1、學 生 實 驗 報 告實驗課程名稱 偏微分方程數值解 開課實驗室 數統學院 學 院 數 統 年級 2013 專業班 信計02班 學 生 姓 名 學 號 開 課 時 間 2015 至 2016學年第 2 學期總 成 績教師簽名數學與統計學院制開課學院、實驗室： 數統學院 實驗時間 ： 2016年 6月20日實驗項目名 稱二維波動方程的有限差分法實驗項目類型驗證演示綜合設計其他指導教師曾芳成 績是一實驗目的通過該實驗，要求學生掌握求解二維波動方程的有限差分法，并能通過計算機語言編程實現。二實驗內容考慮如下的初值問題： (1)1在第三部分寫出問題（1）三層顯格式。2根據你寫出的差分格式，編寫有限差分

2、法程序。將所寫程序放到第四部分。3取，分別將時刻的數值解畫圖顯示。4. 該問題的解析解為，將四個時刻的數值解的誤差畫圖顯示，對數值結果進行簡單的討論。三實驗原理、方法（算法）、步驟網格劃分，故，。在內網點，利用二階中心差商，對（1）建立差分格式： （2）整理得到： （3）其中，網比，局部截斷誤差為。考慮邊界條件，差分格式為： （4）考慮初始條件，差分格式為： （5）考慮初始條件，利用二階差商近似： （6）設時刻的點為內點，則滿足差分格式（2），代入上式得到： （7）將（6）得到的結果代入（7）中，整理得到： （8）綜上（2）、（4）、（5）、（8）得到三層顯格式的差分格式為： （9）其中，局部

3、截斷誤差為。四實驗環境（所用軟件、硬件等）及實驗數據文件Matlab%二維波動方程數值計算（關鍵：怎么運用i,j,k三個指標建立循環）clc;%可以將代碼換成函數m文件h=0.1;tau=0.1*h;%定義步長r=tau/h;%網比x,y,t=meshgrid(0:h:1,0:h:1,0:tau:1.4);%空間網格剖分uu=cos(sqrt(2)*pi*t).*sin(pi*x).*sin(pi*y);%精確解計算%第一層網點計算u=sin(pi*x).*sin(pi*y);%初始條件u1=u(:,:,1);%因為此時得到的u為11x11x141，故只取第一層%第二層網點計算for i=2:

4、10 for j=2:10 u(i,j,2)=0.5*r2*(u(i+1,j,1)+u(i-1,j,1)+u(i,j+1,1)+u(i,j-1,1)+(1-2*r2)*u(i,j,1); u(11,:,2)=0;u(:,11,2)=0; endendu2=u(:,:,2);%第3-141層網點計算for k=2:140 for i=2:10 for j=2:10 u(i,j,k+1)=r2*(u(i+1,j,k)+u(i-1,j,k)+u(i,j+1,k)+u(i,j-1,k)+(2-4*r2)*u(i,j,k)-u(i,j,k-1); u(11,:,k+1)=0;u(:,11,k+1)=0;

5、 end endend%結果分析與作圖%wucha=abs(u-uu);%求絕對誤差矩陣11x11x141wucha1=wucha(:,:,11);%計算t=0.1時刻的絕對誤差矩陣11x11wucha2=wucha(:,:,51);%計算t=0.5時刻的絕對誤差矩陣11x11wucha3=wucha(:,:,101);%計算t=1.0時刻的絕對誤差矩陣11x11wucha4=wucha(:,:,141);%計算t=1.4時刻的絕對誤差矩陣11x11x0=0:h:1;y0=0:h:1;%誤差分析%作t=0.1時刻的絕對誤差圖subplot(2,2,1);mesh(x0,y0,wucha1);t

6、itle('t=0.1時刻的絕對誤差');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('絕對誤差值');%作t=0.5時刻的絕對誤差圖subplot(2,2,2);mesh(x0,y0,wucha2);title('t=0.5時刻的絕對誤差');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('絕對誤差值');%作t=1.0時刻的絕對誤差圖subplot(2,2,3);mesh(x0,y0,wucha3);title(&

7、#39;t=1.0時刻的絕對誤差');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('絕對誤差值');%作t=1.4時刻的絕對誤差圖subplot(2,2,4);mesh(x0,y0,wucha4);title('t=1.4時刻的絕對誤差');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('絕對誤差值');%四個時刻數值解、精確解%作t=0.1、0.5時刻的數值解與精確解subplot(2,2,1);mesh(x0,y0,u(:

8、,:,11);%作t=0.1時刻的數值解title('t=0.1時刻的數值解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');subplot(2,2,2);mesh(x0,y0,uu(:,:,11);%作t=0.1時刻的精確解title('t=0.1時刻的精確解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');%作t=0.5時刻的數值解與精確解subplot(2,2,3);mesh(x0,y0

9、,u(:,:,51);%作t=0.5時刻的數值解title('t=0.5時刻的數值解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');subplot(2,2,4);mesh(x0,y0,uu(:,:,51);%作t=0.5時刻的精確解title('t=0.5時刻的精確解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');%分別復制粘貼運行%作t=1.0、1.4時刻的數值解與精確解subplot(

10、2,2,1);mesh(x0,y0,u(:,:,101);%作t=1.0時刻的數值解title('t=1.0時刻的數值解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');subplot(2,2,2);mesh(x0,y0,uu(:,:,101);%作t=1.0時刻的精確解title('t=1.0時刻的精確解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');%作t=1.4時刻的數值解與精確解su

11、bplot(2,2,3);mesh(x0,y0,u(:,:,141);%作t=1.4時刻的數值解title('t=1.4時刻的數值解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');subplot(2,2,4);mesh(x0,y0,uu(:,:,141);%作t=1.4時刻的精確解title('t=1.4時刻的精確解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');五實驗結果及實例分析1、時

12、刻的數值解與精確解圖 圖1 t=0.1、0.5時刻的數值解、精確解 圖2 t=1.0、1.4時刻的數值解、精確解注：上兩圖為四個時刻的數值解與精確解，三層顯格式達二階收斂，不難看出，收斂效果很好，符合理論。下圖是四個時刻的絕對誤差圖像，從圖中看出，絕對誤差較小，且經過計算得到，收斂階近似于2，正好符合理論值。2、時刻的絕對誤差圖圖3 四個時刻的絕對誤差3、四個時刻（t=0.1、0.5、1.0、1.4）的絕對誤差表t=0.1時刻的絕對誤差0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0

13、000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0004 0.0002 0.0000 0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0007 0.0007 0.0007 0.0006 0.0004 0.0002 0.

14、0000 0.0000 0.0002 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0007 0.0006 0.0005 0.0002 0.0000 0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0007 0.0007 0.0007 0.0006 0.0004 0.0002 0.0000 0.0000 0.0002 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0004 0.0002 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0

15、.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 t=0.5時刻的絕對誤差0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 0.0013 0.0018 0.0021 0.0022 0.

16、0021 0.0018 0.0013 0.0007 0.0000 0.0000 0.0013 0.0025 0.0034 0.0040 0.0042 0.0040 0.0034 0.0025 0.0013 0.0000 0.0000 0.0018 0.0034 0.0047 0.0055 0.0058 0.0055 0.0047 0.0034 0.0018 0.0000 0.0000 0.0021 0.0040 0.0055 0.0065 0.0068 0.0065 0.0055 0.0040 0.0021 0.0000 0.0000 0.0022 0.0042 0.0058 0.0068 0

17、.0071 0.0068 0.0058 0.0042 0.0022 0.0000 0.0000 0.0021 0.0040 0.0055 0.0065 0.0068 0.0065 0.0055 0.0040 0.0021 0.0000 0.0000 0.0018 0.0034 0.0047 0.0055 0.0058 0.0055 0.0047 0.0034 0.0018 0.0000 0.0000 0.0013 0.0025 0.0034 0.0040 0.0042 0.0040 0.0034 0.0025 0.0013 0.0000 0.0000 0.0007 0.0013 0.0018

18、0.0021 0.0022 0.0021 0.0018 0.0013 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 t=1.0時刻的絕對誤差0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0016 0.0031 0.0043 0.0051 0.0053 0.0051 0.0043 0.0031 0.0016 0.0000 0.0000 0

19、.0031 0.0059 0.0082 0.0096 0.0101 0.0096 0.0082 0.0059 0.0031 0.0000 0.0000 0.0043 0.0082 0.0113 0.0132 0.0139 0.0132 0.0113 0.0082 0.0043 0.0000 0.0000 0.0051 0.0096 0.0132 0.0156 0.0164 0.0156 0.0132 0.0096 0.0051 0.0000 0.0000 0.0053 0.0101 0.0139 0.0164 0.0172 0.0164 0.0139 0.0101 0.0053 0.0000

20、0.0000 0.0051 0.0096 0.0132 0.0156 0.0164 0.0156 0.0132 0.0096 0.0051 0.0000 0.0000 0.0043 0.0082 0.0113 0.0132 0.0139 0.0132 0.0113 0.0082 0.0043 0.0000 0.0000 0.0031 0.0059 0.0082 0.0096 0.0101 0.0096 0.0082 0.0059 0.0031 0.0000 0.0000 0.0016 0.0031 0.0043 0.0051 0.0053 0.0051 0.0043 0.0031 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 t=1.4時刻的絕對誤差0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0003 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0003 0.0002 0.0000 0.0000 0