1、第二章 勾股定理、平方根專題勾股定理和平方根勾股定理平方根立方根實(shí)數(shù)近似數(shù)、有效數(shù)字判定直角三角形勾股定理的驗(yàn)證定義、性質(zhì)開平方運(yùn)算開立方運(yùn)算定義、性質(zhì) 第一節(jié) 勾股定理一、勾股定理： 1、勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2b2c2. 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長(zhǎng)的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有下面關(guān)系：a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。2. 勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)（注意：若a，b，c、為勾股數(shù)，那么ka，kb，kc同樣也是勾股數(shù)組。

2、） *附：常見勾股數(shù)：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判斷直角三角形：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形。 （2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。 用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（1）確定最大邊（不妨設(shè)為c）；（2）若c2a2b2，則ABC是以C為直角的三角形；若a2b2c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；若a2b2c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）4.注意：（1）直角三角形

3、斜邊上的中線等于斜邊的一半（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 （3）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°。5. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。 （2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。（3）用于證明線段平方關(guān)系的問題。（4）利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段二、平方根：（1119的平方）1、平方根定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。（也稱為二次方根），也就是說如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。2、平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為

4、相反數(shù)；一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，記作“”，又叫做算術(shù)平方根，它負(fù)的平方根，記作“”，這兩個(gè)平方根合起來記作“±”。（ a叫被開方數(shù)， “”是二次根號(hào)，這里“”，亦可寫成“”）0只有一個(gè)平方根，就是0本身。算術(shù)平方根是0。負(fù)數(shù)沒有平方根。3、 開平方：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開平方，開平方和平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算。4、（1） 平方根是它本身的數(shù)是零。（2）算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是0和1。（3）（4）一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根之和為0三、立方根：（19的立方）1、立方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根。（也稱為二次方根），也就是說如果x3=a，那么x就叫做a的立方根。記作

5、“”。2、立方根的性質(zhì)：任何數(shù)都有立方根，并且只有一個(gè)立方根，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù)，即=3、開立方：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方，開立方與立方運(yùn)算為互逆運(yùn)算，開立方的運(yùn)算結(jié)果是立方根。4、立方根是它本身的數(shù)是1，0，-1。5、平方根和立方根的區(qū)別：（1）被開方數(shù)的取值范圍不同：在中，在中，a可以為任意數(shù)值。（2）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，而它的立方根只有一個(gè)；負(fù)數(shù)沒有平方根，而它有一個(gè)立方根。6、立方根和平方根：不同點(diǎn)：（1）任何數(shù)都有立方根，正數(shù)和0有平方根，負(fù)數(shù)沒有平方根；即被開方數(shù)的取值范圍不同：±中的被開方數(shù)

6、a是非負(fù)數(shù)；中的被開方數(shù)可以是任何數(shù).（2）正數(shù)有兩個(gè)平方根，任何數(shù)都有惟一的立方根； （3）立方根等于本身的數(shù)有0、1、1，平方根等于本身的數(shù)只有0共同點(diǎn)：0的立方根和平方根都是0四、實(shí)數(shù)：1、定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)稱（包括所有開方開不盡的數(shù)，）。 有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù) 注意：分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式2、實(shí)數(shù)的分類：實(shí)數(shù)有理數(shù)無理數(shù) （無限不循環(huán)小數(shù)）整數(shù)分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù) 實(shí)數(shù)的性質(zhì)：實(shí)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義與在有理數(shù)范圍內(nèi)的意義是一樣的。 實(shí)數(shù)同有理數(shù)一樣，可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，且實(shí)數(shù)和數(shù)

7、軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。 兩個(gè)實(shí)數(shù)可以按有理數(shù)比較大小的法則比較大小。 實(shí)數(shù)可以按有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算。3、近似數(shù)：由于實(shí)際中常常不需要用精確的數(shù)描述一個(gè)量，甚至在更多情況下不可能得到精確的數(shù)，用以描述所研究的量，這樣的數(shù)就叫近似數(shù)。取近似值的方法四舍五入法4、有效數(shù)字：對(duì)一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)都稱為這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字5、科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)數(shù)記為6、實(shí)數(shù)和數(shù)軸：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。勾股定理：（一）結(jié)合三角形：1.已知ABC的三邊、滿足，則ABC為 三角形2.在AB

8、C中，若=（+）（-），則ABC是 三角形，且 3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長(zhǎng)為 1.已知 與互為相反數(shù)，試判斷以、為三邊的三角形的形狀。2.已知：在ABC中，三條邊長(zhǎng)分別為、，=，=2，=（>1） 試說明：C=。3.若ABC的三邊、滿足條件，試判斷ABC的形狀。4.已知?jiǎng)t以、為邊的三角形是 （二）、實(shí)際應(yīng)用：1. 梯子滑動(dòng)問題：（1）一架長(zhǎng)2.5的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4，那么梯子底端將向左滑動(dòng) 米（2）如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂

9、端下滑1米，那么，梯子底端的滑動(dòng)距離 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）如圖，梯子AB斜靠在墻面上，ACBC，AC=BC，當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)y米，則x與y的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 不能確定（4）小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子吹到地面上還多1 m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好觸到地面，試問旗桿的高度為 米 2. 直角邊與斜邊和斜邊上的高的關(guān)系：直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊上的高為h，則下列式子總能成立的是（ ）A. B. C. D. 變：如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB

10、于D，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：（1）（2）（3）以為三邊的三角形是直角三角形試一試：（1）只需證明，從左邊推到到右邊 （2）（3），注意面積關(guān)系的應(yīng)用3. 爬行距離最短問題：1.如圖，一個(gè)無蓋的正方體盒子的棱長(zhǎng)為10cm，得到處有一只昆蟲甲，在盒子的內(nèi)部有一只昆蟲乙（盒壁的 忽略不計(jì)）（1）假設(shè)昆蟲甲在頂點(diǎn)處?kù)o止不動(dòng)，如圖a，在盒子的內(nèi)部我們先取棱的中點(diǎn)E，再連結(jié)AE、，昆蟲乙如果沿途徑爬行，那么可以在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲甲，仔細(xì)體會(huì)其中的道理，并在圖b中畫一條路徑，使昆蟲乙從頂點(diǎn)A沿這條路爬行，同樣可以在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲甲。（2）如圖b，假設(shè)昆蟲甲從點(diǎn)以1 厘

11、米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從頂點(diǎn)A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲乙至少需要多少時(shí)間才能捕捉到昆蟲甲？試一試：對(duì)于（2），當(dāng)昆蟲甲從頂點(diǎn)沿棱向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙可以沿不同的路徑爬行，利用勾股定理建立時(shí)間方程，通過比較得出昆蟲乙捕捉到昆蟲甲的最短時(shí)間2.如圖，一塊磚寬AN=5，長(zhǎng)ND=10，CD上的點(diǎn)F距地面的高FD=8，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，要爬行的最短路線是 cm3.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20、3、2，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只昆蟲想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是 分米？4. 如圖

12、，一只螞蟻沿邊長(zhǎng)為a的正方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則它走過的路程最短為（ ）A. B. C. D. 4.折疊問題：1.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD等于（ ）A. B. C. D. 1. 小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹離地面的高度是 米。2. 如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4米，則這兩株樹之間的垂直距離是_米，水平距離是 米。 3. 如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離是 。4. 如圖，欲測(cè)量松花江的寬度，沿江岸取B、C兩

13、點(diǎn)，在江對(duì)岸取一點(diǎn)A，使AC垂直江岸，測(cè)得BC50米，B60°，則江面的寬度為 。 （三）求邊長(zhǎng)：1. （1）在R中，、分別是A、B、C的對(duì)邊，C=已知：=6，=10，求； 已知：=40，=9，求；2.如圖所示，在四邊形ABCD中，BAD=，DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。 （五）方向問題：1. 有一次，小明坐著輪船由A點(diǎn)出發(fā)沿正東方向AN航行，在A點(diǎn)望湖中小島M，測(cè)得MAN30°，當(dāng)他到B點(diǎn)時(shí)，測(cè)得MBN45°，AB100米，你能算出AM的長(zhǎng)嗎？2.一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接著，它又掉頭向正東方向航行15千米 此時(shí)輪船離

14、開出發(fā)點(diǎn)多少km? 若輪船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此過程中輪船共耗油多少升?（六）利用三角形面積相等：1.如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)得到，可得ABC，則邊AC上的高為（ ）A. B. C. D. （七）旋轉(zhuǎn)問題：1.如圖，點(diǎn)P是正ABC內(nèi)的點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10，若將PAC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后，得到，則點(diǎn)P與點(diǎn)P之間的距離為 ，APB= 2.如圖，ABC為等腰直角三角形，BAC=，將ABH繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AC處，若AH=3，試求出H、兩點(diǎn)之間的距離。3.如圖所示，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CBE的位置，若BP=，求：以PE為邊長(zhǎng)的正方

15、形的面積 已知直角三角形ABC中，ACB=，CA=CB，圓心角為，半徑長(zhǎng)為CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE、CF分別與直線AB交于點(diǎn)M、N，當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，試說明MN的理由。如圖所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=，D是BC上任一點(diǎn)，求證：BD。 已知AOB=90°，在AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D、E。當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)，如圖，易證：；當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，如圖、這兩種情況下，上述結(jié)論還是否成立？若成立，請(qǐng)給與

16、證明；若不成立，線段OE、OC、OD之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明。試一試：對(duì)于第1問，OD=CE，問題的實(shí)質(zhì)是，對(duì)于第二問，通過作輔助線，將問題轉(zhuǎn)化為第1問可解決。（8） 折疊問題：1.如圖，矩形紙片ABCD的長(zhǎng)AD=9，寬AB=3，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后DE的長(zhǎng)是多少？2.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，將ABC沿AC對(duì)折至AEC位置，CE與AD交于點(diǎn)F。（1）試說明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的長(zhǎng)3.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，DC=5，在DC邊上存在一點(diǎn)E，沿直線AE把ABC折疊，使點(diǎn)D恰好在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為F，若ABF的面積為30，求折

17、疊的AED的面積4.如圖所示，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長(zhǎng)嗎？ 5.如圖，B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6（1） ACD是什么三角形？為什么？（2） 把ACD沿直線AC向下翻折，CD交AB于點(diǎn)E，若重疊部分面積為4，求D'E的長(zhǎng)。一、平方根：（一）文字類題目：一個(gè)數(shù)的平方等于它本身，這個(gè)數(shù)是 ；一個(gè)數(shù)的平方根等于它本身，這個(gè)數(shù)是 ；一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根等于它本身，這個(gè)數(shù)是 一個(gè)數(shù)的立方根等于它本身，這個(gè)數(shù)是 ；一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根的和是_一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根的商是

18、_（二）. 定義：1.（1） 81 的平方根是的數(shù)學(xué)表達(dá)式是（ ）A. B. C. D. 的平方根是（ ）A. 9 B. C. D.表示 ，= 。16的數(shù)是 ，將16開平方得 ，因此平方與 互為逆運(yùn)算。 4的平方根是 ；的平方根是 。 的平方根是0.81。（2）數(shù)有平方根嗎？若有，求出它們的平方根；若沒有，請(qǐng)說明理由。（1）-64； （2）（-4）； （3）-5 （4）（3）若3a+1沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是 若3x-6總有平方根，則x的取值范圍是 。若式子x的平方根只有一個(gè)，則x的值是 。（4）已知，那么-= 已知a為實(shí)數(shù)，那么等于（ ）A. a B. a C. -1 D. 0（5）

19、若，則+= 已知，那么+= 已知、滿足：，那么-8的立方根為 （6）代數(shù)式的最大值是 ，這時(shí)、之間的關(guān)系是 （7）若，則= ；若，則的平方根是 （8）若，則x= ，則x= （9）下列個(gè)數(shù)中：沒有平方根的有 個(gè)2. 已知ABC的三邊分別是a、b、c，且滿足，求c的取值范圍。已知、為實(shí)數(shù)，且，解關(guān)于的方程：（+2）+=-1。已知4-49=0，求的值。3. 列方程求值： （1）=196； （2）5-10=0； （3）36（-3）-25=04. （1）已知一個(gè)正數(shù)的平方根是2-1和3-，求這個(gè)數(shù)（2）已知與是一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根，求的平方根。5. 估算：（1）比較大?。号c 與（2）a、b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)

20、，且，則= 滿足-<x<的整數(shù)是 ；實(shí)數(shù) 的絕對(duì)值是。（3）若=，則估計(jì)的值所在的范圍是（ ）A. B. C. D. 6. 計(jì)算：（1） （2）、下列計(jì)算正確的是（ ）A、 B、 C、 D、7. 平方根的性質(zhì)： ； ；= ；= ； ；= 。二、立方根1. 定義：（1）如果a是x的立方根，那么下列說法正確的是（ ）A. a也是x的立方根 B. a是-x的立方根C. a是-x的立方根 D. a和a都是-x的立方根（2）下列各式：，其中錯(cuò)誤的有 個(gè)2. 根據(jù)定義求值：（1）求值： （2） （2）方程： 3. 估算：（1）估計(jì)68的立方根大小在（ ）A. 2與3之間 B.3與4之間 C.4

21、與5之間 D.5與6之間（2）通過估算的整數(shù)部分為（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9（3）估算到個(gè)位= 4. 平方根與立方根相結(jié)合：（1）若2x+1的平方根是，那么5x+4的立方根是 （2）已知，求的值。（3）已知m滿足，k、n滿足，求的值三、實(shí)數(shù)：1. 實(shí)數(shù)的定義：1.判斷下列說法是否正確，為什么？（1）無限小數(shù)是無理數(shù)； （2）有理數(shù)都是是有限小數(shù)；（3）無理數(shù)都是無限小數(shù)；（4）帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)（5）任何實(shí)數(shù)的偶次冪都是正實(shí)數(shù)； （6）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若，則=。 （7）0是最小的實(shí)數(shù)； （8）0是絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)； （9）數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的（10）數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)

22、是一一對(duì)應(yīng)的2.下列說法正確的是 （ ）A.不存在最小的實(shí)數(shù) B.有理數(shù)是有限小數(shù)C.無限小數(shù)都是無理數(shù) D.帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)3.下列說法正確的是（ ）A.無限小數(shù)是無理數(shù) B.不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) C.無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù) D.兩個(gè)無理數(shù)的和還是無理數(shù)4. 把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：、0、3.14159、-0.020020002 0.12121121112（1）有理數(shù)集合 （2）無理數(shù)集合 （3）正實(shí)數(shù)集合 （4）負(fù)實(shí)數(shù)集合 2. 有效數(shù)字、科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)：注意：2000有4個(gè)有效數(shù)字，精確到個(gè)位 有1個(gè)有效數(shù)字，精確到千位1. 有幾個(gè)有效數(shù)字，保留幾個(gè)有效數(shù)字：用四舍五入法，按要求取近似值：.地球上七大洲的面積約為149480000（保留2個(gè)有效數(shù)字）25.8萬（保留2個(gè)