1、選修2-2 知識點及習題答案解析導數及其應用一.導數概念的引入1. 導數的物理意義：瞬時速率。一般的，函數在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數，記作或，即=2. 導數的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即3. 導函數：當x變化時，便是x的一個函數，我們稱它為的導函數. 的導函數有時也記作,即二.導數的計算基本初等函數的導數公式:1若(c為常數)，則； 2 若,則;3 若,則 4 若,則;5 若,則 6 若,則7 若,則 8 若,則導數的運算法則1. 2. 3. 復合函數求導

2、 和,稱則可以表示成為的函數,即為一個復合函數三.導數在研究函數中的應用1.函數的單調性與導數: 一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減.2.函數的極值與導數極值反映的是函數在某一點附近的大小情況. 求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值;4.函數的最大(小)值與導數 求函數在上的最大值與最小值的步驟： （1）求函數在內的極值；（2） 將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.推理與證明考點一

3、 合情推理與類比推理根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過程,它屬于合情推理根據兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質的推理,叫做類比推理.類比推理的一般步驟:(1) 找出兩類事物的相似性或一致性;(2) 用一類事物的性質去推測另一類事物的性質,得出一個明確的命題(猜想);(3) 一般的,事物之間的各個性質并不是孤立存在的,而是相互制約的.如果兩個事物在某些性質上相同或相似,那么他們在另一寫性質上也可能相同或類似,類比的結論可能是真的.(4) 一般情況下,如果類比的相似

4、性越多,相似的性質與推測的性質之間越相關,那么類比得出的命題越可靠.考點二 演繹推理(俗稱三段論)由一般性的命題推出特殊命題的過程,這種推理稱為演繹推理.考點三 數學歸納法1. 它是一個遞推的數學論證方法.2. 步驟:A.命題在n=1（或）時成立，這是遞推的基礎；B.假設在n=k時命題成立； C.證明n=k+1時命題也成立,完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(或n>=,且)結論都成立。考點三 證明1. 反證法: 2、分析法: 3、綜合法:數系的擴充和復數的概念復數的概念(1) 復數:形如的數叫做復數，和分別叫它的實部和虛部.(2) 分類:復數中,當,就是實數; ,叫做虛數;當時,叫做純虛

5、數.(3) 復數相等:如果兩個復數實部相等且虛部相等就說這兩個復數相等.(4) 共軛復數:當兩個復數實部相等,虛部互為相反數時,這兩個復數互為共軛復數.(5) 復平面:建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面,x軸叫做實軸，y軸除去原點的部分叫做虛軸。(6) 兩個實數可以比較大小，但兩個復數如果不全是實數就不能比較大小。復數的運算1.復數的加，減，乘，除按以下法則進行設則（1） （2） （3） 2,幾個重要的結論(1) (2) (3)若為虛數,則3.運算律(1) ;(2) ;(3)4.關于虛數單位i的一些固定結論：（1） （2） （3） （2）練習一組一、選擇題1在平均變化率的定義中，自變量x

6、在x0處的增量x()A大于零B小于零C等于零 D不等于零答案D解析x可正，可負，但不為0，故應選D.2設函數yf(x)，當自變量x由x0變化到x0x時，函數的改變量y為()Af(x0x) Bf(x0)xCf(x0)·x Df(x0x)f(x0)答案D解析由定義，函數值的改變量yf(x0x)f(x0)，故應選D.3已知函數f(x)x2x，則f(x)從1到0.9的平均變化率為()A3 B0.29C2.09 D2.9答案D解析f(1)(1)2(1)2.f(0.9)(0.9)2(0.9)1.71.平均變化率為2.9，故應選D.4已知函數f(x)x24上兩點A，B，xA1，xB1.3，則直線A

7、B的斜率為()A2 B2.3C2.09 D2.1答案B解析f(1)5，f(1.3)5.69.kAB2.3，故應選B.5已知函數f(x)x22x，函數f(x)從2到2x的平均變化率為()A2x B2xC2x D(x)22·x答案B解析f(2)222×20，f(2x)(2x)22(2x)2x(x)2，2x，故應選B.6已知函數yx21的圖象上一點(1,2)及鄰近一點(1x,2y)，則等于()A2 B2xC2x D2(x)2答案C解析2x.故應選C.7質點運動規律S(t)t23，則從3到3.3內，質點運動的平均速度為()A6.3 B36.3C3.3 D9.3答案A解析S(3)12

8、，S(3.3)13.89，平均速度6.3，故應選A.8在x1附近，取x0.3，在四個函數yx、yx2、yx3、y中，平均變化率最大的是()ABCD答案B解析x0.3時，yx在x1附近的平均變化率k11；yx2在x1附近的平均變化率k22x2.3；yx3在x1附近的平均變化率k333x(x)23.99；y在x1附近的平均變化率k4.k3k2k1k4，故應選B.9物體做直線運動所經過的路程s可以表示為時間t的函數ss(t)，則物體在時間間隔t0，t0t內的平均速度是()Av0 B.C. D.答案C解析由平均變化率的概念知C正確，故應選C.10已知曲線yx2和這條曲線上的一點P，Q是曲線上點P附近的

9、一點，則點Q的坐標為()A. B.C. D.答案C解析點Q的橫坐標應為1x，所以其縱坐標為f(1x)(x1)2，故應選C.二、填空題11已知函數yx32，當x2時，_.答案(x)26x12解析(x)26x12.12在x2附近，x時，函數y的平均變化率為_答案解析.13函數y在x1附近，當x時的平均變化率為_答案2解析2.14已知曲線yx21上兩點A(2,3)，B(2x,3y)，當x1時，割線AB的斜率是_；當x0.1時，割線AB的斜率是_答案54.1解析當x1時，割線AB的斜率k15.當x0.1時，割線AB的斜率k24.1.三、解答題15已知函數f(x)2x1，g(x)2x，分別計算在區間3，

10、1，0,5上函數f(x)及g(x)的平均變化率解析函數f(x)在3，1上的平均變化率為2.函數f(x)在0,5上的平均變化率為2.函數g(x)在3，1上的平均變化率為2.函數g(x)在0,5上的平均變化率為2.16過曲線f(x)的圖象上兩點A(1,2)，B(1x,2y)作曲線的割線AB，求出當x時割線的斜率解析割線AB的斜率k.17求函數yx2在x1、2、3附近的平均變化率，判斷哪一點附近平均變化率最大？解析在x2附近的平均變化率為k12x；在x2附近的平均變化率為k24x；在x3附近的平均變化率為k36x.對任意x有，k1k2k3，在x3附近的平均變化率最大18路燈距地面8m，一個身高為1.

11、6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點C處沿直線離開路燈(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關系式；(2)求人離開路燈的第一個10s內身影的平均變化率解析(1)如圖所示，設人從C點運動到B處的路程為xm，AB為身影長度，AB的長度為ym，由于CDBE，則，即，所以yf(x)x.(2)84m/min1.4m/s，在0,10內自變量的增量為x2x11.4×101.4×014，f(x2)f(x1)×14×0.所以.即人離開路燈的第一個10s內身影的平均變化率為.練習二組一、選擇題1函數在某一點的導數是()A在該點的函數值的增量與自

12、變量的增量的比B一個函數C一個常數，不是變數D函數在這一點到它附近一點之間的平均變化率答案C解析由定義，f(x0)是當x無限趨近于0時，無限趨近的常數，故應選C.2如果質點A按照規律s3t2運動，則在t03時的瞬時速度為()A6B18C54D81答案B解析s(t)3t2，t03，ss(t0t)s(t0)3(3t)23·3218t3(t)2183t.當t0時，18，故應選B.3yx2在x1處的導數為()A2xB2C2x D1答案B解析f(x)x2，x1，yf(1x)2f(1)(1x)212·x(x)22x當x0時，2f(1)2，故應選B.4一質點做直線運動，若它所經過的路程與

13、時間的關系為s(t)4t23(s(t)的單位：m，t的單位：s)，則t5時的瞬時速度為()A37B38C39D40答案D解析404t，s(5)li li (404t)40.故應選D.5已知函數yf(x)，那么下列說法錯誤的是()Ayf(x0x)f(x0)叫做函數值的增量B.叫做函數在x0到x0x之間的平均變化率Cf(x)在x0處的導數記為yDf(x)在x0處的導數記為f(x0)答案C解析由導數的定義可知C錯誤故應選C.6函數f(x)在xx0處的導數可表示為y|xx0，即()Af(x0)f(x0x)f(x0)Bf(x0)lif(x0x)f(x0)Cf(x0)Df(x0)li 答案D解析由導數的定

14、義知D正確故應選D.7函數yax2bxc(a0，a，b，c為常數)在x2時的瞬時變化率等于()A4a B2abCb D4ab答案D解析4abax，y|x2li li (4aba·x)4ab.故應選D.8如果一個函數的瞬時變化率處處為0，則這個函數的圖象是()A圓 B拋物線C橢圓 D直線答案D解析當f(x)b時，f(x)0，所以f(x)的圖象為一條直線，故應選D.9一物體作直線運動，其位移s與時間t的關系是s3tt2，則物體的初速度為()A0 B3C2 D32t答案B解析3t，s(0)li 3.故應選B.10設f(x)，則li 等于()A B.C D.答案C解析li li li li

15、.二、填空題11已知函數yf(x)在xx0處的導數為11，則li_；li _.答案11，解析li li f(x0)11；li li f(x0).12函數yx在x1處的導數是_答案0解析yx1，.y|x1li 0.13已知函數f(x)ax4，若f(2)2，則a等于_答案2解析a，f(1)li a.a2.14已知f(x0)li ，f(3)2，f(3)2，則li 的值是_答案8解析li li li .由于f(3)2，上式可化為li 3li 23×(2)8.三、解答題15設f(x)x2，求f(x0)，f(1)，f(2)解析由導數定義有f(x0)li li li 2x0，16槍彈在槍筒中運動可

16、以看做勻加速運動，如果它的加速度是5.0×105m/s2，槍彈從槍口射出時所用時間為1.6×103s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度解析位移公式為sat2sa(t0t)2atat0ta(t)2at0at，li li at0，已知a5.0×105m/s2，t01.6×103s，at0800m/s.所以槍彈射出槍口時的瞬時速度為800m/s.17 在曲線yf(x)x23的圖象上取一點P(1,4)及附近一點(1x,4y)，求(1)(2)f(1)解析(1)2x.(2)f(1) (2x)2.18函數f(x)|x|(1x)在點x00處是否有導數？若有，求出來，若沒有，說

17、明理由解析f(x)yf(0x)f(0)f(x) (1x)1， (1x)1， ，x0時，無極限函數f(x)|x|(1x)在點x00處沒有導數，即不可導(x0表示x從大于0的一邊無限趨近于0，即x0且x趨近于0)練習三組1如果曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程為x2y30，那么()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案B解析切線x2y30的斜率k，即f(x0)0.故應選B.2曲線yx22在點處切線的傾斜角為()A1 B.C. D答案B解析yli li (xx)x切線的斜率ky|x11.切線的傾斜角為，故應選B.3在曲線yx2上切線的傾斜角為的點是()A(0

18、,0) B(2,4)C. D.答案D解析易求y2x，設在點P(x0，x)處切線的傾斜角為，則2x01，x0，P.4曲線yx33x21在點(1，1)處的切線方程為()Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5答案B解析y3x26x，y|x13.由點斜式有y13(x1)即y3x2.5設f(x)為可導函數，且滿足 1，則過曲線yf(x)上點(1，f(1)處的切線斜率為()A2B1 C1D2答案B解析 1，即y|x11，則yf(x)在點(1，f(1)處的切線斜率為1，故選B.6設f(x0)0，則曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線()A不存在 B與x軸平行或重合C與x軸垂直 D與x軸斜交答案

19、B解析由導數的幾何意義知B正確，故應選B.7已知曲線yf(x)在x5處的切線方程是yx8，則f(5)及f(5)分別為()A3,3 B3，1C1,3 D1，1答案B解析由題意易得：f(5)583，f(5)1，故應選B.8曲線f(x)x3x2在P點處的切線平行于直線y4x1，則P點的坐標為()A(1,0)或(1，4) B(0,1)C(1,0) D(1,4)答案A解析f(x)x3x2，設xPx0，y3x·x3x0·(x)2(x)3x，3x13x0(x)(x)2，f(x0)3x1，又k4，3x14，x1.x0±1，故P(1,0)或(1，4)，故應選A.9設點P是曲線yx3

20、x上的任意一點，P點處的切線傾斜角為，則的取值范圍為()A. B.C. D.答案A解析設P(x0，y0)，f(x)li 3x2，切線的斜率k3x，tan3x.故應選A.10設P為曲線C：yx22x3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為0，則點P橫坐標的取值范圍為()A1， B1,0C0,1 D，1答案A解析考查導數的幾何意義y2x2，且切線傾斜角0，切線的斜率k滿足0k1，即02x21，1x.11已知函數f(x)x23，則f(x)在(2，f(2)處的切線方程為_答案4xy10解析f(x)x23，x02f(2)7，yf(2x)f(2)4·x(x)24x.li 4.即f(2)4

21、.又切線過(2,7)點，所以f(x)在(2，f(2)處的切線方程為y74(x2)即4xy10.12若函數f(x)x，則它與x軸交點處的切線的方程為_答案y2(x1)或y2(x1)解析由f(x)x0得x±1，即與x軸交點坐標為(1,0)或(1,0)f(x)li li 1.切線的斜率k12.切線的方程為y2(x1)或y2(x1)13曲線C在點P(x0，y0)處有切線l，則直線l與曲線C的公共點有_個答案至少一解析由切線的定義，直線l與曲線在P(x0，y0)處相切，但也可能與曲線其他部分有公共點，故雖然相切，但直線與曲線公共點至少一個14曲線yx33x26x10的切線中，斜率最小的切線方程

22、為_答案3xy110解析設切點P(x0，y0)，則過P(x0，y0)的切線斜率為，它是x0的函數，求出其最小值設切點為P(x0，y0)，過點P的切線斜率k3x6x063(x01)23.當x01時k有最小值3，此時P的坐標為(1，14)，其切線方程為3xy110.三、解答題15求曲線y上一點P處的切線方程解析y .y|x4，曲線在點P處的切線方程為：y(x4)即5x16y80.16已知函數f(x)x33x及yf(x)上一點P(1，2)，過點P作直線l.(1)求使直線l和yf(x)相切且以P為切點的直線方程；(2)求使直線l和yf(x)相切且切點異于點P的直線方程yg(x)解析(1)yli 3x2

23、3.則過點P且以P(1，2)為切點的直線的斜率k1f(1)0，所求直線方程為y2.(2)設切點坐標為(x0，x3x0)，則直線l的斜率k2f(x0)3x3，直線l的方程為y(x3x0)(3x3)(xx0)又直線l過點P(1，2)，2(x3x0)(3x3)(1x0)，x3x02(3x3)(x01)，解得x01(舍去)或x0.故所求直線斜率k3x3，于是：y(2)(x1)，即yx.17求證：函數yx圖象上的各點處的切線斜率小于1.解析yli li li li 11，yx圖象上的各點處的切線斜率小于1.18已知直線l1為曲線yx2x2在點(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1l2.(1

24、)求直線l2的方程；(2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積解析(1)y|x1li 3，所以l1的方程為：y3(x1)，即y3x3.設l2過曲線yx2x2上的點B(b，b2b2)，y|xbli 2b1，所以l2的方程為：y(b2b2)(2b1)·(xb)，即y(2b1)xb22.因為l1l2，所以3×(2b1)1，所以b，所以l2的方程為：yx.(2)由得即l1與l2的交點坐標為.又l1，l2與x軸交點坐標分別為(1,0)，.所以所求三角形面積S××.練習三組1下列結論不正確的是()A若y0，則y0B若y5x，則y5C若yx1，則yx2 答案D

25、2.曲線yx32在點處切線的傾斜角為()A30°B45°C135° D60°答案B解析y|x11，傾斜角為45°.3.函數y(x1)2(x1)在x1處的導數等于()A1 B2 C3 D4答案D解析y(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)·(x1)(x1)23x22x1，y|x14.4.設f(x)ax3bx2cxd(a>0)，則f(x)為R上增函數的充要條件是()Ab24ac>0Bb>0，c>0Cb0，c>0 Db23ac<0答案D解析a>0，f(x)為增函數，f(x)3ax22bxc&

26、gt;0恒成立，(2b)24×3a×c4b212ac<0，b23ac<0.5已知函數f(x)在點x0處連續，下列命題中，正確的是()A導數為零的點一定是極值點B如果在點x0附近的左側f(x)>0，右側f(x)<0，那么f(x0)是極小值C如果在點x0附近的左側f(x)>0，右側f(x)<0，那么f(x0)是極大值D如果在點x0附近的左側f(x)<0，右側f(x)>0，那么f(x0)是極大值答案C解析導數為0的點不一定是極值點，例如f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，但x0不是f(x)的極值點，故A錯；由極值的定義可知C正

27、確，故應選C.6.函數yf(x)在區間a，b上的最大值是M，最小值是m，若Mm，則f(x)()A等于0B大于0C小于0 D以上都有可能答案A解析Mm，yf(x)是常數函數f(x)0，故應選A.7.內接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()ARB2R C.RD.R答案C解析設圓錐高為h，底面半徑為r，則R2(Rh)2r2，r22Rhh2Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3VRhh2.令V0得hR.當0<h<R時，V>0；當<h<2R時，V<0.因此當hR時，圓錐體積最大故應選C.8.和式(yi1)可表示為()A(y11)(y51)By1y2y3y4y51Cy1

28、y2y3y4y55D(y11)(y21)(y51)答案C解析(yi1)(y11)(y21)(y31)(y41)(y51)y1y2y3y4y55，故選C.9設f(x)是a，b上的連續函數，則f(x)dxf(t)dt的值()A小于零 B等于零C大于零 D不能確定答案B解析f(x)dx和f(t)dt都表示曲線yf(x)與xa，xb及y0圍成的曲邊梯形面積，不因曲線中變量字母不同而改變曲線的形狀和位置所以其值為0.10.設f(x)，則f(x)dx等于()A. B.C. D不存在答案C解析f(x)dxx2dx(2x)dx取F1(x)x3，F2(x)2xx2，則F1(x)x2，F2(x)2xf(x)dxF

29、1(1)F1(0)F2(2)F2(1)02×2×22.故應選C.11.如圖所示，陰影部分的面積為()A.f(x)dxB.g(x)dxC.f(x)g(x)dx D.g(x)f(x)dx答案C解析由題圖易知，當xa，b時，f(x)>g(x)，所以陰影部分的面積為f(x)g(x)dx.12已知f(x)x3的切線的斜率等于1，則其切線方程有()A1個B2個C多于兩個 D不能確定答案B解析f(x)x3，f(x)3x2，令3x21，得x±，即切點坐標為或.由點斜式可得切線方程為yx或yx，即yx或yx.故應選B.13.若曲線yx2axb在點(0，b)處的切線方程是xy1

30、0，則()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析y2xa，y|x0(2xa)|x0a1，將(0，b)代入切線方程得b1.14.關于歸納推理，下列說法正確的是()A歸納推理是一般到一般的推理B歸納推理是一般到個別的推理C歸納推理的結論一定是正確的D歸納推理的結論是或然性的答案D解析歸納推理是由特殊到一般的推理，其結論的正確性不一定故應選D.15.下列說法正確的是()A由合情推理得出的結論一定是正確的B合情推理必須有前提有結論C合情推理不能猜想D合情推理得出的結論無法判定正誤答案B解析由合情推理得出的結論不一定正確，A不正確；B正確；合情推理的結論本身就是一個猜想，C不正確；合情推理結論可以通過證明來判定正誤，D也不正確，故應選B.16.“四邊形ABCD是矩形，四邊形ABCD的對角線相等”，補充以上推理的大前提是()A正方形都是對角線相等的四邊形B矩形都是對角線相等的四邊形C等腰梯形都是對角線相等的四邊形D矩形都是對邊平行且相等的四邊形答案B解析由大前提、小前提、結論三者的關系，知大前提是：矩形是對角線相等的四邊形故應選B.17.證明命題“f(x)ex在(0，)上是增函數”，一個同學給出的證法如下：f(x)ex，f(x)ex.x>0，ex>1,0<<1ex&g