1、例析補償原理在解決不良結(jié)構(gòu)數(shù)學問題中的運用浙江省上虞市教研室 陳堯明 312300摘要：數(shù)學問題可分為結(jié)構(gòu)良好問題和結(jié)構(gòu)不良問題。所謂數(shù)學問題的編制或創(chuàng)新，本質(zhì)上說視角的轉(zhuǎn)換，命題者通過條件的衰減，有時故意破壞良好結(jié)構(gòu)，常規(guī)的解題套路得以規(guī)避，以此來考量學生的數(shù)學綜合能力。本文例舉四類不良結(jié)構(gòu)，試圖從結(jié)構(gòu)出發(fā)來給我們學生解題以啟發(fā)。關(guān)鍵詞：數(shù)學問題 良好結(jié)構(gòu) 遷移 缺陷著名數(shù)學教育家波利亞曾說過：問題是數(shù)學的心臟問題可分為結(jié)構(gòu)良好問題和結(jié)構(gòu)不良問題，在中學數(shù)學解題中大量出現(xiàn)的是結(jié)構(gòu)良好的數(shù)學問題所謂結(jié)構(gòu)良好，是指提供的信息完整，數(shù)學結(jié)構(gòu)（研究對象、輸血過程）理想，問題目標明確，解決過程和答案穩(wěn)

2、定，也就是我們常說的理想模型結(jié)構(gòu)良好和結(jié)構(gòu)不良是一個相對的概念結(jié)構(gòu)不良一般分為結(jié)構(gòu)缺陷和結(jié)構(gòu)復(fù)雜兩類在解決不良數(shù)學問題過程中往往能體現(xiàn)一個人的各種能力，如學習的遷移能力，即完成從非理想模型向理想模型的遷移；思維的變通能力，即能夠完成把不良結(jié)構(gòu)變通為良好結(jié)構(gòu)等等也正因為如此，當今高考的能力立意就是要完成從結(jié)構(gòu)良好數(shù)學問題的考查向結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題的考查，也正基于此，不良結(jié)構(gòu)問題往往被命題者作為測量被試的“成功智力”或者問題解決能力的工具，以達到試題具有良好“區(qū)分度”的目的中學數(shù)學教學中，我們應(yīng)該努力尋求解決不良結(jié)構(gòu)數(shù)學問題的方法，其中補償法是一種常用的方法應(yīng)用補償法一般可解決下面4類缺陷問題1物理

3、性缺陷問題-物理割補 等效運算所謂物理性缺陷是指數(shù)學解題對象在空間上與理想的數(shù)學模型存在一定的缺陷補償法就是經(jīng)物理性割補使之成為一個完整的理想結(jié)構(gòu)，找出缺陷結(jié)構(gòu)與理想結(jié)構(gòu)之間的差異，再用有關(guān)的性質(zhì)、原理求解，從而得到正確的結(jié)論此類結(jié)構(gòu)不良問題在立體幾何中比較常見例1（2009年的浙江高考理科第17題）如圖5，在長方形中，為的中點，為線段（端點除外）上一動點現(xiàn)將沿折起，使平面平面在平面內(nèi)過點作，為垂足設(shè)，則的取值范圍是 【分析】此題當年是評價較高的一道題，它是以折疊為大背景，但高考試題命題者一方面將固定的折疊模式改成了動態(tài)（即折痕的變化）的折疊；另一方面，將立幾中的三角關(guān)系中的三個角處在“反置”

4、的背景下，使人的直觀視角成思維障礙，與平時“中規(guī)中矩”的立幾理想模型形成反差事實上我們只要將圖形作的轉(zhuǎn)換，這個問題就成為一個很顯然的問題了當然，立幾中有許多題目都可通過割補來完成不良結(jié)構(gòu)向良好結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換，所謂補形實際上就是基于這樣的機理例2（2010年浙江省理科16題）已知平面向量滿足，且與的夾角為120，則的取值范圍是_.【分析】本題考查向量的數(shù)量積的意義及向量減法的幾何意義，向量、及都是動態(tài)的，三者的題干架構(gòu)所顯現(xiàn)的數(shù)學模型并非一目了然倘若我們作一個“弓形”的結(jié)構(gòu)補償，考慮到向量與的夾角為120，那么設(shè)想向量穩(wěn)定于一個半徑為圓的一條弦（如圖），于是的長就是一條動弦，不難求得2情境性缺陷問題

5、-返璞歸真 技術(shù)補償所謂情景性缺陷是指實際問題條件與使用條件之間的差異形成的缺陷良好結(jié)構(gòu)的數(shù)學問題他的條件是有序的、正定的，但實際問題條件往往是無序的、離散的為此碰到這種原理性缺陷問題時，可以通過畫圖像、畫表格等數(shù)學技術(shù)手段進行補償，使問題呈現(xiàn)良好的有序結(jié)構(gòu)，返璞歸真例3（2010年高考浙江卷17）有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復(fù)若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上下午都各測試一人，則不同的安排方式共有 種.【分析】此題是個排列組合實際應(yīng)用題，但它的呈現(xiàn)與我們

6、平時訓練的排列組合題不同，也就是說實際問題條件與原來使用條件之間的差異形成了情景性的缺陷，即不可直接套用排列組合公式.它涉及到的參數(shù)多（人數(shù)、時間、項目）、參數(shù)之間“糾纏”多（上午不能測什么、下午不能測什么）、參數(shù)限制條件多（上下午都個測試一人），條件顯得無序、離散.如果我們將條件通過列表格的技術(shù)手段作一梳理，讓條件有序、規(guī)范，那我們要的數(shù)學模型（錯排）會自動呈現(xiàn)出來.項目身高與體重立定跳遠肺活量握力臺階上午下午不妨記4個同學為、.首先由于上午不測“握力”，共有種可能，比如“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“臺階”分別是、.下午分兩種情形：若上午測“臺階”的同學，下午剛好測“握力”，那

7、么另外三同學就是一個3階錯排即2種情況；若上午測“臺階”的同學下午不測“握力”，那從“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”三項中任選一項，有中選法，比如選同學選“握力”，那么同學、的選擇又是一個2階錯排（如上表）.于是總的不同安排方式共有：種.例4（2008年浙江卷理科第10題）如圖，是平面的斜線段，為斜足.若點在平面內(nèi)運動，使得的面積為定值，則動點的軌跡是（ ）圓 橢圓 一條直線 兩條平行直線【分析】本題求點的軌跡，與我們平時訓練的“求點的軌跡”的背景完全不同，形成了情境性的結(jié)構(gòu)缺陷，為此，我們來補全這個情景正因為的面積為定值，且是定長的斜線段，為此點到線段的距離是定值于是點在空間中的軌跡

8、應(yīng)是以為旋轉(zhuǎn)軸的圓柱面，又點在平面內(nèi)，所以點的軌跡是該圓柱面被平面所截出的橢圓3過程性缺陷問題-結(jié)構(gòu)假設(shè) 等效轉(zhuǎn)換不少數(shù)學問題，在連結(jié)題設(shè)和結(jié)論的關(guān)節(jié)點上，會遇到一些客觀上根本不可能知道的，或可以知道但不需要知道從而不想知道的，或需要知道但當前尚未知道的數(shù)學對象，這些我們泛指過程性缺陷問題對于此類問題可以將結(jié)構(gòu)假設(shè)為有利問題解決的理想狀態(tài)，抹去過程的碎碎末末，抓住理想狀態(tài)下的一些特殊環(huán)節(jié)進行分析剖解例5把自然數(shù)排成下表，今從表中任意取出一個數(shù)，并劃去該數(shù)所在行與列的全部數(shù)，剩下一個有個數(shù)的表，這樣繼續(xù)進行-1次，記所有這樣取出的個數(shù)的和為，則= 【分析】本題如果真的按題給出的方式進行操作，我們

9、覺得整體的解體結(jié)構(gòu)會顯得很模糊、很茫然，不知道劃去若干個數(shù)之后剩下的是何狀態(tài)，劃去的個數(shù)相互之間關(guān)系如何，如何運算等等事實上，由于是從表中任意取出一個數(shù)再劃去其中的所在行與列的全部數(shù)，為此我們?nèi)蔷€上的數(shù)，正好取到表上的個數(shù)，恰其=.至于另外的劃法具體咋樣？只好籠統(tǒng)地“蒙”過去了.例6設(shè)函數(shù)，是無理數(shù)小數(shù)點后第位上的數(shù)字，并約定，記，求當時，的值.【分析】由已知得的對應(yīng)關(guān)系，列表0123456789-3141592653-對于任意的，；另一方面，函數(shù)至多重復(fù)7次就能使，從而=1.此題我們也并不知道，當充分大時，具體的的值如何？或者說究竟為多大？但這對我們解決此題已無關(guān)緊要了.4.假設(shè)性缺陷問

10、題-合理假設(shè) 檢驗校正例7.已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，和分別是它們的前項的和，若，則= .【分析】大多學生會如下解答，于是可假設(shè)則，故=2顯然這個結(jié)果是不對的，因為非常數(shù)列的等差數(shù)列，它的前項的和是形如的二次式，因此當假設(shè)時，等式右邊是關(guān)于的一次式，而左邊是關(guān)于的二次式，等式左右兩邊關(guān)于的次數(shù)不一樣，因此這樣的假設(shè)是有缺陷的，而且是錯誤的.要使等式右邊也為的二次式，應(yīng)該設(shè)，于是，故得.至于具體的、的解析式，我們可以不予深究.例8已知雙曲線，試確定實數(shù)的范圍，使得對于直線，雙曲線左支、右支各存在一點關(guān)于該直線對稱.【分析】假設(shè)雙曲線左、右支上各存在一點、關(guān)于直線對稱，且弦的中點為，則有點差法得，兩式相減得，即，聯(lián)合得，.又點在雙曲線外，那么，則實數(shù)的取值范圍是.到此似乎命題得到圓滿解決，但事實上，題解過程是以“雙曲線左、右支假設(shè)各存在一點、關(guān)于直線對稱”出發(fā)點演繹的，但最終結(jié)果是否滿足是要經(jīng)過檢驗的.也就是說，這種帶有探索性的問題的解題過程是存在著假設(shè)性的缺陷，在過程上需要通過檢驗來得到校正的，乃至