1、第六章 定積分的應用本章將應用第五章學過的定積分理論來分析和解決一些幾何、物理中的問題，其目的不僅在于建立這些幾何、物理的公式，而且更重要的還在于介紹運用元素法將一個量表達為定積分的分析方法。一、教學目標與基本要求：使學生掌握定積分計算基本技巧；使學生用所學的定積分的微元法（元素法）去解決各種領域中的一些實際問題；掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力及函數的平均值等）二、本章各節教學內容及學時分配：第一節 定積分的元素法 1課時第二節 定積分在幾何學上的應用 3課時第三節 定積分在物理

2、學上的應用 2課時三、本章教學內容的重點難點：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立這些幾何、物理的公式解決實際問題。運用元素法將一個量表達為定積分的分析方法四、本章教學內容的深化和拓寬：指導學生用元素法解決其本專業的實際問題。五、本章的思考題和習題： 第二節 279頁習題62 2，（1）、（3）；3，4，5，11，12，19，25，28。第三節 287頁習題63 1，3，4，5，11。第一節 定積分的元素法一、內容要點1、復習曲邊梯形的面積計算方法，定積分的定義面積面積元素=2、計算面積的元素法步驟：（1）畫出圖形； （2）將這個圖形分割成個部分，這個部分的近似于矩形或者扇形；（3）計

3、算出面積元素；（4）在面積元素前面添加積分號，確定上、下限。二、教學要求與注意點掌握用元素法解決一個實際問題所需要的條件。用元素法解決一個實際問題的步驟。第二節 定積分在幾何學上的應用一、內容要點1、在直角坐標系下計算平面圖形的面積方法一面積元素=，面積=第一步：在邊界方程中解出的兩個表達式，.第二步：在剩下的邊界方程中找出的兩個常數值，；不夠時由解出， ，面積=方法二 面積元素=，面積=第一步：在邊界方程中解出的兩個表達式，.第二步：在剩下的邊界方程中找出的兩個常數值，；不夠時由解出， ，面積=例1 求，圍成的面積解，。當時，于是面積例2 計算圍成的面積解 由，得，當時 面積=18。2、在曲

4、邊梯形、（）中，如果曲邊的方程為參數方程為，則其面積 =，其中例3 求軸與擺線,圍成的面積解 面積 例4 星形線()圍成的面積. 解 面積=3、極坐標系下計算平面圖形的面積。極坐標曲線圍成的面積的計算方法：解不等式，得到。面積=4、平行截面面積為已知的空間物體的體積過軸一點作垂直于軸的平面，該平面截空間物體的截面面積為，,則該物體的體積 例1 一空間物體的底面是長半軸，短半軸的橢圓，垂直于長半軸的截面都是等邊三角形，求此空間體的體積。解 截面面積5、旋轉體體積在上 ，曲線、直線圍成的曲邊梯形1）繞軸旋轉一周形成旋轉體，其截面面積，旋轉體體積。2）繞軸旋轉一周形成旋轉體：位于區間x,x+dx上的

5、部分繞軸旋轉一周而形成的旋轉體體積，原曲邊梯形繞軸旋轉一周形成的旋轉體體積。 例2擺線與x軸圍成的圖形1）繞軸旋轉形成的旋轉體體積 =2）繞軸旋轉形成的旋轉體體積 = 3）繞旋轉形成的旋轉體的截面面積。繞旋轉形成的旋轉體體積 例3 求心形線與射線、圍成的繞極軸旋轉形成的旋轉體體積解 心形線的參數方程為，旋轉體體積=6、平面曲線的弧長 曲線方程自變量的范圍弧微分弧長顯函數參數方程極坐標表中當時，弧微分。例1求擺線的長解，。弧長例2擺線上求分擺線第一拱成1：3的點的坐標解設A點滿足要求，此時。根據例2擺線第一拱成弧長，。由條件弧OA的長為，即,點A的坐標為例3 求星形線的全長解星形線的參數方程為,

6、 , ,，.弧長。例4 求對數螺線上到的一段弧長解 ，弧長=二、教學要求與注意點掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積第三節 定積分在物理學中的應用一、內容要點1、變力沿直線運動所做的功如左圖，設dx很小，物體在變力 的作用下從點x移動到點x+dx所做的功元素為，從點a移動到點b, 在變力所做的功 例1一物體按規律直線運動，所受的阻力與速度的平方成正比，計算物體從 運動到時，克服力所做的功。 解 位于處時物體運動的速度，所受的阻力。如圖從點x運動到點x+dx所做的功元素。物體從運動到時，克服力所做的功。 例2

7、一個圓拄形水池，底面半徑5米，水深10米，要把池中的水全部抽出來，所做的功等于多少？（水的密度=1）解如圖，將位于處、厚度為的薄層水抽出來，其質量密度體積，當薄層水的厚度很小時，所做的功元素。要把池中的水全部抽出來，所做的功例3一條均勻的鏈條長，質量，懸掛于某建筑物頂部，需做多少功才能把它全部拉上建筑物頂部解如圖，將位于處、長度為的一小段拉到頂部，其質量為，所做的功元素。全部拉上建筑物頂部所做的功2、液體的壓力例4 一塊矩形木板長10米，寬5米。木板垂直于水平面，沉沒于水中，其一寬與水面一樣高，求木板一側受到的壓力。（水的密度=1）解如圖，木板在處所受的壓強為。位于處、長為5米、寬為米的小矩形受到的壓力元素（噸）。整塊木板一側受到的壓力（噸）。3、引力例5 如圖一質量為的質點位于原點，一根密度為、長為的均勻細棒區間上，求細棒對質點的引力解位于處、長為的小段，其質量為，對質點的引力元素。細棒對質點的引力 例6 設星形線，上每一點處的線密度的大小等于該點到原點的距離的立方，求星形線在第一象限的弧段對位于原點處的單位質點的引力