1、生活中的圓周運動【學習目標】1、能夠根據圓周運動的規律，熟練地運用動力學的基本方法解決圓周運動問題。2、學會分析圓周運動的臨界狀態的方法，理解臨界狀態并利用臨界狀態解決圓周運動問題。3、理解外力所能提供的向心力和做圓周運動所需要的向心力之間的關系，以此為根據理解向心運動和離心運動。【要點梳理】要點一、靜摩擦力提供向心力的圓周運動的臨界狀態要點詮釋：1、水平面上的勻速圓周運動，靜摩擦力的大小和方向物體在做勻速圓周運動的過程中，物體的線速度大小不變，它受到的切線方向的力必定為零，提供向心力的靜摩擦力一定沿著半徑指向圓心。這個靜摩擦力的大小，它正比于物體的質量、半徑和角速度的平方。當物體的轉速大到一

2、定的程度時，靜摩擦力達到最大值，若再增大角速度，靜摩擦力不足以提供物體做圓周運動所需要的向心力，物體在滑動摩擦力的作用下做離心運動。臨界狀態：物體恰好要相對滑動，靜摩擦力達到最大值的狀態。此時物體的角速度（為最大靜摩擦因數），可見臨界角速度與物體質量無關，與它到轉軸的距離有關。2、水平面上的變速圓周運動中的靜摩擦力的大小和方向無論是加速圓周運動還是減速圓周運動，靜摩擦力都不再沿著半徑指向圓心，靜摩擦力一定存在著一個切向分量改變速度的大小。如圖是在水平圓盤上的物體減速和加速轉動時靜摩擦力的方向：（為了便于觀察，將圖像畫成俯視圖）要點二、豎直面上的圓周運動的臨界狀態要點詮釋：1.汽車過拱形橋在豎直

3、面內的圓周運動中可以分為：勻速圓周運動和變速圓周運動。對于變速圓周運動，需要特別注意幾種具體情況下的臨界狀態。例如：汽車通過半圓的拱形橋，討論橋面受到壓力的變化情況（1）車在最高點的位置時對橋面的壓力對車由牛頓第二定律得： 為了駕駛安全，橋面對車的支持力必須大于零，即所以車的速度應滿足關系臨界狀態：汽車在最高點處橋面對汽車的支持力為零，此時汽車的速度。如果，在不計空氣阻力的情況下，汽車只受到重力的作用，速度沿著水平方向，滿足平拋運動的條件，所以從此位置開始，汽車將離開橋面做平拋運動，不會再落到橋面上。（2）汽車沿著拱形橋面向下運動時車對于橋面的壓力當汽車在跨越最高點后的某一位置時由牛頓第二定律

4、得解得汽車對于橋面壓力的大小可見在汽車速度大小不變的情況下，隨著角的不斷減小，汽車對橋面的壓力不斷減小。臨界狀態：當時，汽車對橋面的壓力減小到零。從此汽車離開橋面做斜下拋運動。所以要使得汽車沿著斜面運動，其速度必須滿足：，即車的速度。2.細線約束的小球在豎直面上的變速圓周運動例如，用長為R的細繩拴著質量是m的物體，在豎直平面內做圓周運動。mgTV 在最高點處，設繩子上的拉力為T根據牛頓第二定律列方程得：由于繩子提供的只能是拉力，所以小球要通過最高點，它的速度值。臨界狀態：在最高點處，當只有重力提供向心力時，物體在豎直面內做圓周運動的最小速度是。若在最高點處物體的速度小于這個臨界速度，便不能做圓

5、周運動。事實上，物體早在到達最高點之前，就已經脫離了圓周運動的軌道，做斜上拋運動。3.輕桿約束小球在豎直面上的變速圓周運動例如，一根長度為R輕質桿一端固定，另一端連接一質量為m的小球，使小球在豎直面內做圓周運動。在最高點，設桿對球的作用力為FN，規定向下的方向為正方向，根據牛頓第二定律列方程得：因為桿既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以可以當時，桿對球提供向上的支持力，與重力的方向相反；當時，這與繩子約束小球的情況是一樣的。所以輕桿約束的情況可以存在兩個臨界狀態：在最高點處的速度為零，小球恰好能在豎直面內做圓周運動，此時桿對小球提供支持力，大小等于小球的重力；在最高點處的速度是時，輕桿對小球

6、的作用力為零，只由重力提供向心力。球的速度大于這個速度時，桿對球提供拉力；球的速度小于這個速度時，桿對球提供支持力。要點三、物體做離心與向心運動的條件外力提供的向心力等于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做圓周運動；外力提供的向心力小于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做遠離圓心的運動離心運動外力提供的向心力大于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做靠近圓心的運動也可稱之為向心運動要點四、處理圓周運動的動力學問題時應注意的問題（1）確定向心力的來源。向心力是根據力的效果命名的，在分析做圓周運動的質點受力情況時，切不可在物體的相互作用力（重力、彈力、摩擦力等）以外再添加一個向心力。（2）確定研究對

7、象的軌道平面和圓心的位置，以便確定向心力的方向。例如，沿半球形碗的光滑內表面，一小球在水平面上做勻速圓周運動，如圖所示，小球做圓周運動的圓心在與小球同一水平面上的O點，而不是在球心O，也不在彈力FN所指的PO線上。（3）物體在靜摩擦力作用下做勻速圓周運動時，相對滑動的臨界條件是恰好達到最大靜摩擦力。（4）物體在不同支承物（繩、桿、軌道、管道等）作用下，在豎直平面做圓周運動，通過最高點時的臨界條件。輕繩模型如圖所示沒有物體支撐的小球，在豎直平面做圓周運動過最高點的情況：注意：繩對小球只能產生沿繩收縮方向的拉力臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的作用：得 （可理解為恰好轉過或恰好轉不過的速度）能過最

8、高點的條件：，當時，繩對球產生拉力，軌道對球產生壓力不能過最高點的條件：，實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道.輕桿模型（2）如圖（a）的球過最高點時，輕質桿（管）對球產生的彈力情況：注意：桿與繩不同，桿對球既能產生拉力，也能對球產生支持力，管壁支撐情況與桿一樣。當v0時，Nmg（N為支持力）當 時， N隨v增大而減小，且，N為支持力當v=時，N0當v時，N為拉力，N隨v的增大而增大 若是圖（b）的小球，此時將脫離軌道做平拋運動，因為軌道對小球不能產生拉力【典型例題】類型一、水平圓周運動的臨界問題例1、如圖所示，細繩的一端系一小球，另一端懸于光滑的水平面上方處(h小于繩長)，球在水平面上以轉速做

9、勻速圓周運動，求水平面受到的壓力多大？要使球離開水平面，轉速的值至少為多大？【思路點撥】將此問題看成是一般的動力學問題，其加速度是向心加速度，按照解決動力學問題的一般方法，可以將問題解決。【解析】本題屬于圓錐擺問題，物體的運動軌跡在水平面上。 對球受力分析并進行正交分解，如圖所示： 由牛頓第二定律得 由式得若要使得球離開平面，則，有所以【總結升華】分析臨界條件是解決綜合性問題的重要環節。球恰好離開平面是一種臨界狀態，出現此臨界狀態的條件是球和平面的作用力為零。類型二、豎直圓周運動的臨界問題例2、如圖所示，輕桿AB長1m，兩端各連接質量為1kg的小球，桿可以繞距B端0.2m處的O軸在豎直平面內轉

10、動。設A球轉到最低點時速度是4m/s，求此時B球的運動速度的大小和桿對O軸的作用力的大小和方向？【思路點撥】用輕桿約束物體在豎直面上做圓周運動時，要注意到物體受到的力可以是拉力，也可以是壓力，還可能是零。要重視臨界狀態的分析。【解析】因為A、B兩球固定在同一根桿上，它們具有相同的角速度，所以，B球的運動速度A球在最低點，要做圓周運動一定受到桿的拉力由牛頓第二定律得：解得A球受到的拉力所以桿對O軸的作用力大小是30N，方向向下；對B球在最高點，以豎直向下為正方向，由牛頓第二定律：解得桿對B球的作用力負號表示B球受到桿的作用力為方向豎直向上的支持力所以此時桿的OB段對O軸的作用力大小是5N，方向豎

11、直向下； O軸受到桿的作用力是OB和OA兩段桿對它的作用力的合力，大小是5+30=35N，方向豎直向下。舉一反三【高清課程：圓周運動的實例分析 例9】【變式】質量為m的小球，用長為l的線懸掛在O點，在O點正下方處有一光滑的釘子C，把小球拉到與O在同一水平面的位置，擺線被釘子攔住，如圖所示.將小球從靜止釋放.當球第一次通過最低點P時0()A.小球線速度突然增大B.小球角速度突然增大C.小球的向心加速度增大D.擺線上的張力突然增大 【答案】BCD類型三、機車轉彎問題例3、在高速公路的拐彎處，路面造得外高內低，即當車向左拐彎時，司機右側的路面比左側的路面高一些，路面與水平面間的夾角為。設拐彎路段是半

12、徑為的圓弧，要使車速為時車輪與路面之間的橫向（即垂直于前進方向）摩擦力等于零，應等于多少？【思路點撥】分析解答此題的關鍵是理解汽車拐彎時向心力的來源：在水平面上拐彎時，向心力由車輪與水平面之間的靜摩擦力提供，在具有恰當坡度的路面上拐彎時，向心力可能完全由路面對汽車的支持力的水平分量提供。【解析】解答此題的關鍵是理解汽車拐彎時向心力的來源：汽車在水平面上做勻速圓周運動，在半徑方向上摩擦力等于零，汽車拐彎的向心力由汽車重力和路面對它的支持力的合力提供，汽車受力如圖所示，由牛頓第二定律【總結升華】必須明確：盡管路面是有一定坡度的，汽車是在一個水平面內做圓周運動，向心力是水平的不是沿著斜面的。類型四、

13、連接體的圓周運動的臨界問題例4、 如圖所示水平轉盤可繞豎直軸旋轉，盤上水平桿上穿著兩個質量相等的小球A和B，現將A和B分別置于距軸r和2r處，并用不可伸長的輕繩相連，已知兩個球與桿之間的最大靜摩擦力都是，試分析轉速從零逐漸增大，兩球對軸保持相對靜止過程中，A、B受力情況如何變化？【思路點撥】解決本題關鍵是：動態的分析物理過程，發現隱藏在過程中的臨界狀態；理解最大靜摩擦力出現的條件，弄清外力提供的向心力和圓周運動需要的向心力對運動的影響。物體的勻速圓周運動狀態不是平衡狀態，它所需要的向心力應恰好由物體所受的合外力來提供。“離心”與“向心”現象的出現，是由于提供的合外力與某種狀態下所需的向心力之間

14、出現了矛盾。當“供”大于“需”時，將出現“向心”，當“供”小于“需”時，物體將遠離圓心被甩出。對于此題，當轉動角速度增大到某一個值時，A和B將發生離心現象，向B一側甩出，此時A所受摩擦力應沿桿指向外側。而剛開始轉動時，A所受摩擦力應指向圓心，而且繩上沒有張力。【解析】當轉動角速度增大到某一個值時，A和B將發生離心現象，向B一側甩出，此時A所受摩擦力應沿桿指向外側。而剛開始轉動時，A所受摩擦力應指向圓心，而且繩上沒有張力。（1）由于從零開始逐漸增大，當較小時，A和B只靠自身靜摩擦力提供向心力。 對 A球： 對B球：隨增大，靜摩擦力f不斷增大，直到時將有，即，（這是一個臨界狀態） （2）當時，繩上

15、的張力T將出現。 對A球： 對B球： 由式，當增加到時，繩上張力將增加，增加的張力 由式，可見fA0，即隨的增大，A球所受摩擦力將不斷減小。（3）當時，設此時角速度對A球，對B球， （4）當角速度從2繼續增加時，A球所受的摩擦力方向將沿桿指向外側，并隨的增大而增大，直到為止，設此時角速度， A球：B球：（5）當時，A和B將一起向B側甩出。【總結升華】(1)由于A、B兩球角速度相等，向心力公式應選用Fmr2； (2)分別找出逐漸增大的過程中的幾個臨界狀態，并正確分析各個不同階段的向心力的來源及其變化情況，揭示出小球所需向心力的變化對所提供向心力的靜摩擦力及繩子拉力之間的制約關系，這是求解本題的關

16、鍵。動態分析也是物理學中重要的分析方法，努力的通過此題加以體會、實踐。（3）對于兩個或兩個以上的物體，通過一定的約束，繞同一轉軸做圓周運動的問題，一般求解思路是：分別隔離物體，準確分析受力，正確畫出力圖，確定軌道半徑，注意約束關系（在連接體的圓周運動問題中，角速度相同是一種常見的約束關系）。舉一反三【變式1】如圖所示在水平轉臺上放一質量為M的木塊，木塊與轉臺間的最大靜摩擦因數為，它通過細繩與另一木塊m相連。轉臺以角速度轉動，M與轉臺能保持相對靜止時，它到轉臺中心的最大距離和最小距離分別為多大？【解析】假設轉臺光滑，M在水平面內轉動時，豎直方向上平臺對M的支持力與Mg相平衡，繩子的拉力提供M做圓周運動的向心力。因為M與轉臺保持相對靜止時，所以繩子的拉力T=mg。設此時M距離中心的半徑，則：對M， 即： 討論：（1）若R為最小值，M有向圓心運動的趨勢，故轉臺對M有背離圓心的靜摩擦力，大小為。 對m仍有T