1、極限計算方法總結(jié)高等數(shù)學是理工科院校最重要的基礎(chǔ)課之一，極限是高等數(shù)學的重要組成部分。求極限方法眾多，非常靈活，給函授學員的學習帶來較大困難，而極限學的好壞直接關(guān)系到高等數(shù)學后面內(nèi)容的學習。下面先對極限概念和一些結(jié)果進行總結(jié)，然后通過例題給出求極限的各種方法，以便學員更好地掌握這部分知識。一、極限定義、運算法則和一些結(jié)果1定義：（各種類型的極限的嚴格定義參見高等數(shù)學函授教材，這里不一一敘述）。說明：（1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：；等等 （2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。2

2、極限運算法則定理1 已知 ，都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有 （1）（2）（3） 說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。3兩個重要極限（1） （2） ； 說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式， 作者簡介：靳一東，男，（1964），副教授。例如：，；等等。 4等價無窮小 定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。定理3 當時，下列函數(shù)都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有： 。說明：當上面每個函數(shù)中的自變量x換成時（），仍有上面的等價關(guān)系成立，例如：當時， ； 。 定理4 如果函

3、數(shù)都是時的無窮小，且，則當存在時，也存在且等于，即=。5洛比達法則 定理5 假設(shè)當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)和滿足：（1）和的極限都是0或都是無窮大； （2）和都可導，且的導數(shù)不為0； （3）存在（或是無窮大）； 則極限也一定存在，且等于，即= 。說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“”型或“”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。6連續(xù)性 定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義

4、去間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點，則有 。7極限存在準則 定理7（準則1） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 定理8（準則2） 已知為三個數(shù)列，且滿足：（1） （2） ， 則極限一定存在，且極限值也是a ，即。二、求極限方法舉例1 用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限例1 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達法則。例2 解：原式= 。例3 解：原式 。2 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限例4 解：因為是函數(shù)的一個連續(xù)點， 所以 原式= 。3 利用兩個重要極限求極限例5 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達法則。例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。4 利用定理2求極限例8 解：

5、原式=0 （定理2的結(jié)果）。5 利用等價無窮小代換（定理4）求極限 例9 解：，原式= 。例10 解：原式= 。注：下面的解法是錯誤的： 原式= 。 正如下面例題解法錯誤一樣： 。例11 解：， 所以， 原式= 。（最后一步用到定理2）6 利用洛比達法則求極限說明：當所求極限中的函數(shù)比較復雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續(xù)使用。例12 （例4）解：原式= 。（最后一步用到了重要極限）例13 解：原式= 。例14 解：原式= 。（連續(xù)用洛比達法則，最后用重要極限）例15 解：例18 解：錯誤解法：原式= 。 正確解法：應該注意，洛比達法則并不是總可以

6、用，如下例。例19 解：易見：該極限是“”型，但用洛比達法則后得到：，此極限不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：原式= （分子、分母同時除以x） = （利用定理1和定理2）7 利用極限存在準則求極限例20 已知，求解：易證：數(shù)列單調(diào)遞增，且有界（02），由準則1極限存在，設(shè) 。對已知的遞推公式 兩邊求極限，得： ，解得：或（不合題意，舍去）所以 。例21 解： 易見：因為 ，所以由準則2得： 。上面對求極限的常用方法進行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會。另外，求極限還有其它一些方法，

7、如用定積分求極限等，由于不常用，這里不作介紹。 極限與連續(xù)的62個典型習題習題1 設(shè)，求 .解 記，則有，.另一方面 .因為 ，故 .利用兩邊夾定理，知，其中 .例如 .習題2 求 .解 , 即 . 利用兩邊夾定理知.習題3求.解 習題4求 .解（變量替換法）令，則當時，于是, 原式.習題5 求.解（變量替換法）令，原式. 習題6 求 (型)。為了利用重要極限，對原式變形習題7 求. 解 原式 .習題8求 . 解 由于.而.故 不存在。習題9研究下列極限 （1）.原式，其中，. 上式極限等于0，即.（2）.因為，, 所以 .（3）. 原式.習題10計算.解 原式.習題11 .習題12 已知 ，

8、求的值。解 首先，原式， ，而 .習題13 下列演算是否正確？. 習題14 求.解 原式.習題15 求 . 解 ，原式 = 0.習題16 證明 （為常數(shù)）。證 （令）.習題17 求 .解 原式.習題18 求 . 解 (連續(xù)性法)原式 .習題19 試證方程 （其中）至少有一個正根，并且它不大于.證 設(shè)，此初等函數(shù)在數(shù)軸上連續(xù)，在上必連續(xù)。 而 若，則就是方程的一個正根。若，則由零點存在定理可知在內(nèi)至少存在一點，使.即故方程 至少有一正根，且不大于.習題21 求. 解 原式.習題20 設(shè)滿足且 試證 證 取使得當時有即 亦即于是遞推得 從而由兩邊夾準則有 習題22 用定義研究函數(shù) 的連續(xù)性。證 首

9、先，當是連續(xù)的。同理，當也是連續(xù)的。而在分段點處 故習題23 求證 .證 ，而.由兩邊夾定理知，原式成立.習題24 設(shè)任取記 試證 存在，并求極限值。證 故由題設(shè) 由于故單調(diào)有下界，故有極限。設(shè)由解出（舍去）。習題25 設(shè) 求解 顯然有上界，有下界當 時即假設(shè) 則故單增。存在。設(shè)則由得即（舍去負值）。當時，有用完全類似的方法可證單減有下界，同理可證 習題26 設(shè)數(shù)列由下式給出 求 解 不是單調(diào)的，但單增，并以3為上界，故有極限。設(shè)單減，并以2為下界，設(shè) 在等式兩邊按奇偶取極限，得兩個關(guān)系 ，解出由于的奇數(shù)列與偶數(shù)列的極限存在且相等，因此的極限存在，記于是故有解出（舍去負值）習題27 設(shè)試證 收

10、斂，并求極限。證 顯然假設(shè)則由，可解出（舍去 ）。下面證明收斂于由于，遞推可得 由兩邊夾可得故 習題28設(shè)試證（1）存在；（2）當時，當時，證 顯然有又單減有下界。收斂。令在原式兩邊取極限得由此可解出或當時，歸納假設(shè)則而，有 因此時即時）。當時，由的單減性便知即當時，即 （當時）。習題29 習題30 若收斂，則證 收斂，設(shè)故必有界。設(shè)因此而習題31 求 變量替換求極限法（為求有時可令而）習題32 求 （為自然數(shù)）解 令則 因此 習題33 求解 令且當時故 原式習題34 求解 先求令 則上式 故原式用等價無窮小替換求極限習題35 求解 記原式= 習題36 設(shè)與是等價無窮小，求證（1）（2）證 即

11、其中故 （2） 習題37 設(shè)為自然數(shù)，試證使證 （分析：要證使即要證有根） 令，顯然在上連續(xù)，于是記則又對函數(shù)應用介值定理，知使即存在使習題38 設(shè)證明使證 （分析：將結(jié)果變形）記則于是 或 由介值定理知即 習題39 設(shè)且證使證 反證法。若不存在點使即均有連續(xù)，不妨設(shè)恒有于是此與矛盾。故使習題40 設(shè)且又證明至少有一點使證 故在上有最大值和最小值,使 于是 由介值定理，知使習題41 證明方程至少有一個小于1的正根。證 設(shè)顯然但使即方程至少有一個小于1的正根存在。習題42 設(shè)連續(xù)，求解 故由于在=1，-1處連續(xù)，所以習題43 試證方程至少有一個實根。證 做函數(shù) 顯然使即在內(nèi)必有實根。習題44 求

12、的連續(xù)區(qū)間。（解：先改寫為分段函數(shù)，結(jié)論為：習題45 求為何值時，函數(shù)，在上處處連續(xù)。只需討論分段點處的連續(xù)性：要在處連續(xù)，必有習題46 設(shè)，定義 求 解 有下界即有又，即單減有下界，故有極限。設(shè)且有有（舍去負根）（注意：先證明極限的存在是必要的。）習題47（解： 單增有上界，可解出極限）習題48 設(shè)且證明使 證 若則取若則可取 則令必有且由零點定理知使即習題49 (選擇題)設(shè)在內(nèi)有定義，連續(xù)且有間斷點，則(A) 必有間斷點，(B) 必有間斷點，(C) 必有間斷點，(D) 必有間斷點.解 選D（(A) 因的值域可能很小。(B)反例 而無間斷點。(C) 總有定義。習題50 證明方程至少有一個正根

13、，且不超過證 設(shè)而如果則即為的零點.如果則由介值定理知使即為所求,故原命題成立.習題51 若函數(shù)可以達到最大值和最小值，求證 證 設(shè)則對任意有或有由的任意性，可知習題52 設(shè)且恒大于零，證明在上連續(xù).證 任取由于在處連續(xù)且大于使當時（若為左端點，則應為類似處理有可找到使當時有 取則當時，有故知在處連續(xù)。由的任意性，知在上連續(xù).習題53 設(shè) 試討論在處的連續(xù)性.解時，在處連續(xù)，時， 為的跳躍間斷點（第一類間斷點).當時為第二間斷點。習題54 設(shè)函數(shù) 問當在處連續(xù)。 解即時，在處連續(xù)。習題55 求函數(shù)的間斷點，并判定其類型.解 因當（為任一整數(shù)）時，是的間斷點。再細分，當時， 不存在，故除處的任何整數(shù)都是的第二類間斷點。因亦即是的第一類（可去）間斷點.習題56 求函數(shù)的間斷點并判定其類型。解 的分段點為 是的第一類（跳躍）間斷點。當時，在點處，無意義，故是的間斷點。因為是第一類（可去）間斷點。顯然都是極限為的第二類間斷點。當時，在點時，沒定義，故是的間斷點。又不存在，故為第二類間斷點。習題57 設(shè)函數(shù)且試證 證 因為連續(xù)，所以在上有界。又因為 所以當時，恒有取則存在自然數(shù)使得.記，則且 于是 下面估計上式右邊三項的絕對值。 （1）=（2）因為在上有界，即使.故當時，恒有