1、面板數據模型與應用張曉峒中國數量經濟學會常務理事，學術委員會委員南開大學數量經濟學專業博士生導師xttfyt，nkeviews最近新書：1Badi H. Baltagi, Econometric Analysis of Panel Data, John Wiley & Sons, 2005.2Jeffrey M. Wooldridge, Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, 3Cheng Hsiao,Analysis of Panel Data, CambridgeUniversity Press, 2003.4Ma

2、nuel Arellano, Panel Data Econometrics (Advanced Texts in Econometrics), 2003.5. Edward W. Frees, Longitudinal and Panel Data: Analysis and Applications in the Social Sciences, 2004.6謝識予 朱宏鑫 編著，高級計量經濟學，2005-57童光榮，計量經濟學，武漢大學出版社2006-3學術會議：1. 13th International Conference on Panel Data, Faculty of Econ

3、omics, & Robinson College, University of Cambridge, Cambridge, UK, 7-9 July 20061面板數據定義panel data的中譯：面板數據、桌面數據、平行數據、縱列數據、時間序列截面數據、混合數據（pool data）、固定調查對象數據。面板數據定義（1）面板數據定義為相同截面上的個體在不同時點的重復觀測數據。（2）稱為縱向變量序列（個體）的多次測量。面板數據從橫截面（cross section）看，是由若干個體（entity, unit, individual）在某一時點構成的截面觀測值，從縱剖面（longitu

4、dinal section）看每個個體都是一個時間序列。圖1 N=7，T=50的面板數據示意圖面板數據用雙下標變量表示。例如yi t, i= 1, 2, , N; t = 1, 2, , Ti對應面板數據中不同個體。N表示面板數據中含有N個個體。t對應面板數據中不同時點。T表示時間序列的最大長度。若固定t不變，yi ., ( i= 1, 2, , N)是橫截面上的N個隨機變量；若固定i不變，y. t, (t = 1, 2, , T)是縱剖面上的一個時間序列（個體）。這里所討論的面板數據主要指時期短而截面上包括的個體多的面板數據。案例1（file:panel02）：1996-2002年中國東北、

5、華北、華東15個省級地區的居民家庭固定價格的人均消費（CP）和人均收入（IP）數據見file:panel02。數據是7年的，每一年都有15個數據，共105組觀測值。人均消費和收入兩個面板數據都是平衡面板數據，各有15個個體。人均消費和收入的面板數據從縱剖面觀察分別見圖2和圖3。從橫截面觀察分別見圖4和圖5。橫截面數據散點圖的表現與觀測值順序有關。圖4和圖5中人均消費和收入觀測值順序是按地區名的漢語拼音字母順序排序的。圖2 15個省級地區的人均消費序列（縱剖面）圖3 15個省級地區的人均收入序列（file:5panel02）圖4 7個時點人均消費橫截面數據（含15個地區） 圖5 7個時點人均收入

6、橫截面數據（含15個地區）(每條連線數據表示同一年度15個地區的消費值) (每條連線數據表示同一年度15個地區的收入值)用CP表示消費，IP表示收入。AH, BJ, FJ, HB, HLJ, JL, JS, JX, LN, NMG, SD, SH, SX, TJ, ZJ分別表示安徽省、北京市、福建省、河北省、黑龍江省、吉林省、江蘇省、江西省、遼寧省、內蒙古自治區、山東省、上海市、山西省、天津市、浙江省。圖6 人均消費對收入的面板數據散點圖（15個時間序列疊加）圖7 人均消費對收入的面板數據散點圖（7個截面疊加）圖8 北京和內蒙古1996-2002年消費對收入散點圖 圖9 1996和2002年1

7、5個地區的消費對收入散點圖2面板數據模型分類用面板數據建立的模型通常有3種，即混合回歸模型、固定效應回歸模型和隨機效應回歸模型。2.1 混合回歸模型（Pooled model）。如果一個面板數據模型定義為，yit = a+Xit 'b+eit, i= 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (1)其中yit為被回歸變量（標量），a表示截距項，Xit為k´1階回歸變量列向量（包括k個回歸量），b為k´1階回歸系數列向量，eit為誤差項（標量）。則稱此模型為混合回歸模型。混合回歸模型的特點是無論對任何個體和截面，回歸系數a和b都相同。如果模型是正確設定的，解釋

8、變量與誤差項不相關，即Cov(Xit,eit) = 0。那么無論是N®¥，還是T®¥，模型參數的混合最小二乘估計量（Pooled OLS）都是一致估計量。2.2 固定效應回歸模型（fixed effects regression model）。固定效應模型分為3種類型，即個體固定效應回歸模型、時點固定效應回歸模型和個體時點雙固定效應回歸模型。下面分別介紹。2.2.1個體固定效應回歸模型（entity fixed effects regression model）如果一個面板數據模型定義為，yit = ai+Xit 'b+eit, i= 1, 2,

9、 , N; t = 1, 2, , T(3)其中ai是隨機變量，表示對于i個個體有i個不同的截距項，且其變化與Xit有關系；yit為被回歸變量（標量），eit為誤差項（標量），Xit為k´1階回歸變量列向量（包括k個回歸量），b為k´1階回歸系數列向量，對于不同個體回歸系數相同，則稱此模型為個體固定效應回歸模型。ai作為隨機變量描述不同個體建立的模型間的差異。因為ai是不可觀測的，且與可觀測的解釋變量Xit的變化相聯系，所以稱（3）式為個體固定效應回歸模型。個體固定效應回歸模型也可以表示為yit = a1+a2D2 + +aNDN+Xit 'b+eit, t = 1

10、, 2, , T (4)其中Di=設定個體固定效應回歸模型的原因如下。假定有面板數據模型yit = b0+b1xit+b2 zi +eit, i= 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (5)其中b0為常數，不隨時間、截面變化；zi表示隨個體變化，但不隨時間變化的難以觀測的變量。上述模型可以被解釋為含有N個截距，即每個個體都對應一個不同截距的模型。令ai= b0+b2 zi，于是（5）式變為yit = ai+b1xit+eit, i= 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (6)這正是個體固定效應回歸模型形式。對于每個個體回歸函數的斜率相同（都是b1），截距ai卻因個體

11、不同而變化。可見個體固定效應回歸模型中的截距項ai中包括了那些隨個體變化，但不隨時間變化的難以觀測的變量的影響。ai是一個隨機變量。以案例1為例，省家庭平均人口數就是這樣的一個變量。對于短期面板來說，這是一個基本不隨時間變化的量，但是對于不同的省份，這個變量的值是不同的。以案例1為例（file:panel02）得到的個體固定效應模型估計結果如下：注意：個體固定效應模型的EViwes輸出結果中沒有公共截距項。圖10 個體固定效應回歸模型的估計結果2.2.2時點固定效應回歸模型（time fixed effects regression model）如果一個面板數據模型定義為，yit =gt+Xi

12、t 'b+eit, i = 1, 2, , N (7)其中gt是模型截距項，隨機變量，表示對于T個截面有T個不同的截距項，且其變化與Xit有關系；yit為被回歸變量（標量），eit為誤差項（標量），滿足通常假定條件。Xit為k´1階回歸變量列向量（包括k個回歸變量），b為k´1階回歸系數列向量，則稱此模型為時點固定效應回歸模型。時點固定效應回歸模型也可以加入虛擬變量表示為yit =g1 +g2W2 + +g TWT+Xit 'b+eit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (8)其中Wt=設定時點固定效應回歸模型的原因。假定有面板數據

13、模型yit = b0+b1xit+b2 zt +eit, i= 1, 2, , N; t = 1, 2, , T(9)其中b0為常數，不隨時間、截面變化；zt表示隨不同截面（時點）變化，但不隨個體變化的難以觀測的變量。上述模型可以被解釋為含有T個截距，即每個截面都對應一個不同截距的模型。令gt= b0+b2 zt，于是（9）式變為yit = gt+b1xit+eit, i= 1, 2, , N; t = 1, 2, , T(10)這正是時點固定效應回歸模型形式。對于每個截面，回歸函數的斜率相同（都是b1），gt卻因截面（時點）不同而異。可見時點固定效應回歸模型中的截距項gt包括了那些隨不同截面

14、（時點）變化，但不隨個體變化的難以觀測的變量的影響。gt是一個隨機變量。以案例1為例，“全國零售物價指數”就是這樣的一個變量。對于不同時點，這是一個變化的量，但是對于不同省份（個體），這是一個不變化的量。圖112.2.3個體時點雙固定效應回歸模型（time and entity fixed effects regression model）如果一個面板數據模型定義為，yit = ai+gt+Xit'b+eit, i= 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (11)其中yit為被回歸變量（標量）；ai是隨機變量，表示對于N個個體有N個不同的截距項，且其變化與Xit有關系；gt

15、是隨機變量，表示對于T個截面（時點）有T個不同的截距項，且其變化與Xit有關系；Xit為k´1階回歸變量列向量（包括k個回歸量）；b為k´1階回歸系數列向量；eit為誤差項（標量）滿足通常假定(eitêXit,ai,gt) = 0；則稱此模型為個體時點固定效應回歸模型。個體時點固定效應回歸模型還可以表示為，yit = a1+a2D2 +aNDN+g2W2 +g TWT+Xit 'b+eit, t = 1, 2, , (12)其中Di= (13)Wt= (14)如果模型形式是正確設定的，并且滿足模型通常的假定條件，對模型（12）進行混合OLS估計，全部參數估

16、計量都是不一致的。正如個體固定效應回歸模型可以得到一致的、甚至有效的估計量一樣，一些計算方法也可以使個體時點雙固定效應回歸模型得到更有效的參數估計量。以例1為例得到的截面、時點固定效應模型估計結果如下：圖12回歸系數為0.67，這與個體固定效應回歸模型給出的估計結果0.70基本一致。在上述三種固定效應回歸模型中，個體固定效應回歸模型最為常用。2.3隨機效應模型對于面板數據模型yit = ai+Xit'b+eit, i= 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (15)如果ai為隨機變量，其分布與Xit無關；yit為被回歸變量（標量），eit為誤差項（標量），Xit為k

17、0;1階回歸變量列向量（包括k個回歸量），b為k´1階回歸系數列向量，對于不同個體回歸系數相同，這種模型稱為個體隨機效應回歸模型（隨機截距模型、隨機分量模型）。其假定條件是ai iid(a, sa2)，eit iid(0, se2)都被假定為獨立同分布，但并未限定何種分布。 同理也可定義時點隨機效應回歸模型和個體時點隨機效應回歸模型，但個體隨機效應回歸模型最為常用。個體隨機效應模型又稱為等相關模型（Equicorrelated model）。原因如下。隨機效應模型可以看作是混合模型的特例。對于個體隨機效應回歸模型yit = ai+Xit 'b+eit,可以把ai并入誤差項ei

18、t。模型改寫為yit =Xit 'b+ (ai+eit) = Xit 'b+uit (16)其中uit = (ai+eit)。如果有ai(a, sa2)，eit(0, se2)成立，那么，Cov(uit,uis) = Cov(ai+eit)(ai+eis) = (17)因為對于t¹s，有r(uit,uis) = = (18)相關系數r(uit,uis)與 (ts) 即相隔期數長短無關。所以個體隨機效應模型也稱作等相關模型，或者可交換誤差模型（exchangeable model）。對于個體隨機效應模型，E(aiêXit) =a，則有，E(yitêx

19、it) =a+Xit'b，對yit可以識別。所以隨機效應模型參數的混合OLS估計量具有一致性，但不具有有效性。注意：“固定效應模型”這個術語用得并不十分恰當，容易產生誤解。其實固定效應模型應該稱之為“相關效應模型”，而隨機效應模型應該稱之為“非相關效應模型”。因為固定效應模型和隨機效應模型中的ai都是隨機變量。3面板數據模型估計方法面板數據模型中b的估計量既不同于截面數據估計量，也不同于時間序列估計量，其性質隨設定固定效應模型是否正確而變化。3.1 混合最小二乘（Pooled OLS）估計混合OLS估計方法是在時間上和截面上把NT個觀測值混合在一起，然后用OLS法估計模型參數。給定混合

20、模型yit = a+Xit 'b+eit, i= 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (19)如果模型是正確設定的，且解釋變量與誤差項不相關，即Cov(Xit,eit) = 0。那么無論是N®¥，還是T®¥，模型參數的混合最小二乘估計量都具有一致性。對混合模型通常采用的是混合最小二乘（Pooled OLS）估計法。然而，在誤差項服從獨立同分布條件下由OLS法得到的方差協方差矩陣，在這里通常不會成立。因為對于每個個體i及其誤差項來說通常是序列相關的。NT個相關觀測值要比NT個相互獨立的觀測值包含的信息少。從而導致誤差項的標準差常常被低

21、估，估計量的精度被虛假夸大。如果模型存在個體固定效應，即ai與Xit相關，那么對模型應用混合OLS估計方法，估計量不再具有一致性。解釋如下：假定模型實為個體固定效應模型yit = ai+ Xit 'b+eit，但卻當作混合模型來估計參數，則模型可寫為yit = a+Xit 'b+ (ai-a +eit) = a+ Xit 'b+uit (20)其中uit = (ai-a +eit)。因為ai與Xit相關，也即uit與Xit相關，所以個體固定效應模型的參數若采用混合OLS估計，估計量不具有一致性。3.2平均（between）OLS估計平均OLS估計法的步驟是首先對面板數據

22、中的每個個體求平均數，共得到N個平均數（估計值）。然后利用yit和Xit的N組觀測值估計參數。以個體固定效應回歸模型yit = ai+Xit 'b+eit (21)為例，首先對面板中的每個個體求平均數，從而建立模型= ai+'b+, i= 1, 2, , N (22)其中=，=，=，i= 1, 2, , N。變換上式得= a+'b+(a i- a +), i= 1, 2, , N (23)上式稱作平均模型。對上式應用OLS估計，則參數估計量稱作平均OLS估計量。此條件下的樣本容量為N，（T=1）。如果與(a i- a +)相互獨立，a和b的平均OLS估計量是一致估計量。

23、平均OLS估計法適用于短期面板的混合模型和個體隨機效應模型。對于個體固定效應模型來說，由于ai和Xit相關，也即ai和相關，所以，回歸參數的平均OLS估計量是非一致估計量。3.3 離差（within）OLS估計 對于短期面板數據，離差OLS估計法的原理是先把面板數據中每個個體的觀測值變換為對其平均數的離差觀測值，然后利用離差數據估計模型參數。具體步驟是，對于個體固定效應回歸模型yit = ai+Xit'b+eit (24)中的每個個體計算平均數，可得到如下模型，= ai+'b+其中、的定義見（22）式。上兩式相減，消去了ai，得yit-= (Xit-)'b+ (eit

24、-)此模型稱作離差數據模型。對上式應用OLS估計，所得b的估計量稱作離差OLS估計量。對于個體固定效應回歸模型，b的離差OLS估計量是一致估計量。如果eit還滿足獨立同分布條件，b的離差OLS估計量不但具有一致性而且還具有有效性。如果對固定效應ai感興趣，也可按下式估計。=-' (27)個體固定效應回歸模型的估計通常采用的就是離差（within）OLS估計法。在短期面板條件下，即便ai的分布、以及ai和Xit的關系都已知到，ai的估計量仍不具有一致性。當個體數N不大時，可采用OLS虛擬變量估計法估計ai和b。離差OLS估計法的主要缺點是不能估計非時變回歸變量構成的面板數據模型。比如Xi

25、t =Xi（非時變變量），那么有= Xi，計算離差時有Xi-= 0。3.4一階差分（first difference）OLS估計 在短期面板條件下，一階差分OLS估計就是對個體固定效應模型中的回歸量與被回歸量的差分變量構成的模型的參數進行OLS估計。具體步驟是，對個體固定效應回歸模型yit = ai+Xit'b+eit取其滯后一期關系式yit-1 = ai+Xit-1'b+eit-1上兩式相減，得一階差分模型（ai被消去）yit-yit-1 = (Xit-Xit-1)'b+ (eit -eit-1) , i= 1, 2, , N; t = 1, 2, , T對上式應用O

26、LS估計得到的b的估計量稱作一階差分OLS估計量。盡管ai不能被估計，b的估計量是一致估計量。 在T>2，eit獨立同分布條件下得到的b的一階差分OLS估計量不如離差OLS估計量有效。3.5隨機效應（random effects）估計法（可行GLS（feasible GLS）估計法）有個體固定效應模型yit = ai+Xit'b+eiai，eit服從獨立同分布。對其作如下變換yit-= (1-)m + (Xit-)'b+vit （29）其中vit = (1-)ai+ (eit -)漸近服從獨立同分布，l = 1-，應用OLS估計，則所得估計量稱為隨機效應估計量或可行GLS

27、估計量。當=0時，（29）式等同于混合OLS估計；當=1時，（29）式等同于離差OLS估計。 對于隨機效應模型，可行GLS估計量不但是一致估計量，而且是有效估計量，但對于個體固定效應模型，可行GLS估計量不是一致估計量。面板數據模型估計量的穩健統計推斷。在實際的經濟面板數據中，N個個體之間相互獨立的假定通常是成立的，但是每個個體本身卻常常是序列自相關的，且存在異方差。為了得到正確的統計推斷，需要克服這兩個因素。對于第i個個體，當N®¥，Xi×的方差協方差矩陣仍然是T´T有限階的，所以可以用以前的方法克服異方差。采用GMM方法還可以得到更有效的估計量。EV

28、iwes中對隨機效應回歸模型的估計采用的就是可行（feasible ）GLS估計法。4面板數據模型設定檢驗方法4.1 F檢驗先介紹原理。F統計量定義為F = F( m , T k ) (30)其中SSEr表示施加約束條件后估計模型的殘差平方和，SSEu表示未施加約束條件的估計模型的殘差平方和，m表示約束條件個數，T表示樣本容量，k表示未加約束的模型中被估參數的個數。在原假設“約束條件真實”條件下，F統計量漸近服從自由度為( m , T k )的F分布。以檢驗個體固定效應回歸模型為例，介紹F檢驗的應用。建立假設H0：ai=a。模型中不同個體的截距相同（真實模型為混合回歸模型）。H1：模型中不同個

29、體的截距項ai不同（真實模型為個體固定效應回歸模型）。F統計量定義為：F=(31)其中SSEr表示約束模型，即混合估計模型的殘差平方和，SSEu表示非約束模型，即個體固定效應回歸模型的殘差平方和。非約束模型比約束模型多了N-1個被估參數。以案例1為例，已知SSEr= 4824588，SSEu= 4028843，F= = 8.1(32)F0.05(6, 87) = 1.8因為F= 8.1> F0.05(14, 89) = 1.8，推翻原假設，比較上述兩種模型，建立個體固定效應回歸模型更合理。4.2 Hausman檢驗對同一參數的兩個估計量差異的顯著性檢驗稱作Hausman檢驗，簡稱H檢驗。

30、H檢驗由Hausman1978年提出，是在Durbin（1914）和Wu（1973）基礎上發展起來的。所以H檢驗也稱作Wu-Hausman檢驗，和Durbin-Wu-Hausman檢驗。先介紹Hausman檢驗原理例如在檢驗單一方程中某個回歸變量（解釋變量）的內生性問題時得到相應回歸參數的兩個估計量，一個是OLS估計量、一個是2SLS估計量。其中2SLS估計量用來克服回歸變量可能存在的內生性。如果模型的解釋變量中不存在內生性變量，那么OLS估計量和2SLS估計量都具有一致性，都有相同的概率極限分布。如果模型的解釋變量中存在內生性變量，那么回歸參數的OLS估計量是不一致的而2SLS估計量仍具有一

31、致性，兩個估計量將有不同的概率極限分布。更一般地，假定得到q個回歸系數的兩組估計量和，則H檢驗的零假設和被擇假設是：H0: plim(-) = 0H1: plim(-) ¹ 0假定兩個估計量的差作為統計量也具有一致性，在H0成立條件下，(-) N(0, VH)其中VH是(-)的極限分布方差矩陣。則H檢驗統計量定義為H = (-)' (N-1)-1(-)®c2(q) （33）其中(N-1)是(-)的估計的方差協方差矩陣。在H0成立條件下，H統計量漸近服從c2(q)分布。其中q表示零假設中約束條件個數。H檢驗原理很簡單，但實際中VH的一致估計量并不容易。一般來說，N-1

32、= Var(-) = Var()+Var()-2Cov(,) （34）Var()，Var()在一般軟件計算中都能給出。但Cov(,)不能給出。致使H統計量（33）在實際中無法使用。實際中也常進行如下檢驗。H0：模型中所有解釋變量都是外生的。H1：其中某些解釋變量都是內生的。在原假設成立條件下，H = (-)' (-)-1 (-)c2(k) （36）其中和分別是對Var()和Var()的估計。與（34）式比較，這個結果只要求計算Var()和Var()，H統計量（36）具有實用性。當q表示一個標量時，H統計量（36）退化為， H = c2(1)其中和分別表示和的樣本方差值。H檢驗用途很廣。

33、可用來做模型丟失變量的檢驗、變量內生性檢驗、模型形式設定檢驗、模型嵌套檢驗、建模順序檢驗等。下面詳細介紹面板數據中利用H統計量進行模型形式設定的檢驗。假定面板模型的誤差項滿足通常的假定條件，如果真實的模型是隨機效應回歸模型，那么b的離差OLS估計量和隨機GLS法估計量都具有一致性。如果真實的模型是個體固定效應回歸模型，則參數b的離差OLS法估計量是一致估計量，但隨機GLS估計量是非一致估計量。可以通過H統計量檢驗(-)的非零顯著性，檢驗面板數據模型中是否存在個體固定效應。原假設與備擇假設是H0: 個體效應與回歸變量無關（個體隨機效應回歸模型）H1: 個體效應與回歸變量相關（個體固定效應回歸模型

34、）例：=0.7747，s() = 0.00868（計算結果對應圖15）；=0.7246，s() =0.0106（計算結果取自EViwes個體固定效應估計結果） H = = 68.4因為H =68.4 > c20.05 (1) = 3.8，所以模型存在個體固定效應。應該建立個體固定效應回歸模型。5面板數據建模案例分析圖13 混合估計散點圖圖14 平均估計散點圖以案例1為例，圖13是混合估計對應數據的散點圖。回歸結果如下CP = 129.63 + 0.76 IP(2.0) (79.7)圖14是平均值數據散點圖。先對數據按個體求平均數和。然后用15組平均值數據回歸，= -40.88+0.79(

35、-0.3) (41.1)圖15離差估計散點圖 圖16差分估計散點圖圖15是離差數據散點圖。先計算CP、IP分別對、的離差數據，然后用離差數據計算OLS回歸。CPM = 0.77IPM (90)圖16是一階差分數據散點圖。先對CP、IP各個體作一階差分，然后用一階差分數據回歸。DCP = 0.71 DIP(24)案例2（file:5panel01a）美國公路交通事故死亡人數與啤酒稅的關系研究見Stock J H and M W Watson, Introduction to Econometrics, Addison Wesley, 2003第8章。美國每年有4萬高速公路交通事故，約1/3涉及酒

36、后駕車。這個比率在飲酒高峰期會上升。早晨13點25%的司機飲酒。飲酒司機出交通事故數是不飲酒司機的13倍。現有19821988年48個州共336組美國公路交通事故死亡人數（number）與啤酒稅（beertax）的數據。圖171982年數據散點圖(File: 5panel01a-graph01) 圖181988年數據散點圖(File:5panel01a- graph07)1982年數據的估計結果（散點圖見圖17）1982 = 2.01 + 0.15 beertax1982 (0.15) (0.13)1988年數據的估計結果（散點圖見圖18）1988 = 1.86 + 0.44 beertax1

37、988 (0.11) (0.13)圖19 混合估計共336個觀測值。估計結果仍不可靠。（file:5panel01b）19821988年混合數據估計結果（散點圖見圖19）19821988 = 1.85 + 0.36beertax19821988 (42.5) (5.9) SSE=98.75顯然以上三種估計結果都不可靠（回歸參數符號不對）。原因是啤酒稅之外還有許多因素影響交通事故死亡人數。個體固定效應估計結果（散點圖見圖1）it = 2.375 +- 0.66beertax it (24.5) (-3.5) SSE=10.35雙固定效應估計結果（散點圖見圖1）it = 2.37 +- 0.65b

38、eertax it (23.3) (-3.25) SSE=9.92以上兩種回歸系數的估計結果非常近似。下面的F檢驗證實參數-0.66和0.65比較合理。用F檢驗判斷應該建立混合模型還是個體固定效應模型。H0：ai=a。混合回歸模型（約束截距項為同一參數）。H1：ai各不相同。個體固定效應回歸模型（截距項任意取值）F= （以EViwes5.0計算自由度） = 50.8F0.05(48, 286) = 1.2因為F= 50.8 > F0.05(14, 89) = 1.2，推翻原假設，比較上述兩種模型，建立個體固定效應回歸模型更合理。下面討論面板差分數據的估計結果。利用1988年和1982年數

39、據的差分數據得估計結果（散點圖見圖3）1988 -1982 = -0.072 - 1.04 (beertax1988 - beertax1982)(0.065) (0.36)圖20差分數據散點圖(File:5panel01a- graph08)6面板數據的單位根檢驗下面介紹11種檢驗方法。6.1 LLC（Levin-Lin-Chu，2002）檢驗（適用于相同根（common root）情形）LLC檢驗原理是仍采用ADF檢驗式形式。但使用的卻是和的剔出自相關和確定項影響的、標準的代理變量。具體做法是（1）先從Dyit和yit中剔出自相關和確定項的影響，并使其標準化，成為代理變量。（2）用代理變量

40、做ADF回歸，=r + vit。LLC修正的漸近服從N(0,1)分布。詳細步驟如下：H0: r = 0（有單位根）；H1: r < 0。LLC檢驗為左單端檢驗。LLC檢驗以如下ADF檢驗式為基礎：Dyit = ryi t-1 +Dyi t-j +Zit'f+eit, i= 1, 2, , N; t = 1, 2, , T （38）其中Zit表示外生變量（確定性變量）列向量，f表示回歸系數列向量。（1）估計代理變量。首先確定附加項個數ki，然后作如下兩個回歸式，Dyit = Dyi t-j + Zit'+yit-1 = Dyi t-j + Zit'+移項得= Dyi

41、t-Dyi t-j - Zit'=yit-Dyi t-j - Zit'把和標準化，= /si=/si其中si, i= 1, 2, , N是用（38）式對每個個體回歸時得到的殘差的標準差，從而得到Dyit和yit-1的代理變量和。（2）用代理變量和作如下回歸，=r+ vitLLC證明，上式中估計量的如下修正的統計量漸近地服從標準正態分布。= ®N (0, 1)其中表示標準的t統計量；N是截面容量；=T-1，（T為個體容量）；SN是每個個體長期標準差與新息標準差之比的平均數；是誤差項vit的方差；是標準誤差；和分別是均值和標準差的調整項。見圖21輸出結果，LLC=9.7

42、> -1.65，所以存在單位根。圖21LLC檢驗的EViews 5.0輸出結果（部分）EViews 5.0操作步驟：在面板數據窗口點擊View選Unit Root Test功能。在Test Type中選Common root Levin, Lin, Chu。6.5 Breitung檢驗（2002）（適用于相同根（common root）情形）Breitung檢驗法與LLC檢驗法類似。先從和中剔出動態項，然后標準化，再退勢，最后用ADF回歸*=r* + vit。檢驗單位根。用每個個體建立的單位根檢驗式的誤差項之間若存在同期相關，上述面板數據的單位根檢驗方法都不再適用。主要是統計量的分布發生

43、變化，檢驗功效降低。為此提出一些個體同期相關面板數據的單位根檢驗方法。6.2Hadri檢驗（適用于相同根（common root）情形）Hadri檢驗與KPSS檢驗相類似。原假設是面板中的所有序列都不含有單位根。計算步驟是用原面板數據的退勢序列（殘差）建立LM統計量。退勢回歸是yit = a1 +a2 t + uit利用上式中的殘差計算如下LM統計量， (39)其中是殘差累積函數，是頻率為零時的殘差譜密度。Hadri給出，在一般假定條件下Z = ®N(0, 1) (40)其中a=1/6，b=1/45，LM由（39）式計算。Hadri檢驗的原假設是沒有單位根。以案例1為例，圖22給出檢驗結果。EViews給出假定同方差和克服異方差兩種情形下的Z統計量。因為Z漸近服從正態分布，Z = 7.5和7.6落在拒絕域，結論是存在共同單位根。圖22Hadri檢驗的EViews 5.0輸出結果（部分）EViews 5.0操作步驟：在面板數據窗口點擊View選Unit Root Test功能。在Test Type中選Common root Hadri。下面介紹適用于不同根（individual unit root）情形的面板數據單位根檢驗方