1、3擴展Dicke模型的熱力學極限性質13.1正常相23.2超輻射相43.3相變討論83.4系統量子糾纏和量子關聯133擴展Dicke模型的熱力學極限性質 早在1954年Dicke23提出了N個兩能級原子的集體相干輻射率超過單獨的N個原子自發的輻射率，原子集體屬于一種相干的輻射。把N個自發輻射的原子放在光學腔場里，所有原子和一個共同的輻射場發生作用，因此不能簡單看成每個原子是獨立的自發輻射態。由于原子之間的距離比輻射波長小很多，但是比粒子物質波長大許多，這樣原子之間相互作用可以忽略，但是可以形成相干自發輻射波。他說，該系統中的這些相關多個原子態展示的非同尋常的大輻射率叫“超輻射態”(super-

2、radiance)。超輻射態是指原子集體激發的密度與N2成比例，而不是N，原子是相干輻射的。這樣，由N個兩能級原子和單模玻色場相互作用的系統叫做Dicke模型。這是凝聚態物理和量子光學關聯的一個重要物理模型，比如在研究量子點中的超輻射行為641，玻色一愛因斯坦凝聚f651以及一些耦合的光學腔場模擬強關聯系統的行為66，量子電動腔場QED等系統中有廣泛的應用。Dicke模型中原子看成是由N個相同但可區別的兩能級原子形成的集體系統，并且每個原子的上下能級差為。Dicke哈密頓量描述玻色場與N個原子的相互作用如同在一個理想腔場里的偶極子作用。這里，多個兩能級原子看成是由N個相同但可區別的集體系統，并

3、且每個原子的上下能級差為。其中，第i個原子可以描述成一個自旋的算符，遵從對易關系我們考慮單模波色場的情況，這些兩能級原子與頻率為的單模玻色場發生作用，耦合強度為，擴展的Dicke模型哈密頓量可以寫成 （3-1）這里 ，是波色產生和湮滅算符，為原子-原子相互作用項，這里為Ising耦合。原子-波色場相互作用項出現的因為是因為偶極子耦合強度最初與成比例，是強場體積。強場里原子密度,因此耦合強度正比于，帶入相互作用項我們得到因子。利用原子算符的集體算符形式，,這些算符遵從一般的角動量對易關系希爾伯特空間可以按照Dicke態展開，Dicke態是和的本征態：。上升和下降算符作用在這些態上得到：。是Dic

4、ke態的“共同量子數”，當N確定后，取值為，我們選擇的最大值。個兩能級原子系統可以看成是一個能級的系統，總的贗自選矢量長度。利用集體算符，上面的哈密頓量可以表示為 （3-2）熱力學極限下，原子個數無窮，也就是說角動量，零溫下，擴展Dicke模型在耦合強度會發生量子相變。為了描述這種相變，把哈密頓量分成兩個有效哈密頓量，一個描述正常相的系統，另一個描述對稱性破缺的超輻射相。首先角動量部分做Holstein-Primakoff皮化，用玻色子表示，并且玻色算符滿足對易關系。將上述變化帶入哈密頓量（3-2），可以得到兩類玻色子的哈密頓量 （3-3）3.1正常相通過對哈密頓量（3-3）中含的項做簡單的近

5、似處理：因為，所以令。我們得到系統正常相的有效的哈密頓量 （3-4）為了將這個含有雙線性的玻色算符的哈密頓量對角化，引入以下兩個具有玻色模式的位置和動量算符： 令，用上面的位置動量算符去表示正常相的哈密頓量（3-4）： （3-5）用下面的方法變化位置算符，即將平面旋轉一個角度到另一個平面上，可以將上面的哈密頓量對角化：， ， （3-6）這里旋轉角度滿足條件：對于共振態，這時和。這樣的變化消除了哈密頓量中的相互作用項，得到兩種退耦合諧振子的形式 （3-7）現在引進兩個新的玻色算符去量子化哈密頓量 （3-8）故對角形式的哈密頓量為 （3-9）這里使得哈密頓量對角化的玻色算符是玻色算符的線性組合。至

6、此，我們就得到了正常相的兩支獨立震蕩模式的能量表： （3-10）如果激發態能量是實數，那么必須滿足條件，等價于。因此可以看到哈密頓量僅在有效，即正常相。在正常相，系統的基態能量是： （3-11）這里忽略了高階項，而上面的激發態能量是忽略了，也就是說在基態上面的激發態譜在是準連續的。3.2超輻射相為了描述超輻射相，考慮到場與原子系綜都有宏觀占據數，采用Holstein-Primakoff變換去轉換哈密頓量（3-3），假設兩類玻色子算符做如下變化嚴格來說，我們做上面的變換，其實就意味著平移參量和是，也就是說在時，他們滿足非零宏觀場。將上面的平移算符帶入H-P變換的式子中，可以得到 （3-12）其中

7、根式為，并且。在熱力學極限下將根式按照冪級數綻開至，則將式子（3-12）代入哈密頓量（3-3），這樣我們得到了含有的雙線性項的哈密頓量 （3-13）現在用平移算符將波色算符的線性項消除掉，所以 （3-14）平庸解是滿足正常相哈密頓量的解，這里對超輻射相有意義的解是 （3-15）這里，而且令。利用這些參量，獲得了有效哈密頓量 （3-16）為了促進這個雙線性哈密頓量的對角化，我們引進如下定義的位置-動量算符： （3-17）這樣超輻射相的有效哈密頓量變為： （3-18）雖然（3-17）式的位置-動量算符表達式與（3-6）定義的有所不同，但是這里的對角化過程與之前正常相的過程是類似的，也就是將平面旋轉

8、一個角度到另一個平面上，使得上面的有效哈密頓量對角化， （3-19）這里旋轉角度滿足條件：為 （3-20）現在為了量子化哈密頓量，引進兩個新的玻色算符： （3-21）故對角形式的哈密頓量為 （3-22）這里使得哈密頓量對角化的玻色算符是玻色算符的線性組合。至此，我們就得到了超輻射相的兩支獨立震蕩模式的能量表： （3-23）如果激發態能量是實數，那么必須滿足條件 （3-24）化簡（3-24）可以得到 （3-25）現在討論超輻射相下的臨界值，所以我們得到了如下的圖象圖3.1通過上面的圖象3.1，我們可以知道當為我們的超輻射相。對于超輻射相，系統的基態能量是： （3-26）從基態能量出發，臨界點也可

9、以通過下面的方程組獲得：可以解得：，與式子（3.15）一致。這樣我們得到了一個二階相變點。3.3相變討論熱力學極限下，系統用兩個有效哈密頓量描述成兩相，并給出激發態能量。在圖3.2中我們給出了激發態能量關于原子相互作用和耦合強度的變化圖象，依據無耦合激發態的性質，上下兩支分別對應“原子”與“聲子”分支。從圖3.2可以看到，耦合強度接近于臨界點時，聲子模式的那一支激發態能量接近于0，即當時，,表明存在量子相變。而接近于。 圖3.2：激發態能量關于原子相互作用和耦合強度的變化圖象， 是正常相的激發態能量，是超輻射相的激發態能量。在原子相互作用取不同的值時，基態能量及其一階導數，二階導數關于耦合強度

10、的變化如圖3.3，從左到右，原子相互作用從1逐漸減小到-5。能量及其一階導在連續，而其二階導數在的非連續性表現了二級相變現象。需要特別說明的是，當時，因為臨界耦合強度，這時能量二階導還是連續的。（這里相變點；這里避開了區域里的特殊情況。并且當時，因為利用無法解出實數相變點，所以沒有去畫出這種情況下的圖象。但是如果利用相變點的話就可以畫出時的圖象）。圖3.3：基態能量（藍色線）及其一階導數（棕色線），二階導數（黃色線）關于耦合強度的變化圖象，這里原子相互作用從1逐漸減小到-5。或者圖3.3為了簡單看出，也可以采用下面圖3.31的圖象，這里三條線分別對應。圖3.31在熱力學極限下，平均玻色子數隨耦

11、合強度和原子相互作用變化的三維圖象，以及在原子相互作用取不同的值時，角動量隨耦合強度變化的圖象我們在圖3.4中也給出來了，從左到右，原子相互作用從1逐漸減小到-5。從圖3.4我們可以看到，在臨界點處，角動量從突然增大到，平均玻色子數從0突然增大到，出現相變現象。經過相變點之后，可以得到下面可觀測量的解析結果表格3.1是基態能量，平均玻色子數，角動量的熱力學極限解析分析結果。不管是從圖3.4還是表格3.1，都可以看出平均玻色子數隨的增大是發散的，而角動量隨的增大是收斂的，且收斂于0。 圖3.4：平均玻色子數隨耦合強度和原子相互作用變化的三維圖象；原子相互作用取不同的值時（從1逐漸減小到-5），角

12、動量隨耦合強度變化的圖象。或者圖3.4為了簡單看出，也可以采用下面圖3.41的圖象，這里三條線分別對應。圖3.413.4系統量子糾纏和量子關聯我們知道，量子糾纏和量子相變有緊密關系，糾纏可以來探測量子相變【87】。對于多體系統，量子態的糾纏是不容易表征的，Dicke多原子集體模型中，所有自旋完全一樣，concurrence更合適來表征兩體糾纏，不依賴所選擇的兩個自旋。因此我們將討論多原子與玻色場多體系統中任意兩個原子的量子糾纏-concurrence。量子糾纏就是子系統之間的某種量子關聯，它會影響強關聯系統的物理性質，尤其是量子相變。量子相變發生在零溫時，這時系統處于基態，是一個純態，其子系統

13、之間的關聯與量子糾纏有很大的關系。量子糾纏是一種奇特的純量子現象，反映了量子理論的本質一相干性，空間非局域性，廣泛應用于量子通信和量子計算中。從實驗觀測角度來說，量子糾纏是測量中體現的關聯，這種關聯具有相干性，是量子關聯，不是經典關聯。由于Dicke模型的N個自旋的對稱性，所以任意兩個自旋的約化密度矩陣在基矢空間中總是可以表示成以下的X形式： （3-28）其中矩陣元的具體表達式為：這里，。，對于。對于兩自旋X形式的密度矩陣，量子關聯QD是可以被解析求解的。按照陳慶虎的文章中的計算，我們可以推導出（3-28）式中約化密度矩陣的矩陣元： （3-29）按照陳慶虎文章中推導出的量子關聯QD和經典糾纏C

14、的表達式這里為了表述簡單，我們將含有的根式重寫為：。對于我們的擴展的Dicke模型，在圖3.5中我們給出了量子關聯QD和經典糾纏C,以及QD的一介導和C的一介導關于原子相互作用和耦合強度的三維變化圖象： 圖3.5：量子關聯QD和經典糾纏C,以及QD的一介導和C的一介導關于原子相互作用和耦合強度的三維變化圖象。或者按照，時，為正常相的猜想，可以得到下面圖3.51圖3.51N個自旋的體系中，對自旋以外的其他自旋自由度求跡，可以得到第和自旋的約化密度矩陣。定義自旋-翻轉密度矩陣，那么自旋的concurrence定義為 （3-27）是的本征值，并且。如果，則自旋是糾纏的。對于N個自旋對稱態的系統，和與自旋的選擇無關，以下忽略角標。將集體算符帶入上面糾纏