1、.圓中的動態問題【方法點撥】 圓中的動態問題實際是圓的分類討論問題，做這種題型重要的是如何將動點轉化為固定的點，從而將題型變為分類討論【典型例題】題型一：圓中的折疊問題例題一 （2012江西南昌12分）已知，紙片O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作（1）折疊后的所在圓的圓心為O時，求OA的長度； 如圖2，當折疊后的經過圓心為O時，求的長度； 如圖3，當弦AB=2時，求圓心O到弦AB的距離；（2）在圖1中，再將紙片O沿弦CD折疊操作如圖4，當ABCD，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點O到弦ABCD的距離之和為d，求d的值；如圖5，當AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點M為AB

2、的中點，點N為CD的中點，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結論【答案】解：（1）折疊后的所在圓O與O是等圓，OA=OA=2。當經過圓O時，折疊后的所在圓O在O上，如圖2所示，連接OAOAOB，OB，OO。OOA，OOB為等邊三角形，AOB=AOO+BOO=60+60=120。的長度。如圖3所示，連接OA，OB，OA=OB=AB=2，AOB為等邊三角形。過點O作OEAB于點E，OE=OAsin60=。（2）如圖4，當折疊后的與所在圓外切于點P時，過點O作EFAB交AB于點H、交于點E，交CD于點G、交于點F，即點E、H、P、O、G、F在直徑EF上。ABCD，EF垂直平分AB和CD。根據垂徑

3、定理及折疊，可知PH=PE，PG=PF。又EF=4，點O到ABCD的距離之和d為：d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2。如圖5，當AB與CD不平行時，四邊形是OMPN平行四邊形。證明如下：設O，O為和所在圓的圓心，點O與點O關于AB對稱，點O于點O關于CD對稱，點M為的OO中點，點N為OO的中點。折疊后的與所在圓外切，連心線OO必過切點P。折疊后的與所在圓與O是等圓，OP=OP=2，PM=OO=ON，PN=OO=OM，四邊形OMPN是平行四邊形。【考點】翻折變換（折疊問題）相切兩圓的性質，等邊三角形的判定和性質，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長的計算，解直角三角形，三角形中位線定理。

4、【分析】（1）折疊后的所在圓O與O是等圓，可得OA的長度。如圖2，過點O作OEAB交O于點E，連接OAOBAE、BE，可得OAE、OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據弧長公式計算即可。如圖3，連接OAOB，過點O作OEAB于點E，可得AOB為等邊三角形，根據三角函數的知識可求折疊后求所在圓的圓心O到弦AB的距離。（2）如圖4，與所在圓外切于點P時，過點O作EFAB交于于點E，交于點F，根據垂徑定理及折疊，可求點O到ABCD的距離之和。由三角形中位線定理，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得證。 變式一 如圖是一圓形紙片，AB是直徑，BC是弦，將紙片沿弦BC折疊后，劣弧BC與A

5、B交于點D，得到ODCAB（1）若，求證： 必經過圓心O；（2）若AB8，2，求BC的長 變式二 如圖，ABC內接于O，ADBC，OEBC，OE=BC（1）求BAC的度數；（2）將ACD沿AC折疊為ACF，將ABD沿AB折疊為ABG，延長FC和GB相交于點H；求證：四邊形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的長 題型二：圓中的旋轉問題例題二 (2011湖南常德,25.10分)已知ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓，P是AB的中點。（1）如圖8，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分別取點E、F，使，則有結論.四邊形是菱形。請給出結論的證明；（2）如圖9，若（1）中ABC是

6、任意三角形，其它條件不變，則（1）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請給出證明；（3）如圖10，若PC是的切線，求證：（1）BC是O2直徑，則O2是BC的中點又P是AB的中點，P O2是ABC的中位線P O2 AC又AC是O1直徑P O2 O1CAC同理P O1 O2C BCAC BC P O2 O1CP O1 O2C 四邊形是菱形（2）結論PO1EPO2F成立，結論不成立證明：在（1）中已證PO2AC，又O1EACPO2O1E 同理可得PO1O2FPO2是ABC的中位線 PO2AC PO2BACB同理P O1AACB PO2BP O1A AO1E BO2F P O1A+AO1E PO2B+BO2

7、F即P O1E F O2 P、 EO1PPO2F；（3）延長AC交O2于點D，連接BD BC是O2的直徑，則D90， 又PC是O1的切線，則ACP90， ACPD 又PACBADAPCBAD又P是AB的中點ACCD在RtBCD中，在RtABD中，評析：要證一個四邊形是菱形，可證它的四條邊相等，也可證明它是有一組鄰邊相等的平行四邊形或對角線互相垂直的平行四邊形；要證兩三角形全等，可通過SSS，SAS，ASA，或AAS來加以判斷；當待證式中出現多個平方的形式時，應首先考慮勾股定理及等量代換變式一 閱讀下列材料，然后解答問題。經過正四邊形（即正方形）各頂點的圓叫作這個正四邊形的外接圓。圓心是正四邊形

8、的對稱中心，這個正四邊形叫作這個圓的內接正四邊形。如圖（十三），已知正四邊形ABCD的外接圓O，O的面積為S，正四邊形ABCD的面積為S，以圓心O為頂點作MON，使MON=90，將MON繞點O旋轉，OM、ON分別與O相交于點E、F，分別與正四邊形ABCD的邊相交于點G、H。設OE、OF、及正四邊形ABCD的邊圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為S（1）當OM經過點A時（如圖），則S、S、S之間的關系為：S （用含S、S的代數式表示）；（2）當OMAB時（如圖），點G為垂足，則（1）中的結論仍然成立嗎？請說明理由。（3）當MON旋轉到任意位置時（如圖，）則（1）中的結論仍然成立嗎？請說明理由【答案

9、】解：（1）（2）成立。理由：連OB，可證圖中的兩個陰影部分的面積之和等于圖的陰影部分的面積（3）成立。過點O分別作AB、BC的垂線交AB、BC于點P、Q，交圓于點X、Y，可證直角三角形OPG全等于直角三角形OQH，可說明兩陰影部分面積之和等于圖的陰影部分面積變式二 （2012杭州）如圖，AE切O于點E，AT交O于點M，N，線段OE交AT于點C，OBAT于點B，已知EAT=30，AE=3，MN=2（1）求COB的度數；（2）求O的半徑R；（3）點F在O上（是劣弧），且EF=5，把OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F重合在EF的同一側，這樣的三角形共有多少個？你能在其中

10、找出另一個頂點在O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與OBC的周長之比考點：切線的性質；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂徑定理；平移的性質；旋轉的性質；相似三角形的判定與性質。專題：計算題。分析：（1）由AE與圓O相切，根據切線的性質得到AE與CE垂直，又OB與AT垂直，可得出兩直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形AEC與三角形OBC相似，根據相似三角形的對應角相等可得出所求的角與A相等，由A的度數即可求出所求角的度數；（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用銳角三角函數定義求出CE的長，再由OB垂直于MN，由垂徑定理

11、得到B為MN的中點，根據MN的長求出MB的長，在直角三角形OBM中，由半徑OM=R，及MB的長，利用勾股定理表示出OB的長，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30的值，利用銳角三角函數定義表示出OC，用OEOC=EC列出關于R的方程，求出方程的解得到半徑R的值；（3）把OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F重合在EF的同一側，這樣的三角形共有6個，如圖所示，每小圖2個，頂點在圓上的三角形，延長EO與圓交于點D，連接DF，由第二問求出半徑，的長直徑ED的長，根據ED為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到三角形EFD為直角三角形，由FDE為30，利用銳角三角函數定

12、義求出DF的長，表示出三角形EFD的周長，再由第二問求出的三角形OBC的三邊表示出三角形BOC的周長，即可求出兩三角形的周長之比解答：解：（1）AE切O于點E，AECE，又OBAT，AEC=CBO=90，又BCO=ACE，AECOBC，又A=30，COB=A=30；（2）AE=3，A=30，在RtAEC中，tanA=tan30=，即EC=AEtan30=3，OBMN，B為MN的中點，又MN=2，MB=MN=，連接OM，在MOB中，OM=R，MB=，OB=，在COB中，BOC=30，cosBOC=cos30=，BO=OC，OC=OB=，又OC+EC=OM=R，R=+3，整理得：R2+18R115

13、=0，即（R+23）（R5）=0，解得：R=23（舍去）或R=5，則R=5；（3）在EF同一側，COB經過平移、旋轉和相似變換后，這樣的三角形有6個，如圖，每小圖2個，頂點在圓上的三角形，如圖所示：延長EO交圓O于點D，連接DF，如圖所示，EF=5，直徑ED=10，可得出FDE=30，FD=5，則CEFD=5+10+5=15+5，由（2）可得CCOB=3+，CEFD：CCOB=（15+5）：（3+）=5：1點評：此題考查了切線的性質，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，含30直角三角形的性質，平移及旋轉的性質，以及銳角三角函數定義，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵題型三：圓中的動點例題

14、三 （2012江蘇南京10分）如圖，A、B為O上的兩個定點，P是O上的動點（P不與A、B重合），我們稱APB為O上關于A、B的滑動角。（1）已知APB是上關于點A、B的滑動角。 若AB為O的直徑，則APB= 若O半徑為1，AB=，求APB的度數（2）已知為外一點，以為圓心作一個圓與相交于A、B兩點，APB為上關于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交于點M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探索APB與MAN、ANB之間的數量關系。【答案】解：（1）900。如圖，連接AB、OA、OB在AOB中，OA=OB=1AB=，OA2+OB2=AB2。AOB=90。當點P在優弧 AB 上時

15、（如圖1），APB=AOB=45；當點P在劣弧 AB 上時（如圖2），APB=（360AOB）=135。（2）根據點P在O1上的位置分為以下四種情況第一種情況：點P在O2外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖3，MAN=APB+ANB，APB=MAN-ANB。第二種情況：點P在O2外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖4，MAN=APB+ANP=APB+（180ANB），APB=MAN+ANB180。第三種情況：點P在O2外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖5，APB+ANB+MAN=180，APB=180MANANB。第四種情況：點P在O2內

16、，如圖6，APB=MAN+ANB。【考點】圓周角定理，勾股定理逆定理，三角形內角和定理和外角性質。【分析】（1）根據直徑所對的圓周角等于90即可得APB=900。根據勾股定理的逆定理可得AOB=90，再分點P在優弧上；點P在劣弧上兩種情況討論即可。（2）根據點P在O1上的位置分為四種情況得到APB與MAN、ANB之間的數量關系。變式一 如圖12-1所示，在中，為的中點，動點在邊上自由移動，動點在邊上自由移動（1）點的移動過程中，是否能成為的等腰三角形？若能，請指出為等腰三角形時動點的位置若不能，請說明理由（2）當時，設，求與之間的函數解析式，寫出的取值范圍（3）在滿足（2）中的條件時，若以為圓

17、心的圓與相切（如圖12-2），試探究直線與的位置關系，并證明你的結論圖12-1圖12-2AEFOCBAEFOCB（圖121）（圖122）解：如圖，（1）點移動的過程中，能成為的等腰三角形此時點的位置分別是：是的中點，與重合與重合，是的中點（2）在和中，又，（3）與相切，即又，點到和的距離相等與相切，點到的距離等于的半徑與相切變式二 如圖，在O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，AC=AB，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作直線PB的垂線CD交PB于D點（1）如圖1，求證：PCDABC；（2）當點P運動到什么位置時，PCDABC？請在圖2中畫出PCD并說明理由；（3）如圖3

18、，當點P運動到CPAB時，求BCD的度數【課后練習】1、（2012湘潭）如圖，在O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，AC=AB，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作直線PB的垂線CD交PB于D點（1）如圖1，求證：PCDABC；（2）當點P運動到什么位置時，PCDABC？請在圖2中畫出PCD并說明理由；（3）如圖3，當點P運動到CPAB時，求BCD的度數考點：圓周角定理；全等三角形的性質；垂徑定理；相似三角形的判定。專題：幾何綜合題。分析：（1）由AB是O的直徑，根據直徑對的圓周角是直角，即可得ACB=90，又由PDCD，可得D=ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對

19、的圓周角相等，即可得A=P，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可判定：PCDABC；（2）由PCDABC，可知當PC=AB時，PCDABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；（3）由ACB=90，AC=AB，可求得ABC的度數，然后利用相似，即可得PCD的度數，又由垂徑定理，求得=，然后利用圓周角定理求得ACP的度數，繼而求得答案解答：（1）證明：AB是O的直徑，ACB=90，PDCD，D=90，D=ACB，A與P是對的圓周角，A=P，PCDABC；（2）解：當PC是O的直徑時，PCDABC，理由：AB，PC是O的半徑，AB=PC，PCDABC，PCDABC；（3）解：ACB=90，AC=AB，ABC=30，PCDABC，PCD=ABC=30，CPAB，AB是O的直徑，=，ACP=ABC=30，BCD=AC