1、矩陣分析在偏振光學中的應用摘要：本文撰寫了矩陣分析在光學的一個分支偏振光學中的應用，介紹了偏振光和偏振器件的概念，研究了偏振光和偏振器件的瓊斯矩陣和密勒矩陣的表示和運算方法。關鍵詞：矩陣；偏振光；偏振器件；瓊斯矩陣；密勒矩陣1. 引言偏正光學時光學領域中一個很重要的分支，偏振光在光學顯示，光學測試中有著不可替代的作用。矩陣作為一種數學分析計算方法，在對偏振光和偏正光學器件的描述和運算中有著十分重要的作用。描述偏振光和偏振器件有多種方式，如指數函數法，邦加球法等，用瓊斯矢量和斯托克斯矢量表示光的偏振態，用瓊斯矩陣和密勒矩陣表示偏振器件是一種很好的也很有效的數學方法，在一些文獻中也有所涉及，但均不

2、全面，本文從研究光的偏振含義出發，結合高等光學學習中的具體問題，系統地介紹了偏振光和偏振器件的矩陣表示方法，以及瓊斯矩陣和密勒矩陣兩種矩陣表示方法的聯系和區別。2. 偏振光平面光波的矢量場可以表示為：結合麥克斯韋旋度方程，運用運算關系：可得： 進一步可得： (1) (2)和三個矢量間構成一右手正交之矢量系統，電場矢量與磁場矢量均處在與傳播方向互相垂直的平面上，平面光波為橫波場。若簡諧平面光波的傳播方向沿著z軸，則和都在（xoy）平面內，只有x分量和y分量不等于零，則空間某一代表點上電矢量端點所描繪的曲線是下列坐標點的軌跡： (3)上式也可以寫成如下形式： （4）為和的相位差,當a1、a2和給定

3、后，空間任意一點處的電矢量端點隨時間t變化而劃出一個橢圓軌跡，式（3）或式（4）代表的波稱為橢圓偏振波，這時的光波是完全偏振的，簡稱偏振光。且橢圓內切于邊長分別為2a1、2a2的矩形，切點為和，如圖1所示，橢圓的偏心率及主軸取向均由值確定。 圖1兩種特殊情況：(1) 時，橢圓偏振光退化成一條直線 ，稱為線偏振光。用復數表示 1:為實數。(2) 且時此時偏振光為圓偏振光。用復數表示：右旋圓偏振光： 左旋圓偏振光： 一般橢圓的兩軸并不在ox和oy方向，設角為橢圓長軸與ox方向夾角(見圖1)，則經推導2橢圓的長短軸a和b可由下式決定： (5)式中.3.偏振光的矩陣表示： 3.1斯托克斯矢量斯托克斯（

4、G.G.Stokes）引入四個參量2 (6)表示平面單色波，代表偏振光的光強，為x分量和y分量的強度差，表示偏振光的水平優先度，表示正450優先度，大于零，則表示線偏振分量較強,為右旋偏振優先度，大于零表示光波是右旋偏振態。將4個斯托克斯參量表示成階的斯托克斯矢量 (7)可以來描述光的偏振態，全偏振光時滿足：，部分偏振光：,而對非偏振光：,正比于光強。若用角表示橢圓的取向，角表示橢圓率及轉向，則有如下關系：則偏振光又可以用邦加萊球表示6。3.2 瓊斯矢量光的偏振態也以用瓊斯矢量表示，設光在與傳播方向(z方向)垂直的xoy平面中，在相互垂直的x和y方向上的分量用偏振光矢量兩個分量構成的一列矩陣表

5、示光的偏振態，稱為瓊斯矢量： (8)其中。例：一電矢量為，其中：試將其表示成矩陣形式。解：對這一電矢量： (9)相位差為。(1) 用斯托克斯矢量表示： 對于具體的和取值不同的偏振光，可經歸一化，提出公因子，用更簡潔的形式表示：（見表1） (2) 用瓊斯矢量表示： 同樣經歸一化1，提取公因子，用簡潔的形式表示：（見表1）表1 不同偏振態的斯托克斯矢量和瓊斯矢量表示斯托克斯矢量瓊斯矢量說明+450線偏振線偏振右旋圓偏振右旋橢圓偏振右旋橢圓偏振4.偏振器件的矩陣表示上文引入了斯托克斯矢量和瓊斯矢量表示光的偏振態，則當光波經一系列復雜的偏振元件，只要經簡單的矩陣運算就可以得出出射光光的偏振態，這是用矩

6、陣表示偏振的優點，在運算之前我們還必須對偏振器件也用矩陣表示，與表示光的偏振態的斯托克斯矢量和瓊斯矢量相對應，可用密勒矩陣和瓊斯矩陣來表示偏振器件。4.1 密勒矩陣若用斯托克斯矢量S表示入射光的偏振態，用斯托克斯矢量S表示經一偏振器件后相應出射光的偏振態（圖1），則S可以經過一矩陣運算得到：圖 2GSS (10)式中矩陣M稱為密勒矩陣，密勒矩陣也可以用于表示入射偏振光連續經過多個光學器件的運算：，其中為每個元件的密勒矩陣，且后經過的元件的密勒矩陣放在左邊，可以用矩陣乘法來簡化偏振光運算。常見偏振器件的密勒矩陣見表2。4.2 瓊斯矩陣 若用瓊斯矢量J來表示光的偏振態，則光經過偏振器件后的偏振態J

7、同樣可以通過一個矩陣運算來得到： (11)式中矩陣G稱為瓊斯矩陣，例如一塊相位延遲為，且快軸與x軸成角波片，其瓊斯矩陣可以表示為3：瓊斯矩陣同樣也可以用來表示入射偏振光連續經過多個光學器件的運算：，其中為每個元件的瓊斯矩陣，且后經過的元件的矩陣放在左邊，常見偏振器件的瓊斯矩陣見表21:表2 常見偏振器件的密勒矩陣和瓊斯矩陣光學元件密勒矩陣瓊斯矩陣水平線起偏器垂直線起偏器+450線起偏器-450線起偏器1/4波片（垂直快軸）1/4波片（水平快軸）右旋圓起偏器左旋圓起偏器5.密勒矩陣和瓊斯矩陣的聯系和區別斯托克斯矢量和瓊斯矢量用不同的系列參數均可以用來描述光的偏振態，且可以通過兩個個斯托克斯矢量相

8、加或者兩瓊斯矢量相加來求計算給定偏振光波相加的結果。而用密勒矩陣和瓊斯矩陣來表示偏振器件，進而以相應的矩陣運算來處理偏振光的的傳播是一種非常有用的數學方法和工具，但從上文的討論和分析可知，這兩種矩陣表示和運算之間也存在著不同，如瓊斯矢量用于光波間相干迭加，而斯托克斯矢量則用于光波間的非相干迭加；瓊斯矩陣運算能保留偏振光位相信息，而密勒矩陣運算則不能；密勒矩陣運算能處理包含消偏在內的問題，而瓊斯矩陣運算則不能等。6.結束語 偏振問題是光學學習中的一個比較難于理解的問題，而矩陣方法在偏振光的表示和運算中有著獨特的優點，本文全面系統地討論分析了矩陣方法在偏振光的表示和運算中的應用。參考文獻：1 蔣秀明,趙家駒,黃維實. 高等光學 上海交通大學出版社 1996.2 M.波恩，E.沃爾夫. 光學原理（第二版）北京：科學出版社，1978.3 梁銓廷. 偏振器件的矩陣表示.廣西物理.2000第24卷.第4期.4 王青獅，魏計林，楊型健.偏振光的MUELLER運算和JON