1、精選優質文檔-傾情為你奉上數值分析實 驗 報 告 一 姓名: 周 舉 學號: PB 實驗一一、實驗名稱方程求根 二、實驗目的與要求：通過對二分法和牛頓法作編程練習和上機運算，進一步體會它們在方程求根中的不同特點；比較二者的計算速度和計算精度。三、實驗內容：通過對二分法和牛頓迭代法作編程練習和上機運算，進一步體會它們在方程求根中的不同特點 。（一）二分法 算法：給定區間a,b，并設f（a）與f（b）符號相反，取為根的容許誤差，為值的容許誤差。（1）令c=(a+b)/2（2）如果(c-a)< 或<，則輸出c，結束；否則執行（3）（3）如果f(a)f(c)<0，則令；否則，則令，重

2、復（1），（2），（3）。 （二）牛頓迭代法：給定初值，為根的容許誤差，為的容許誤差，N為迭代次數的容許值。（1）如果<或迭代次數大于N，則算法結束；否則執行（2）。（2）計算（3）若 < 或 < ，則輸出 ，程序結束；否則執行（4）。（4）令 = ，轉向（1）。四、實驗題目與程序設計1、二分法3.1.1、用二分法求方程a. f(x)= 在區間0，/2上的根,c. f(x)= 在區間1，3上的根。源程序：3.1.1.a#include<stdio.h>#include<math.h>void main()float a,b;double c,y,z;p

3、rintf("plese input two number a and b:n");scanf("%f%f",&a,&b);c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%fn",a,b,b-a,c,y);while(fabs(b-a)>0.00001| fabs(y)>0.00001) z=1/a-tan(a);if(z*y<0)b=c;else a=c; c=(a+b)/2; y=1/c-tan(c); printf("

4、;a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%fn",a,b,b-a,c,y);輸入0 1. (/21.)得到下表：由上表可以看出剛開始時f（c）取值幅度很大，但是經過一段歷程之后，幅度變得平緩甚至基本接近與零，我們認為，x=0.8603是方程的根，結果與實際想要得到的值相當接近。3.1.1 c#include<stdio.h>#include<math.h>void main()float a,b;double c,y,z;printf("plese input two number a and b:n");scanf(&qu

5、ot;%f%f",&a,&b);c=(a+b)/2;y=pow(2,-c)+exp(c)+2*cos(c)-6;printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%fn",a,b,b-a,c,y);while(fabs(b-a)>0.00001 | fabs(y)>0.00001) z=pow(2,-a)+exp(a)+2*cos(a)-6;if(z*y<0)b=c;else a=c; c=(a+b)/2;y=pow(2,-c)+exp(c)+2*cos(c)-6; printf("a=%f,b=%f

6、,b-a=%f,c=%f,f(c)=%fn",a,b,b-a,c,y);輸入1 3 ，得到如下表：我們認為，x=1.8294是方程的根。3.1.4、用二分法求方程在5.5，6.5上的根，將-36改為-36.001，并重復試驗。源程序如下：#include<math.h>#include<stdio.h>void main()float a,b,c,y,z,w;int n=0;printf("plese input two number a and b:n");scanf("%f%f",&a,&b);c=(

7、a+b)/2;y=pow(c,8)-36*pow(c,7)+546*pow(c,6)-4536*pow(c,5)+22449*pow(c,4)-67284*pow(c,3)+*c*c-*c+40320; printf(" a b b-a c f(a) f(c) f(b)n");printf("%f,%f,%f,%f,%f,%f,%fn",a,b,b-a,c,z,y,w);while(y>0.00001 | c-a>0.00001 ) z=pow(a,8)-36*pow(a,7)+546*pow(a,6)-4536*pow(a,5)+22449

8、*pow(a,4)-67284*pow(a,3)+*a*a-*a+40320; w=pow(b,8)-36*pow(b,7)+546*pow(b,6)-4536*pow(b,5)+22449*pow(b,4)-67284*pow(b,3)+*b*b-*b+40320;if(z*y<0)b=c;else a=c; c=(a+b)/2;y=pow(c,8)-36.001*pow(c,7)+546*pow(c,6)-4536*pow(c,5)+22449*pow(c,4)-67284*pow(c,3)+*c*c-*c+40320; printf("%f,%f,%f,%f,%f,%f,

9、%fn",a,b,b-a,c,z,y,w); n+;輸入5.5 6.5 得到下表：我們認為x=6.0000是方程的根。如果把第二項系數換成36.001，重復以上實驗，則得到下表：由于f（a）和f（b）總是同為負數，我們在（5.5,6.5）之間沒有找到需要的根，這就說明，當方程中某一個系數相差很小時，方程的根取值可能相差很大。2、牛頓迭代法3.2.5、用牛頓法求方程接近0.1的兩根。源程序如下：#include<stdio.h>#include<math.h>void main()int n=0,M; float x,y,s,t,u,v;printf("

10、;plese input x M t and s :n");scanf("%f%d%f%f",&x,&M,&t,&s);u=2*x*x*x*x+24*x*x*x+61*x*x-16*x+1;v=8*x*x*x+72*x*x+122*x-16;y=x-u/v;printf("N=%d,x=%f,y=%f,|y-x|=%f,f(x)=%fn",n,x,y,fabs(y-x),u);n+;while(n<=M && fabs(y-x)>t && fabs(u)>s )

11、x=y;u=2*x*x*x*x+24*x*x*x+61*x*x-16*x+1; v=8*x*x*x+72*x*x+122*x-16; y=x-u/v; printf("N=%d,x=%f,y=%f,|y-x|=%f,f(x)=%fn",n,x,y,fabs(y-x),u); n+;為了能夠找到x=0.1附近的兩個根，我們不妨取=0.0，=0.1和=0.2兩個值嘗試一下，分別得到如下的結果：（1）當=0.0時，我們認為x=0.1213是方程的根。（2）當=0.1時，我們認為x=0.1213是方程的根。（3）當=0.2時，我們認為x=0.1231是方程的根。故方程在x=0.1附

12、近的兩根為x=0.1213和x=0.1231。將這一過程表示在坐標圖中：由于方程的兩個根和x=0.1比較接近，可以看出，當初值取為0.1時，f(c)的函數最為平緩，這表示此時f（x）最先到達零點；其次，0.2比0.0更加接近于根x=0.1213和x=0.1231，所以初值為0.2的曲線比初值為0.0的曲線更加平緩。這就說明了，用牛頓法解方程式，應該盡量使初值接近零點，這樣能夠更節省時間，得到的根更準確。3.2.14、用牛頓法求解下面兩個非線性方程的根 a. , b. 3.2.14、a取，則 ，根據牛頓法的思想，其源程序如下：#include<stdio.h>#include<

13、math.h>void main()float x,y,u,v,s,t;int n=0,M;printf("plese input two number x、y ,and M:n");scanf("%f%f%d",&x,&y,&M); printf("%f,%f,%dn",x,y,M);s=4*y*y+4*y+52*x-19;t=169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10;printf("N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%fn",n,x,y,s,t);n+;

14、while(n<=M) u=-(6*y-10)*(4*y*y+4*y+52*x-19)-(8*y+4)*(169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10)/(52*(6*y-10)-(8*y+4)*(338*x+111); v=-(-(338*x+111)*(4*y*y+4*y+52*x-19)+52*(169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10)/(52*(6*y-10)-(8*y+4)*(338*x+111); x=x+u;y=y+v; s=4*y*y+4*y+52*x-19; t=169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10; printf("

15、;N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%fn",n,x,y,s,t); n+;輸入初值0 0 10，這里10是指計算次數，得到下表 從表中可以知道，方程的根是x=0.1342，y=1.3043，同時，從上表可以發現，在N>4之后，f1(X)和f2(X)基本上等于零，這個接近程度相當低，而且，方程很快能夠得到需要的根，這說明牛頓法的效率是相當高的。（b）和（a）的做法思想是一樣的，其源程序如下：#include<stdio.h>#include<math.h>void main()float x,y,u,v,s,t,r;int n=0,M;pr

16、intf("plese input two number x、y ,and M:n");scanf("%f%f%d",&x,&y,&M); printf("%f,%f,%dn",x,y,M);s=x+exp(-x)+y*y*y;t=x*x+2*x*y-y*y+tan(x);printf("N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%fn",n,x,y,s,t);n+;while(n<=M) r=(1-exp(-x)*(2*x-2*y)-3*y*y*(2*x+2*y+1/(1+x*

17、x); u=-(2*x-2*y)*s-3*y*y*t)/r; v=-(-2*x-2*y-1/(1+x*x)*s-(1-exp(-x)*t)/r; x=x+u;y=y+v; s=x+exp(-x)+y*y*y;t=x*x+2*x*y-y*y+tan(x); printf("N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%fn",n,x,y,s,t); n+;當輸入0 0 20時，我驚奇地發現不能得到想要的結果，而是出現了很多不知何物的字母，于是我猜測在運算過程當中可能出現了分母零，于是我加入了一個r表示上面程序中u和v共同的分母，即r=(1-exp(-x)*(2*x-2*y)-3*y*y*(2*x+2*y+1/(1+x*x)，驗算初值為0和0時的情況，結果果然出現了r=0，于是我將初始值改為1和1，運算20次，得到下表：從中可以看出，方程的根為x= - 0.7112 ，y= - 1.0984 ，另外，從中可以看出，此次需要進行更多運算，才能是方程值趨于零，與前一個方程組（a）相比，它的求解過程步驟要多一些。五、小結： 二分法和牛頓法都是解方程的兩個比較好的方法，二分