1、第10節導數的概念及運算 【選題明細表】知識點、方法題號導數的概念與運算1,3,7導數的幾何意義2,4,5,6,9,10,12簡單綜合問題8,11,13,14基礎鞏固(時間:30分鐘)1.下列求導數的運算中錯誤的是(C)(A)(3x)=3xln 3(B)(x2ln x)=2xln x+x(C)()=(D)(sin x·cos x)=cos 2x解析:因為()=,C項錯誤.2.函數y=x3的圖象在原點處的切線方程為(C)(A)y=x(B)x=0 (C)y=0(D)不存在解析:函數y=x3的導數為y=3x2,則在原點處的切線斜率為0,所以在原點處的切線方程為y-0=0(x-0),即y=0

2、.3.已知函數f(x)在R上可導,其部分圖象如圖所示,設=a,則下列不等式正確的是(B)(A)a<f(2)<f(4) (B)f(2)<a<f(4)(C)f(4)<f(2)<a (D)f(2)<f(4)<a解析:由題中圖象可知,在2,4上函數的增長速度越來越快,故曲線上點的斜率隨x的增大越來越大,所以(2,f(2),(4,f(4)兩點連線的斜率=a,在點(2,f(2)處的切線斜率f(2)與點(4,f(4)處的切線斜率f(4)之間,所以f(2)<a<f(4),故選B.4.已知直線ax-by-2=0與曲線y=x3在點P(1,1)處的切線互相

3、垂直,則的值為(D)(A)(B)(C)-(D)-解析:由題意,y=3x2,當x=1時,y|x=1=3,所以×3=-1,即=-.5.已知曲線f(x)=2x2+1在點M(x0,f(x0)處的瞬時變化率為-8,則點M的坐標為. 解析:因為f(x)=2x2+1,所以f(x)=4x,令4x0=-8,則x0=-2,所以f(x0)=9,所以點M的坐標是(-2,9).答案:(-2,9)6.已知aR,設函數f(x)=ax-ln x的圖象在點(1,f(1)處的切線為l,則l在y軸上的截距為. 解析:因為f(x)=a-,所以f(1)=a-1.又因為f(1)=a,所以切線l的斜率為a-1

4、,且過點(1,a),所以切線l的方程為y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y軸上的截距為1.答案:17.如圖,y=f(x)是可導函數,直線l:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,令g(x)=xf(x),其中g(x)是g(x)的導函數,則g(3)=. 解析:由圖形可知,f(3)=1,f(3)=-,因為g(x)=f(x)+xf(x),所以g(3)=f(3)+3f(3)=1-1=0.答案:08.函數g(x)=ln x圖象上一點P到直線y=x的最短距離為. 解析:設與直線y=x平行且與曲線g(x)=ln x相切的直線的切點坐標為(x0,ln x0),

5、因為g(x)=(ln x)=,則1=,所以x0=1,則切點坐標為(1,0),所以最短距離為(1,0)到直線y=x的距離,即為=.答案:能力提升(時間:15分鐘)9.已知直線y=kx-2與曲線y=xln x相切,則實數k的值為(D)(A)ln 2(B)1(C)1-ln 2(D)1+ln 2解析:由y=xln x得y=ln x+1,設切點為(x0,y0),則k=ln x0+1,因為切點(x0,y0)既在曲線y=xln x上又在直線y=kx-2上,所以所以kx0-2=x0ln x0,所以k=ln x0+,所以ln x0+=ln x0+1,所以x0=2,所以k=ln 2+1.故選D10.設函數f(x)

6、=x3+ax2,若曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線方程為x+y=0,則點P的坐標為(D)(A)(0,0) (B)(1,-1)(C)(-1,1)(D)(1,-1)或(-1,1)解析:因為f(x)=x3+ax2,所以f(x)=3x2+2ax.因為曲線在點P(x0,f(x0)處的切線方程為x+y=0,所以3+2ax0=-1,因為x0+a=0,所以或當x0=1時,f(x0)=-1,當x0=-1時,f(x0)=1.所以點P的坐標為(1,-1)或(-1,1).11.若函數y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質,下列函數中具有T性質的

7、是(A)(A)y=sin x(B)y=ln x(C)y=ex (D)y=x3解析:若y=f(x)的圖象上存在兩點(x1,f(x1),(x2,f(x2),使得函數圖象在這兩點處的切線互相垂直,則f(x1)·f(x2)=-1.對于A:y=cos x,若有cos x1·cos x2=-1,則當x1=2k,x2=2k+(kZ)時,結論成立;對于B:y=,若有·=-1,則x1x2=-1,因為x1>0,x2>0,所以不存在x1,x2,使得x1x2=-1;對于C:y=ex,若有·=-1,即=-1.顯然不存在這樣的x1,x2;對于D:y=3x2,若有3

8、83;3=-1,即9=-1,顯然不存在這樣的x1,x2.故選A.12.已知函數y=f(x)的圖象在點(2,f(2)處的切線方程為y=2x-1,則曲線g(x)=x2+f(x)在點(2,g(2)處的切線方程為. 解析:由題意,知f(2)=2×2-1=3,所以g(2)=4+3=7,因為g(x)=2x+f(x),f(2)=2,所以g(2)=2×2+2=6,所以曲線g(x)=x2+f(x)在點(2,g(2)處的切線方程為y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.答案:6x-y-5=013.若函數f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y軸的切線,則實數a的取值范圍是. 解析:因為f(x)=x2-ax+ln x,所以f(x)=x-a+(x>0).因為f(x)存在垂直于y軸的切線,所以f(x)存在零點,即x+-a=0有解,所以a=x+2(當且僅當x=1時取等號).答案:2,+)14.若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,則a等于. 解析:設過點(