1、精選優質文檔-傾情為你奉上函數1.函數: AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數集！據此可知函數圖像與軸的垂線至多有一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。 【例2】（1）已知函數，那么集合 中所含元素的個數有 個.（2）若函數的定義域、值域都是閉區間，則 2. 同一函數的概念。構成函數的三要素是定義域，值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函數的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函數。【例3】若一系列函數的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“天一函數”，那么解析式為，值域為4，1的“天一函數”共有_個3. 求函數定義域

2、的常用方法（在研究函數問題時要樹立定義域優先的原則）：（1）根據解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數中且，三角形中, 最大角，最小角等。【例4】（1）函數的定義域是_ _ （2）若函數的定義域為R，則_.（3）函數的定義域是，則函數的定義域是_（4）（重要題型）設函數，若的定義域是R，求實數的取值范圍 ；若的值域是R，求實數的取值范圍 。（2）根據實際問題的要求確定自變量的范圍。（3）復合函數的定義域：若已知的定義域為,其復合函數的定義域由不等式 解出即可；若已知的定義域為,求的定義域，相當于當時，求的值域（即的定義域）。【例5】（1）若函數的定義域為，則的定義域為_（2）若

3、函數的定義域為，則函數的定義域為_4.求函數值域（最值）的方法：（1）配方法二次函數（二次函數在給出區間上的最值有兩類：一是求閉區間上的最值；二是求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數的最值問題，勿忘數形結合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關系），【例6】（1）求函數的值域: （2）當時，函數在時取得最大值，則的 取值范圍是_ （3）已知的圖像過點（2,1），則的值域為_（2）換元法通過換元把一個較復雜的函數變為簡單易求值域的函數，其函數特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，【例7】（1）的值域為_ _（2）的值域為_ _（3）的值域為_ （4）

4、的值域為_（3）函數有界性法直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定所求函數的值域，最常用的就是三角函數的有界性，【例8】求函數，的值域?（4）單調性法利用一次函數，反比例函數，指數函數，對數函數等函數的單調性，【例9】求，的值域?（5）數形結合法函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，【例10】（1）已知點在圓上，求及的取值范圍?（2）求函數的值域?（3）求函數及的值域?（6）判別式法對分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式

5、性質，【例11】求的值域?型，先化簡，再用均值不等式，【例12】（1）求的值域 （2）求函數的值域 型，通常用判別式法；【例13】已知函數的定義域為R，值域為0，2，求常數的值?型，可用判別式法或均值不等式法，【例14】求的值域 （7）不等式法利用基本不等式：求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。【例15】設成等差數列，成等比數列，則的取值范圍是_.5.分段函數：在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數，它是一類較特殊的函數。在求分段函數的值時，一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集，然后再

6、代相應的關系式；分段函數的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集。【例17】（1）設函數，則使得的自變量的取值范圍是_ （2）已知，則不等式的解集是_7.求函數解析式的常用方法：（1）待定系數法已知所求函數的類型（二次函數的表達形式有三種：一般式：；頂點式：；零點式：，要會根據已知條件的特點，靈活地選用二次函數的表達形式）。【例18】已知為二次函數，且 ，且f(0)=1,圖像在x軸上截得的線段長為2,求的解析式?【一題多解】（2）代換（配湊）法已知形如的表達式，求的表達式。【例19】（1）已知 求的解析式 （2）若，則函數=_（3）若函數是定義在R上的奇函數，且當時，那么當時，=

7、_（3）方程的思想已知條件是含有及另外一個函數的等式，可抓住等式的特征對等式的進行賦值，從而得到關于及另外一個函數的方程組。【例20】（1）已知，求的解析式 （2）已知是奇函數，是偶函數，且+= ,則= _8.函數的奇偶性。（1）【定義域優先原則】具有奇偶性的函數的定義域的特征：定義域必須關于原點對稱！為此確定函數的奇偶性時，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱。【例27】若函數，為奇函數，其中，則的值是 （2）確定函數奇偶性的常用方法（若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性）：定義法：【例28】判斷函數的奇偶性_ 利用函數奇偶性定義的等價形式：或（）。【例29】判斷的奇偶性_

8、_.圖像法：奇函數的圖像關于原點對稱；偶函數的圖像關于軸對稱。（3）函數奇偶性的性質：【口訣：奇同偶異】奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.如果奇函數有反函數，那么其反函數一定還是奇函數.若為偶函數，則.【例30】若定義在R上的偶函數在上是減函數，且=2，則不等式的解集為_.若奇函數定義域中含有0，則必有.故是為奇函數的既不充分也不必要條件。【例31】若為奇函數，則實數_定義在關于原點對稱區間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數與一個偶函數的和（或差）”。【例32】設是定義域為R的任一函數， ，。判斷與的奇

9、偶性； 若將函數，表示成一個奇函數和一個偶函數之和，則_ 復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”.既奇又偶函數有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）.10.函數的單調性。（1）確定函數的單調性或單調區間的常用方法：在解答題中常用：定義法（取值作差變形定號）、導數法（在區間 內，若總有，則為增函數；反之，若在區間內為增函數，則，請注意兩者的區別所在。【例33】已知函數在區間上是增函數，則的取值范圍是_在選擇填空題中還可用數形結合法、特殊值法等等，特別要注意型函數的圖像和單調性在解題中的運用：增區間為；減區間為.【例34】（1）若函數 在區間（，4 上是減函數，那么實數的取值范

10、圍是_ _（2）已知函數在區間上為增函數，則實數的取值范圍_ _（3）若函數的值域為R，則實數的取值范圍是_ _復合函數法：復合函數單調性的特點是同增異減，【例35】函數的單調遞增區間是_ _（2）特別提醒：求單調區間時，一是勿忘定義域；二是在多個單調區間之間不一定能添加符號“”和“或”；三是單調區間應該用區間表示，不能用集合或不等式表示【例36】若函數在區間上為減函數，求的取值范圍 （3）你注意到函數單調性與奇偶性的逆用了嗎?（比較大小；解不等式；求參數范圍）.【例37】已知奇函數是定義在上的減函數,若，求實數的取值范圍 。11. 常見的圖像變換：函數的圖像是把函數的圖像沿軸向左平移個單位得

11、到的。【例38】設的圖像與的圖像關于直線對稱，的圖像由的圖像向右平移1個單位得到，則為_函數(的圖像是把函數的圖像沿軸向右平移個單位得到的。【例39】（1）若，則函數的最小值為_（2）要得到的圖像，只需作關于_軸對稱的圖像，再向_平移3個單位而得到。（3）函數的圖像與軸的交點個數有_個.函數+的圖像是把函數助圖像沿軸向上平移個單位得到的；函數+的圖像是把函數助圖像沿軸向下平移個單位得到的；【例40】將函數的圖像向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖像如果與原圖像關于直線對稱,那么 （ ） 函數的圖像是把函數的圖像沿軸伸縮為原來的得到的。【例41】（1）將函數的圖像上所有點的橫坐標變為原來

12、的（縱坐標不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應的函數為_ （2）如若函數是偶函數，則函數的對稱軸方程是_函數的圖像是把函數的圖像沿軸伸縮為原來的倍得到的. 12. 函數的對稱性：滿足條件的函數的圖像關于直線對稱。【例42】已知二次函數滿足條件且方程有等根，則_ _點關于軸的對稱點為；函數關于軸的對稱曲線方程為；點關于軸的對稱點為；函數關于軸的對稱曲線方程為； 點關于原點的對稱點為；函數關于原點的對稱曲線方程為； 點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。特別地，點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為；點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方

13、程為。【例43】己知函數,若的圖像是,它關于直線對稱圖像是關于原點對稱的圖像為對應的函數解析式是_曲線關于點的對稱曲線的方程為。【例44】若函數與的圖像關于點（-2，3）對稱，則_ 形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數確定)，對稱中心是點。【例45】已知函數圖像與關于直線對稱，且圖像關于點（2，3）對稱，則a的值為_的圖像先保留原來在軸上方的圖像，做出軸下方的圖像關于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖像得到；的圖像先保留在軸右方的圖像，擦去軸左方的圖像，然后作出軸右方的圖像關于軸的對稱圖形得到。【例46】（1）作出函數及的圖像；（2）若函數是定義在

14、R上的奇函數，則函數的圖像關于_對稱 提醒：（1）從結論可看出，求對稱曲線方程的問題，實質上是利用代入法轉化為求點的對稱問題；（2）證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（3）證明圖像與的對稱性，需證兩方面：證明上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上；證明上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上。【例47】（1）已知函數，求證：函數的圖像關于點成中心對稱圖形；（2）設曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正方向分別平行移動單位長度后得曲線。寫出曲線的方程 證明曲線C與關于點對稱。13. 函數的周期性。（1）類比“三角函數圖像”得：若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數，且一周期為；若圖像有兩個對稱中心，則是周期函數，且一周期為；如果函數的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸，則函數必是周期函數，且一周期為；【例