，且函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是. （）在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增函數(shù)存在三個零點,由綜上可知，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及可得：即，得證（III）由題意，只需由，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減 ，不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù)，得，即由，解得綜上所述，存在這樣的負(fù)數(shù)滿足題意4、將其中一個變量當(dāng)作常數(shù)例、已知函數(shù). ()求的單調(diào)區(qū)間;()當(dāng)時,設(shè)斜率為的直線與曲線交于、 兩點,求證:.解:(), 當(dāng)時,在上