1、不等式綜合練習（十）不等式綜合能力測試（五）不等式綜合能力測試（五）（15.12.30）一填空題（每空 7 分，共 56 分）a - ba2 - b21已知a > b > 0 ， x =， y =，那么 x 與 y 之間的大小關系為（）a + ba2 + b2A x > yB x = yC x < yD無法確定，與a, b 取值有關：解答一：（作差法）a2 - b2a - bx - y =a2 + b2-a + b(a - b)(a + b)2 - (a - b)(a2 + b2 )(a + b)(a2 + b2 )= 2ab (a - b)(a + b)(a2 + b

2、2 )> 0 ， x > y 解答二：（作商法）注意到a > b > 0 ，有a2 - b2(a + b)2xya2 + b2 a - b=> 1，a2 + b2a + b且x, y > 0 ， x > y 2已知 x, y Î R+ ， 2x + y = 1，那么 x + 2 y 的最小值為xy： 9 解答： x + 2 y = 2 + 1 = æ 2 + 1 ö(2x + y) ³ (2 +1)2 = 9 ç xy ÷xyxyèø1 / 11不等式綜合練習（十）不等式綜

3、合能力測試（五）f u, v = u -+1- u2 - v)2 的最小值為çv ÷(2æ5 ö()3函數èø解答：11- 2 10 )f (u, v) 表示(u,æ 5ö1- u到, v 的距離的平方2：數形結合ç v÷èø4已知關于 x 的不等式 1 x2 + bx + c ³ 0 （ b > 0 ）的解集為 R ，則T = 5 + 2ab + 4ac 的最小值ab +1a為： 4 解答：依題意， a > 0 且b2 - 4c £ 0 ，a

4、4ac ³ a2b2 ， 5 + 2ab + 4ac ³ 5 + 2ab + a2b2 ，又Q a > 0 ， b > 0 ， ab +1 > 0 ，從而5 + 2ab + a2b24T ³= ab +1+³ 4 ab +1ab +1f ( x) =5已知常數a,b Î R+ ，函數a + x +b - x 的值域為： a + b解答：依題意， x Î-a,b，f 2 ( x) = a + b + 2 (a + x)(b - x) ，é(a + b)2 ù其中(a + x)(b - x)的取值范圍

5、為ê0,êëú ，úû4f 2 ( x) 的取值范圍為éëa + b,2(a + b)ùû ，又Q f ( x) ³ 0 ，2 / 11不等式綜合練習（十）不等式綜合能力測試（五）f ( x) 的取值范圍為é2(a + b)ù a + b,ëû6已知 x, y, z Î0,1，則 M： 2 +1=+的最大值為解答：不妨設 x £ y £ z ，則M =y - x +z - y +z - x ，顯然M 關于 x 單調減

6、，關于 z 單調增，當 x = 0 ， z = 1時， M 才能取到最大值，此時 M =y + 1- y + 1 £2 +1，當 y = 1 時可以取到27設M =2 + y2 +y2 - 4y + 5 ，則 M 的最小值為： 5 ( x - 2)2 + 4 +( y - 2)2 +1解答： M =x2 + y2 +( x - 2)2 + (0 - 2)2( x - 0)2 + (0 - y)2 +éë(-1) - 0ùû2 + éë(-2) - yùû2=+即M 表示折線段(2, 2)( x, 0)(0

7、, y)(-1, -2) 的長度，最小值為(2, 2) 到(-1, -2) 的距離， M 的最小值為5 8已知a > b > 0 ，且a + b £ 2 2ab ， a - b = 2ab ，那么 b =a：解答： (a + b) + (a - b) £ (22 + 2)ab ， 2a £ (22 + 2)ab ，又Q a > 0 ，1 b ³=2 -1；2 +1同理，根據(a + b) -(a - b) £ (2而a - b = 2ab ，2 - 2)ab ，可得a ³2 +1；3 / 11z - xy - zx

8、- y不等式綜合練習（十）不等式綜合能力測試（五）a= 1 -12(2a +1)即b =，關于a 單調增，2a +12二解答題11= 1 ，求 xy 的最小值+9（12 分）設 x, y 都是正實數，且2 + x2 + y3解一：（構造不等式）11= 1 去分母整理，可得 xy - x - y - 8 = 0 ，+將等式2 + x2 + y3 xy = x + y + 8 ³ 2 xy + 8 ，2即 xy - 2 xy - 8 ³ 0 ，解之得 xy ³ 4 或 xy £ -2 （舍）， xy ³ 16 ，當 x = y = 4 時等號成立解

9、二（一）：（函數方法）y + 8 ，11= 1 可得 x =+由2 + x2 + y3y -1 y ( y + 8) y -1y2 + 8y xy =，y -1令t = y -1，則 y = t +1，( +1) + (t +1)tt2 +10t xy =，t當且僅當t = 3 ，即 y = 4 時取到解三（）：（基本不等式）( x + 2 + y + 2)æö ³ 4 ，11+ç x + 2y + 2 ÷èø4 / 11不等式綜合練習（十）不等式綜合能力測試（五）4 x + y + 4 ³³ 12 ，1

10、1+x + 2y + 2 x + y ³ 8 ，11= 1 去分母整理得 xy - x - y - 8 = 0 ，+而將條件2 + x2 + y3 xy = x + y + 8 ³ 16 11= 1 ，可設11= sin2 q ，= cos2 q ，則+解四：（陽）：由條件2 + x2 + y32 + x2 + y3sin2 q3cos2 qx =- 2 ， y =- 2 ，xy = æ3- 2öæ3- 2öç÷ç÷sin qcos q22èøèø- 6&

11、#230;ö + 49sin2 q cos2 q11=+ç÷sin qcos q22èø6(sin2 q + cos2 q )sin2 q cos2 q9sin2 q cos2 q=-+ 43sin2 q cos2 q=+ 4 ，æ 1 ö2()又Q sin q + cos q =1， sin q cos q = sin q 1-sin q £222222，ç÷è 2 ø3sin2 q cos2 q+ 4 ³ 3 + 4 = 16 ，當且僅當 x = y = 4 時

12、等號成立 xy =14解五（名）：設 x = 2 tan2 a ， y = 2 tan2 b ，其中a , b Î é0, p ù ，êë2 úû11= 1 可得cos2 a + cos2 b = 2 ，+代入條件2 + x2 + y33 sin2 a = 1 + cos2 b ， sin2 b = 1 + cos2 a3xy = 4 tan2 a × tan2 b35 / 11不等式綜合練習（十）不等式綜合能力測試（五）sin2 asin2 b= 4 ××cos2 a cos2 bæ

13、 1öæ 1ö+ cos a+ cos b22ç 3÷ç 3÷= 4 × èøècos2 a cos2 bø4cos2 a cos2 b× é1 + 1 (cos2 a + cos2 b ) + cos2 a cos2 b ù=êë9úû343cos2 a cos2 b= 4 +4³ 4 +æ cos2 a + cos2 b ö23ç÷2è= 16

14、 ，ø當且僅當 x = y = 4 時取到最大值6 / 11不等式綜合練習（十）不等式綜合能力測試（五）a2 + b2b2 + c2c2 + a2a3b3c3+10（16 分）設a,b, c Î R ，求證： a + b + c £+£+2c2a2bbccaab分析一：先考慮左邊的不等式，這個不等式是三元齊次對稱分式不等式，這樣的問題是非常經典的問題，處理的方法很多一般來說，對稱分式不等式的證明方法有：（1）通分硬算；（2）分母換元；（3）配項均值；（4）約分；（5）放縮通分；*（6）排序約分對于本題而言，分母比較簡單，去分母后次數只有四次，因此可以考慮

15、通分硬算證明一：（化為整式不等式）原不等式兩邊同時乘以2abc ，等價于2a2bc + 2ab2c + 2abc2 £ a3b + ab3 + b3c + bc3 + c3a + a3c £ 2a4 + 2b4 + 2c4 ，注意到a3b + a3b + bc3 ³ 33 a3b × a3b ×bc3 = 3a2bc ，同理，有a3c + a3c + b3c ³ 3a2bc ，兩式相加，有2a3b + 2a3c + b3c + bc3 ³ 6a2bc ，同理2b3c + 2b3a + c3a + ac3 ³ 6ab

16、2c ，2c3a + 2c3b + b3a + ba3 ³ 6abc2 ，以上三式相加，可得3(a3b + ab3 + b3c + bc3 + c3a + a3c) ³ 6a2bc + 6ab2c + 6abc2 ，即a3b + ab3 + b3c + bc3 + c3a + a3c ³ 2a2bc + 2ab2c + 2abc2 ；另一方面，注意到a4 + a4 + a4 + b4 ³ 44 a4 × a4 × a4 ×b4 = 4a3b ，同理，有3a4 + c4 ³ 4a3c ， 3b4 + a4 ³

17、; 4b3a ， 3b4 + c4 ³ 4b3c ，3c4 + a4 ³ 4c3a ， 3c4 + b4 ³ 4c3b ，7 / 11不等式綜合練習（十）不等式綜合能力測試（五）以上六式相加，即8(a4 + b4 + c4 ) £ 4(a3b + ab3 + b3c + bc3 + c3a + a3c)，即a3b + ab3 + b3c + bc3 + c3a + a3c £ 2a4 + 2b4 + 2c4 ，綜上，原不等式得證分析二：利用均值不等式來證明次數低于四次或項數很少的整式對稱不等式，必要時使用待定系數法，這一能力對于培養對對稱性的理

18、解很有幫助而此題的分母缺乏結構，因此不適合用（2）分母換元與（5）放縮通分證明二：（配項均值）a2 + b2a2 + b2a + b+ c ³ 2³ 2 ×= a + b ，2c22b2 + c2c2 + a2+a ³ b + c ，+ b ³ c + a ，同理2a2b三式相加，有a2 + b2b2 + c2c2 + a2+ a + b + c ³ a + b + b + c + c + a ，2c2a2b即a2 + b2b2 + c2c2 + a2+³ a + b + c ；2c2a2b（右邊不等式略）證明三：（約分）

19、2æ³öæ a2 + b2 + b2 + c2öc + a22a2 + b2b2 + c2c2 + a2()+a + b + c+ç÷ç÷2c2a2b222èøèøc + a ö2æ a + bb + c= (a + b + c)2³ ç+÷è222øa2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2³ a + b + c即2c2a2b8 / 11不等式綜合練習（十）不等式綜合能力測

20、試（五）（右邊不等式略）證明四：（排序不等式）根據對稱性，不妨設a £ b £ c ，則a2 £ b2 £ c2 ， 1 ³ 1 ³ 1 ，abca2b2c2a2b2c2+³+= a + b + c （亂序和大于逆序和）cababcb2c2a2同理+³ a + b + c （亂序和大于逆序和）caba2b2c2b2c2a2³ 2(a + b + c) ，兩式相加，得+cabcaba2 + b2b2 + c2c2 + a2+³ a + b + c ；即2c2a2bQ a £ b 

21、3; c ，111 a3 £ b3 £ c3 且££，bcacaba3b3c3a3b3c3a2b2c2+³+=+（順序和大于亂序和）bccaababbccabcaa3b3c3a3b3c3a2b2c2同理+³+=+（順序和大于亂序和）bccaabcaabbccabæ a3öb3c3a2b2c2a2b2c2兩式相加， 2ç+÷ ³+，è bccaab øbcacaba2 + b2b2 + c2c2 + a2a3b3c3+£+即2c2a2bbccaab9 / 1

22、1不等式綜合練習（十）不等式綜合能力測試（五）11（16 分）設min A表示數集 A 中的最小數， max A表示數集 A 中的最大數， a,b Î R+ ；（1）求證： min ìa,bü £2 ；2íýa + b22îþì1a2 + b2ü1（2）求max í, ,ý 的最小值îaabb þ2 時，結論成立；2（1）證明一：當a £2 時，2bb112 ，結論也成立2當a ³£=£=a2 + b21 + b212b12+ b22注：對于二元數集，這樣的分類討論很簡潔，但是當集合中元素過多時，這樣的討論就復雜起來證明二：設m = min ìa,büb，則m £ a ， m £í