1、等差數列前n項和公式教學設計成都市第十二中學 高俊蘭一、設計指導思想與理論依據在講授式的教學中，課堂實施過于注重知識的機械傳授，忽略了學生學習的主體性，也抑制了學生綜合能力的提高和綜合素質的發展。當代學生觀重視學生的自主發展，認為教育就應看到學生的未完成性，給學生創造發展的環境和機會。第斯多惠有一句名言：“一個壞的教師奉送真理，一個好的教師則教人發現真理”。這充分體現了數學學習中的啟發性原則。基于數學學科自身抽象和嚴謹的特點，教師在數學教學活動中就要引導學生自主發現問題，解決問題，培養學生的動手、動腦能力。本堂課以個性化的教學思想為指導進行設計。采用探究活動為主的教學方法，借助教材或教師提供的

2、相關資料讓學生親自去探索得出結論或規律性的知識，培養學生的探究思維能力。因此，我在此堂課的教學中借助圖形拼接演示等差數列的前項和公式，幫助理解，啟迪思路，更加形象地揭示研究對象的性質和關系，也在教學中展示了數學的對稱美。二、教材分析1、教學內容：等差數列前n項和是現行教材高一上冊第三章第三節“等差數列前n項和”的第一課時，主要內容是等差數列前項和的推導過程和簡單應用。2、地位與作用：（1）教材知識編排角度：本節對“等差數列前n項和”的推導，是在學生學習了等差數列通項公式的基礎上進行，其學習平臺是學生已掌握等差數列的通項性質以及高斯算法等相關知識。對本節的研究，為以后學習數列求和提供了一種重要的

3、思想方法倒序相加法，也為高三運用數學歸納法證明數列型的不等式奠定良好的基礎，具有承上啟下的重要作用。（2）解決問題方法角度：數列是特殊的函數，其前項和公式是數列的前項和與之間的函數解析式。從這個角度出發，尋求等差數列的前項和公式的本質就是尋求與之間的函數關系式。這一概念將有助于學生自主探求等差數列前項和公式。因此，問題的被動解決過程有效的轉化成了學生的主動探求過程。在探求之中，采用了頭腦風暴訓練法，討論多多益善，為學生的發散思維提供了更加廣闊的空間。（3）培養學生能力角度：等差數列前項和公式的探討遵循了“提問預測析疑總結”的問題解決模式，將整個探求過程交由學生主宰，充分調動學生積極性，發揮學生

4、的主體地位，對學生“提出問題理解問題分析問題解決問題評價問題”的能力起到了良好的訓練作用，加強和提高了學生解決問題的能力。三、學情分析1、學生已掌握的理論知識角度：學生已經學習了等差數列的定義及通項公式，掌握了等差數列的基本性質，有了一定的知識準備。2、學生了解數列求和歷史角度：大部分學生對高斯算法有比較清晰的認識，并且知道此算法原理，但在高斯算法中數列1，2，3，100只是一個特殊的等差數列，對于一般的等差數列的求和方法和公式學生還是一無所知。3、學生的認知規律角度：本節課采取了循序漸進、層層深入的教學方式，以問題解答的形式，通過探索、討論、分析、歸納而獲得知識，為學生積極思考、自主探究搭建

5、了理想的平臺，讓學生去感悟倒序相加法的和諧對稱以及使用范圍。四、教學目標1、類比高斯算法，探求等差數列前項和公式，理解公式的推導方法；2、能較熟練地應用等差數列前項和公式解決相關問題；3、經歷公式的推導過程，體會層層深入的探索方式，體驗從特殊到一般、具體到抽象的研究方法，學會觀察、歸納、反思與邏輯推理的能力；4、通過生動具體的現實問題，激發學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感，體驗在學習中獲得成功；5、通過學生搜集歷史名題，讓學生了解數學史中等差數列的發展，引發學生用所學知識對前人的解法進行思考與探究；通過有關內容在實際生活中的應用，

6、使學生再一次感受數學源于生活又服務于生活的實用性，引導學生要善于觀察生活，體會數學的實用價值，并學會用數學知識解決實際問題。五、教學重點與難點1、教學重點：等差數列前項和公式的推導和應用2、教學難點：公式推導的思路3、重難點解決的方法策略：本課在設計上采用了從特殊到一般、從具體到抽象的教學策略。利用分類討論、類比歸納的思想，層層深入。通過學生自主探究，分析、整理出推導公式的不同思路，同時，借助多媒體的直觀演示，幫助學生理解，并通過范例后的變式訓練和教師的點撥引導、師生互動、講練結合，突出重點、突破難點。六、核心問題 類比高斯算法，探求一般等差數列的前n項和公式。七、教學媒體媒體類型媒體展示內容

7、媒體作用多媒體圖片、倒序相加的圖片演示創設問題情境，提出問題實物投影儀學生作品展示小組成果八、教學流程創設問題情境，提出問題探究等差數列前項和公式公式理解和深化公式應用，反饋評價歸納總結，升華認知九、教學過程設計（一）創設情景，提出問題欣賞圖片泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是17世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建。它宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲嵌，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，奢靡之程度，可見一斑。問題1：你能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？教師活動：利用多媒體，

8、展示泰姬陵的圖片，并截取出三角形寶石圖案，引導學生觀察寶石數目變化情況。學生活動：欣賞之余觀察三角形中寶石變化情況并嘗試解決問題1.活動預設：（1）能得到的信息：從上到下，寶石數目以1為公差依次遞增，構成等差數列。（2）需要解決的問題：100層中究竟共有多少顆寶石？【設計意圖】（1）教師先用多媒體展示彩圖呈現的問題，使學生進入問題情境，激發學生的興趣，并使學生體會數學來源于生產生活。（2）以問題的提出作為引入方式，使學生帶著問題學習新課，更有目的性。（二）探究等差數列前n項和公式教師活動：指出此數列的求和方法在1787年已被高斯解決，征求高斯故事。學生活動：學生根據課前的搜集簡介高斯“神速求和

9、”的故事：小高斯上小學四年級時，一次數學老師布置了一道數學習題：把從1到100的自然數加起來，和是多少？年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案：5050，這使老師非常吃驚。問題1：高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出答案的呢？教師活動：指導學生快速找出規律。學生活動：高斯算法解決：1 + 2 + 3 + + 50 + 51 + + 98 + 99 + 100=？活動預設：高斯算法：1+100=101,2+99=101，50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050問題2：在高斯算法中實際上利用了等差數列通項的哪種性質？教師活動：引導學生思考高斯算法的技巧性及理論依據。學生活

10、動：利用高斯算法計算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隱藏的等差數列項的何種性質。活動預設：構造數列：，則有性質：等差數列中，若，則。【設計意圖】高斯算法首尾組合的思想揭示了等差數列“角標和相等，對應的項和相等”的特征，為等差數列前項和公式的推導的“倒序相加法”做好鋪墊，開啟了更深入、更細致的研究大門。問題3：你能否利用高斯算法解決一般等差數列的求和問題？方法1：分類討論法教師活動：給出一般數列：設等差數列前項和為，則如何用有限的項表示？說明：只是給出了等差數列前項和的形式定義，而我們推導的求和公式是在等差數列確定的情況下，探究與之間所滿足的對應關系，即尋求或的表達式。學生活動：類比高斯算法

11、，分小組討論并探求等差數列前項和公式。活動預設：以小組為單位投影學生推導過程，并讓其對過程做出解釋和說明。其中結果預測：（1）學生沒有對的奇偶進行討論，不嚴密地得出答案；（2）學生對的奇偶進行討論，但對于是奇數時的推導遇到障礙。問題4：利用等差數列性質：若，則。得出：，究竟一共有多少個？教師活動：提出問題，引導學生討論，并抽小組成員發表本組觀點。學生活動：再次以小組為單位以的奇偶為標準對前項和公式進行求解。活動預設：（1）當為偶數時： （2）當為奇數時：問題5：落單了，如何處理使得我們公式能夠統一形式？教師活動：提示學生觀察的腳標與腳標的關系。學生活動：以小組為單位討論的處理辦法。活動預設：不

12、難發現，的腳標與腳標滿足如下關系：，故有從而得到：無論取偶數還是奇數，都有。【設計意圖】（1）類比高斯算法將首尾分組進行“配對”，發現需要對的奇偶進行討論，順應學生思路，自然過渡，學生容易聯想，也充分體現了新課改中尊重學生主體性的原則；（2）引導學生發現中間項的解決辦法的過程中，進一步讓學生體會研究數列實際上就是對腳標數的研究。方法2：倒序相加法問題6：對的奇偶討論過于復雜，能否回避對的討論呢？教師活動：回到開始三角形寶石圖片，假設有層，如何快速計算寶石總數？給出提示：將三角形寶石做倒置再和原來三角形寶石拼接成平行四邊形。學生活動：計算拼接之后的寶石數量。活動預設：拼接之后每一層的寶石數量為，

13、總共有層，所以又。由此引入倒序相加法：由性質“若，則”可得：（等差數列前項和公式）【設計意圖】（1）數學問題的解決講究最優化原則，因此引導學生利用圖形倒置進而聯想算式的倒序是非常必要的，也讓學生體會到數學方法的多樣性，但需要尋求高效率的方法；（2）倒序相加求和法是數列求和常用方法之一，方法比公式本身更為重要，也為以后數列求和的學習做好鋪墊；（3）圖形的倒置展示讓學生感受數學的對稱美以及如何運用數學知識拼接出美麗的圖案。（三）公式理解和深化公式一、問題1：此公式中有哪些變量，已知哪些量可求另外量？教師活動：引導學生找出變量學生活動：觀察公式，找出變量。活動預設：此公式中，共有四個變量：，可知三求

14、一。【設計意圖】讓學生從變量上理解公式，從形式上初步了解如何由已知探求未知，在頭腦中初步建構公式的適用情況。問題2：此公式還可進行怎樣的變形？教師活動：引導學生從下手對公式進行變形，投影學生的變形過程。學生活動：嘗試對公式進行變形。活動預設：公式二、【設計意圖】（1）讓學生學會在舊知與新知之間搭建橋梁，運用舊知鞏固新知，利用舊知得出新知；（2）體會知識之間的整體性和關聯性，感受運用舊知推導新知的成功和喜悅。問題3：觀察、對比公式一、二，你能得出什么結論有利于你解題時對公式進行篩選？教師活動：引導學生從兩個公式中的變量進行總結。學生活動：總結出兩公式的區別及適用情況。活動預設：（1）在兩個公式，

15、五個變量中：，可知三求二（2）若已知，優先選用公式一，若已知，優先選用公式二。【設計意圖】通過兩公式的對比研究，可進一步加深學生對公式的記憶，公式一、二的區別可提高學生的做題速度和質量，再一次體現了數學的簡潔美和精準性。問題4：等差數列的通項公式是的一次函數，類比可得與有什么樣的函數本質？教師活動：引導學生對公式二進行變形，寫的函數關系式，投影學生結果。學生活動：對公式二進行變形，將整理成關于的二次函數型。活動預設：公式二變形可得：，有了這一函數本質后，可利用函數觀點解決等差數列求和的最值問題。反饋練習：下列表達式中不可表示等差數列前項和的是（ ）A. B. C. D.【設計意圖】：（1）通過

16、此題可幫助學生理解數列是特殊的函數，進一步鞏固學生對的把握，加深印象；（2）此題進一步說明當表達式為A、B、D三種形式時分別對應何種特殊等差數列；（3）函數與數列的關系就是舊知和新知的有效聯系，并為以后借助函數解決等差數列中的最值、單調性等問題埋下伏筆。（四）公式應用、反饋評價例1、求正整數中前個奇數的和。教師活動：分析解決問題，組織學生交流、討論，引導學生將文字語言轉化為數學語言，再進行公式的應用。學生活動：將文字語言轉化為數學語言后再進行公式的選擇。【設計意圖】透過此題，培養學生數學語言提煉能力，熟練地選取恰當的公式進行求解。例2、等差數列的前項和為,已知,求：（1）求通項；（2）若，求；

17、（3）求。教師活動：引導學生仔細審題，找出相關已知量，將已知和未知建立聯系，將舊知與新知結合解題，尋求解題最簡便的方法，投影學生解題過程并引導學生進行評價。學生活動：交流、討論，選取最優方法。變式：在等差數列中，為其前項和（1）已知,求（2）已知，求。教師活動：從例2的第3小問出發，引導學生利用通項性質求和。學生活動：運用通項性質“等差數列中，若，則”巧解變式。【設計意圖】讓學生理解前項和公式的另一變形：，其中。再次對通項性質進行鞏固。（五）歸納總結，升華認知問題1：通過本堂課的學習，你有哪些收獲？教師活動：鼓勵學生積極回答，暢所欲言，再幫助學生將知識系統化。學生活動：學生各抒己見，總結，談體

18、會活動預設：（1）公式探究過程：特殊到一般，具體到抽象，感性到理性。 （2）根據已知合理選擇公式，并能靈活應用公式的變形。 （3）數學思想方法和思維方法：倒序相加法，類比，文字語言與數學語言的等價轉化，數學實際應用。【設計意圖】學會反思，及時歸納總結，通過獨立思考，自我評價學習效果，發現問題、解決問題，養成良好的反思習慣。問題2：你知道數學史中有關數列的故事或題型嗎？教師活動：本堂課之前要求學生課后查閱數學史中有關等差數列求和的案例。學生活動：學生主動發言，將事先搜索的故事或題型與大家一起分享。活動預設：（1）張丘建算經：今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖，問織幾何？

19、（數學語言描述：已知等差數列中，求。）（2）萊因得紙草五人按等差數列分100片面包，最少的兩份之和是另外三份的，每人分得多少？【設計意圖】讓學生了解中外數學史中等差數列的發展，引發學生用所學的知識對前人的解法進行思考和研究，激發學生探求未知的好奇心和數學學習興趣，學會將文字敘述題轉化為數學符號表示的問題，對學生的數學史觀養生影響。（六）課后作業：1、（必做）教材習題3.3-2，3，5，6，72、（選做）（1）已知，若，求。（2）（03上海春招）設，利用課本中推導等差數列前項和的公式方法，可求得的值為 。【設計意圖】必做題旨在鞏固“雙基”，選做題主要針對學有余力的同學拓展能力，層次分明，有效地避免了學生“吃不了、吃不飽”的現象，也尊重了學生發展的個體差異性。十、板書設計一、等差數列前n項和：二、公式的推導方法一：分類討論法方法二：倒序相加法三、深化公式公式1、公式2、變形： （主板書）四、例題及解答 （副板書）（輔助性板書）3.3等差數列前n項和十一、教學反思1、教學設計的反思建構主義理論的核心用一句話可以概括為：以學生為中心，強調學生對知識的主動探索、主動發現和對所學知識意義的主動建構。基于這一核心，本節課有如下幾個特點：（1）注重學生主動建構知