拋物線焦點弦經典性質及其證明過程_第1頁
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文檔簡介

1、精選優質文檔-傾情為你奉上有關拋物線焦點弦問題的探討 過拋物線(p>0)的焦點F作一條直線L和此拋物線相交于A、B兩點 結論1：結論2：若直線L的傾斜角為，則弦長證: (1)若 時,直線L的斜率不存在，此時AB為拋物線的通徑,(2)若時,設直線L的方程為：即 代入拋物線方程得由韋達定理由弦長公式得結論3： 過焦點的弦中通徑長最小 的最小值為,即過焦點的弦長中通徑長最短.結論4： 結論5： (1) (2) x1x2= 證 結論6：以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切 證：設M為AB的中點，過A點作準線的垂線AA1， 過B點作準線的垂線BB1， 過M點作準線的垂線MM1，由梯形的中位線性質和拋

2、物線的定義知 故結論得證 結論7：連接A1F、B1 F 則 A1FB1F 同理 A1FB1 F結論8：（1）AM1BM1 （2）M1FAB （3）（4）設AM1 與A1F相交于H ，M1B與 FB1相交于Q 則M1，Q，F ，H四點共圓（5）證：由結論（6）知M1 在以AB為直徑的圓上 AM1BM1 為直角三角形， M1 是斜邊A1 B1 的中點 M1FAB AM1BM1 所以M1，Q，F,H四點共圓， 結論9： （1）O、B1 三點共線 （2）B，O，A1 三點共線 （3）設直線AO與拋物線的準線的交點為B1，則BB1平行于X軸（4）設直線BO與拋物線的準線的交點為A1，則AA1平行于X軸證

3、：因為，而所以所以三點共線。同理可征（2）（3）（4）結論10： 證：過A點作AR垂直X軸于點R，過B點作BS垂直X軸于點S，設準線與軸交點為E,則 同理可得 結論11： 證: (4) x1x2= 假設 結論12：過拋物線的焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD，則 推廣與深化：深化 1：性質5中，把弦AB過焦點改為AB過對稱軸上一點E（a,0），則有證：設AB方程為my=x-a，代入得：，深化2： 性質12中的條件改為焦點弦AB不垂直于x軸，AB的中垂線交x軸于點R，則證明：設AB的傾斜角為a，直線AB的方程為：，代入得：，即：由性質1得，又設AB的中點為M，則，深化3：過拋物線的焦點F作n條弦，且它們等分周角2，則有（1）

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