1、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式撰稿：趙代立責(zé)編：丁會(huì)敏一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1掌握解方程組的方法，求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2掌握兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.重點(diǎn)：1判斷兩直線是否相交，求交點(diǎn)坐標(biāo)；2兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo).難點(diǎn)：1兩直線相交與二元一次方程的關(guān)系；2應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式證明幾何問題.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：直線的交點(diǎn)：求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo).要點(diǎn)詮釋：求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上

2、就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二：兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式為.要點(diǎn)詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來解決.另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握.知識(shí)點(diǎn)三：點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離為.要點(diǎn)詮釋：此公式常用于求三角形的高、兩平行間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等.點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離.知識(shí)點(diǎn)四：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，在任一條

3、直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；距離公式：直線與直線的距離為.要點(diǎn)詮釋：(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一 般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；(2)利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直 線中x，y的系數(shù)要保持一致.三、規(guī)律方法指導(dǎo)應(yīng)用解析思想解決問題的基本步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量.坐標(biāo)系的選擇是否適當(dāng)是影響解題過程簡捷與否的重要因素，坐標(biāo)系建立的不恰當(dāng)會(huì)人為的擴(kuò)大題目的計(jì)算量.在建立坐標(biāo)系時(shí)一般以特殊的點(diǎn)、

4、線作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，建立坐標(biāo)系時(shí)，對(duì)圖形的特性應(yīng)用的越充分，題目中出現(xiàn)的變量就會(huì)越少，運(yùn)算過程也會(huì)越簡便.第二步：進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算.通過各點(diǎn)的坐標(biāo)、各圖形方程之間的各種運(yùn)算，求得所需結(jié)果的代數(shù)形式.通過運(yùn)算可求得各個(gè)點(diǎn)、直線間的距離、角度、直線的斜率、截距、直線方程及兩直線的交點(diǎn)等.第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.通過計(jì)算結(jié)果說明某幾何結(jié)論成立.經(jīng)典例題透析類型一：求交點(diǎn)坐標(biāo)1判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo).思路點(diǎn)撥：判斷兩直線的位置關(guān)系，實(shí)質(zhì)上就是兩直線方程組成的方程組是否有解.解析：(1)解方程組，得 所以直線相交，交點(diǎn)是(2)由方程組得 (1)-

5、2(2)得3=0，矛盾. 方程組無解，所以兩直線無公共點(diǎn)，. 我們不光可以判斷兩直線的位置關(guān)系，還可以通過交點(diǎn)坐標(biāo)求出滿足一系列條件的直線.舉一反三：【變式1】已知直線滿足下列兩個(gè)條件：(1)過直線y=-x+1和y=2x+4的交點(diǎn); (2)與直線x-3y+2=0 垂直，求直線的方程.【答案】解：由得交點(diǎn)(-1，2)， k=-3， 所求直線的方程為: 3x+y+1=0.【變式2】（2011江蘇如皋）經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為.解析：與垂直的直線斜率為，所求直線的點(diǎn)斜式方程為：，即.類型二：求兩點(diǎn)間的距離2在直線2x-y=0 上求一點(diǎn)P ，使它到點(diǎn) M(5，8) 的距離為，并求直線PM 的方

6、程.思路點(diǎn)撥：求點(diǎn)的坐標(biāo)，需要把點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來，利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算.解析： 點(diǎn)P 在直線2x-y=0 上， 可設(shè) P(a，2a) ，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得，即，解得.所以直線PM的方程為即4x-3y+4=0或 24x-7y-64=0.總結(jié)升華：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是點(diǎn)P在直線2x-y=0 上，可設(shè) P(a，2a)，這樣使后面的計(jì)算更加簡單.舉一反三：【變式】已知點(diǎn)A(2，0)，B(0，2)，試在線段AB上求一點(diǎn)P，使得|OP| 最小，并求出這個(gè)最小值.【答案】解：直線AB的方程為，點(diǎn)P在線段AB上，可設(shè).當(dāng)時(shí)，|OP|最小.使|OP|取最小值的點(diǎn)為P(1，1，)，|OP|的最小值為.類型三：求

7、點(diǎn)到直線的距離3求點(diǎn)P(3，-2)到下列直線的距離：思路點(diǎn)撥：求點(diǎn)到直線的距離，關(guān)鍵是利用好距離公式，把直線方程都化為一般式.解析：(1)把方程寫成，由點(diǎn)到直線距離的公式得；(2)因?yàn)橹本€平行于軸，所以；(3)因?yàn)橹本€平行于軸，所以.總結(jié)升華：當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時(shí)，也可以通過數(shù)形結(jié)合求點(diǎn)到直線的距離.舉一反三：【變式】點(diǎn)到直線的距離( )A1B3 C5 D4【答案】本題選A類型四：求兩平行直線間的距離4求兩條平行線間的距離.思路點(diǎn)撥：求兩平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，也可以利用距離公式.解析：方法一：若在直線上任取一點(diǎn)A(2，1)，則點(diǎn)A到直線的距離就是所求的平行線間的距離，所

8、以.方法二：設(shè)原點(diǎn)到直線的距離分別為，則即為所求.所以.方法三：利用公式.總結(jié)升華：求兩平行直線間的距離可以利用距離公式，也可以根據(jù)幾何意義，借助幾何直觀背景發(fā)揮形象思維優(yōu)勢(shì)，常常可得到簡潔優(yōu)美的解法.舉一反三：【變式】（2010北京海淀二模）已知直線，則，之間的距離為A1 B C D2【答案】B【解析】與之間的距離，故選B學(xué)習(xí)成果測評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1.已知 A(-2，-1)，B(2，5) ，則|AB|等于( )A.4 B. C.6 D.2.已知點(diǎn) A(-2，-1)，B(a，3) 且| AB |= 5 ，則a 的值為( )A.1 B.-5 C.1 或-5 D.-1 或53.點(diǎn)到直線的距離為，則為(

9、 )A.1B.-3C.1或D.-3或4.已知點(diǎn) A(1，2)，B(3，4)，C(5，0) ，判斷ABC的形狀.5.求與直線平行且到的距離為2的直線的方程.能力提升：6.直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)( )A. B. C. D.7.若直線上的點(diǎn)Q到點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( )8.若要點(diǎn)A(1，2)、B(3，1)和C(2，3)到直線的距離平方和達(dá)到最大，那么等于( )A.0B.-1C.1D.2 9.直線過點(diǎn)(3，4)，且與點(diǎn)(-3，2)的距離最遠(yuǎn)，那么直線的方程為( )A.B. C.D.10.已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，則它們之間的距離是( )11.直線5x+4

10、y-2m-1=0與直線2x+3y-m=0的交點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍.12.在直線2x-y=0 上求一點(diǎn)P ，使它到點(diǎn) M(5，8) 的距離為，并求直線PM 的方程.13.求與直線平行且與直線的距離為2的直線的方程.14.分別求經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)且滿足下列條件的直線方程：(1)平行于；(2)垂直于.綜合探究：15.（2011 河南質(zhì)檢4）直線與圓相交于兩點(diǎn)、，若， 則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）等于（ ）A. B. C.7 D.14 16.直線ax+by+6=0與x-2y=0平行，并過直線4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交點(diǎn)，則a= _，b=_.17.過點(diǎn)P(1，2)引直線，使A(2，3)、B

11、(4，-5)到它的距離相等，求這條直線的方程.18.（2010山東煙臺(tái)，模擬）已知三直線，直線和，且與的距離是（1）求a的值；（2）能否找到一點(diǎn)P，使P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：P是第一象限的點(diǎn)；P點(diǎn)到的距離是P點(diǎn)到 的距離的；P點(diǎn)到的距離與P點(diǎn)到的距離之比是若能，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能， 說明理由答案與解析：基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1.【答案】D【解析】.2.【答案】C 【解析】將點(diǎn) A(-2，-1)，B(a，3)代入兩點(diǎn)間的距離公式，求關(guān)于的一元二次方程.3.【答案】【解析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式即可.4.解： |AB|=，|AC| =，|BC| =， |AC|=|BC| ，即ABC是等腰三角形.5.解：方

12、法一：設(shè)所求直線方程為5x-12y+c=0，在直線上取一點(diǎn)，點(diǎn)到直線5x-12y+c=0的距離為由題意得解得c=32或c=-20.所以所求直線方程為5x-12y+32=0和5x-12y-20=0.方法二：設(shè)所求直線方程為5x-12y+c=0，由兩平行線間的距離公式得，解得c=32或c=-20.所以所求直線方程為5x-12y+32=0和5x-12y-20=0.能力提升：6.【答案】C【解析】 由得對(duì)于任何都成立，則7.【答案】C 【解析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式.8.【答案】B 【解析】代入求和，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次函數(shù).9.【答案】A 【解析】直線過點(diǎn)(3，4)，且與點(diǎn)(-3，2)的距離最遠(yuǎn)即

13、過點(diǎn)(3，4)，且與過點(diǎn)(3，4)，(-3，2)垂直的直線.10.【答案】D 【解析】由于直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，則，再利用平行線間的距離公式.11.解方程組得 所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 因?yàn)榻稽c(diǎn)在第四象限， 所以 解得. 故所求m的取值范圍是12.解： 點(diǎn)P 在直線2x-y=0 上， 可設(shè) P(a，2a) ， 根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得 ， 即， 解得. . 所以直線PM的方程為 即4x-3y+4=0或 24x-7 y-64=0.13.解：由題意可設(shè)所求直線方程為. 根據(jù)兩直線平行的距離公式得 解得. 所以所求直線方程為或.14.解：方法一： 解方程組 得 則兩直線和的交

14、點(diǎn)為(0，2). (1)由所求直線平行于可知所求直線的斜率為. 所以所求直線方程為，即. (2)由所求直線垂直于可知所求直線的斜率為. 所以所求直線方程為，即. 方法二： 設(shè)所求直線方程為，即. (1)因?yàn)樗笾本€平行于， 所以. 解得. 所以所求直線方程為. (2)因?yàn)樗笾本€垂直于， 所以. 解得. 所以所求直線方程為.綜合探究：15.【答案】 A 【解析】記的夾角為.依題意得，圓心到直線的距離等于 ， ，故選A16.【答案】 【解析】本題可以求出直線4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交點(diǎn)(4，-2)， 直線ax+by+6=0過交點(diǎn)且與x-2y=0的斜率相等； 也可以利用過直線4x+3y-10=0和2x-y-10=0的直線系與x-2y=0平行.17.解：方法一：(1)所求直線與AB平行 過P(1，2)與直線AB平行的直線方程為. 即(2)所求直線過AB的中點(diǎn) 線段AB的中點(diǎn)為C(3，