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文檔簡介

1、第二章習題答案1設a1，a2，an均為正數，且. 證明函數在Cn上定義了一個向量范數.證明：(1) 正定性：對，有f(x)>0，當x=0時，f(x)=0.(2) 奇次性：. (3) 三角不等式： . 所以函數f(x)是一個向量范數.2. 證明：在R1中任何向量范數，一定有 .證明：對任意向量范數，根據向量范數的定義和性質，又因為，有 ，其中.3. 設是Pn中的向量范數，則也是Pn中的向量范數的充要條件為A是可逆矩陣.證明：必要性：如果矩陣A不可逆，則存在，使得，即，這與向量范數的正定性矛盾，所以矩陣A可逆. 充分性：矩陣A可逆，對，則，所以，正定性滿足；，奇次性滿足；，三角不等式也滿足，

2、故是向量范數.4. 證明(1) ;(2) 與是相容的；(3) 與、均相容；(4) .證明：(1) 設，令. 根據定義有，所以有，同時有，所以有. (2) 見課本61頁下. (3) 令，. 因為. 所以，與相容; 因為. 所以，與相容. (4) 令，因為，同時有有上述結果有，所以(4)成立.5. 若，且，則，.證明：根據定義；.6. 設x，Ax的向量范數為，證明：它對應的算子范數是.證明：對任意矩陣A，存在酉矩陣U，V，得到矩陣A的奇異值分解A=UDV. 其中是矩陣A的奇異值，D=diag(). 根據定義，有=max.7. 若是算子范數，則(1) ;(2) ;(3) .證明：根據算子范數定義，

3、(1) ; (2) ，； (3) ，令，則，得，從而.8. 設，是對應于兩個向量范數，的算子范數，B可逆，則.證明：根據定義，有，把代入上式，得到，令y=Bx，則，則.9. 設，是Cn上的兩個向量范數，a1，a2是兩個正實數，證明(1) ;(2) 都是Cn上的向量范數.證明：需要證明(1)和(2)滿足范數定義中的三個條件即可.(1) (正定性) 當時，則；當x=0時，則. 奇次性顯然成立. (三角不等式) . (1)證畢.(2) 正定性和奇次性同(1)，容易得到. 下面證明三角不等式：. 證畢.10. 證明.證明：因為，即，其中為半正定矩陣AHA的特征值. 又由于，即. 證畢.11設是上的相容矩陣范數，B，C都是n階可逆矩陣，且及都是小于或等于1，證明對任何定義了上的一個相容矩陣范數.證明：首先證明是一個矩陣范數。 (正定性) 對任意，則，即，且當且僅當A=0. (奇次性) . (三角不等式) .下面證明相容性. 證畢

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