1、72020 屆江蘇省南通市海門中學高三上學期10 月第一次教學質量檢測數學試題一、填空題1 1 .函數f x 1 sin 2x的最小正周期為 _. .【答案】；【解析】 直接利用正弦型函數的周期公式計算可得；【詳解】解：因為f x 1 sin2x2所以f X 1 sin2x的最小正周期T 2故答案為：【點睛】本題考查正弦型函數的最小正周期的計算，屬于基礎題2 2.已知集合A 0,1,2,3,4,B x log3x 1,則AI B _【答案】1,2,3；【解析】首先求出集合B，再根據交集的定義計算可得；【詳解】解：因為Bx log3x 1,所以B x 0 x 3, 又因為A 0,1,2,3,4所

2、以Al B 1,2,3故答案為：1,2,3【點睛】本題考查交集的運算，屬于基礎題 3 3 .在ABC中，若A 60,AC 2,BC J7，則sin B的值為_【答案】第 1 1 頁共 2121 頁第2 2頁共 2121 頁【解析】根據正弦定理計算可得；【詳解】解：因為A 60,AC 2,BC ,7,由正弦定理可得即7-sinA sinBsin 60故答案為：旦7【點睛】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎題則實數 a a 的最大值為【答案】3 3 ；取值范圍，即可得解;【詳解】故a的最大值為3故答案為：3【點睛】 本題考查根據充分條件求參數的取值范圍，屬于基礎題5 5 .函數f(x) ilog1

3、(4x 3)的定義域為 _3【答案】(3,14【解析】試題分析：根據題意，由于函數f (x) log1(4x 3)，則使得原式有意義的3x x 的取值范圍滿足 4x-31,4x-34x-31,4x-31，故可知所求的定義域為(一，1。4【考點】函數的定義域 點評：主要是考查了對數的定義域的運用，以及函數的定義域的求解，屬于基礎題。2，解得sin Bsin B,2174 4 .已知集合A x x1. .若“A”是不等式a 42a1成立”的充分條件,【解析】 首先求出集合A，再根據充分關系，得到不等式組2a1，解得參數的1解：因為A xxA x| 1 x 1，又因為“A”是不等式a 4x 2a 1

4、成立”的充分條件,所以2a 11a 41，解得1 a第3 3頁共 2121 頁【詳解】故答案為:【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用及平面向量的加減運算，屬于基礎題.r r r rr r、5【解析】由 a a b b，得agp 0，再用兩角差的正弦公式展開得到sinsin2 2最后利用同角三角函數的基本關系計算可得 【詳解】解：因為a1,2sin,b sin,136 6.在ABC中，已知 D D 是BC邊的中點，E E 是線段AD的中點若UUBEuuuABUJUAC,的值為【答案】【解析】12；Uz uuu將AB，uuuuuuAC作為基底，表示出BE即可.agDagDsinsin2si2si

5、 n n0 0 ,sinsin coscoscoscos sinsin 2sin2sin3 33 33 3uuuu解：由題意，BEBEuuuuuruurBABA AEAEuuuuuu 1 1 uuruurABAB ADAD2 2uuuuuu 1 11 1ABAB - -2 2 2 2LUTLUTuuuuuu ABAB ACAC3uuinuuin3ABAB4 41 1 uuruur- -ACAC ,uuuuuu BEABUUTnsi2sin ,1,3R, a a b b，則tan的值為_coscosE第4 4頁共 2121 頁sinsin 故答案為：乜5【點睛】本題考查平面向量的數量積的坐標運算

6、,三角恒等變換及同角三角函數的基本關系的應用，屬于基礎題8 8 .曲線y exx在x 0處的切線方程為 y y kxkx b b，則實數b _. .【答案】1 1;【解析】首先求出函數的導函數，求出切點坐標，再用斜截式求出切線方程，即可得解. .【詳解】解：因為y f x exx,所以f x ex1，所以f 01,f 02,故曲線在x 0處的切線過0,1且斜率k 2，故切線方程為y 2x 1所以b 1故答案為：1【點睛】本題考查導數的幾何意義，求函數在一點處的切線方程，屬于基礎題【答案】;2【解析】由冋角三角函數的基本關系及兩角和的正弦公式、一倍角公式化簡可得【詳解】sin A1tan Aco

7、s A解：因為11 cosAsin2AtanBsin BcosBcosAsinB sin AcosBcos As in B1 1sisin n2 22os2os2sin2sin2 25 5 . .sinsin2 22os2os2 2sin Asin Btatacoscos 5 59 9 .在ABC中，若C=4，且1sin2A1巫，則匹的值為tan BACACsin AcosB1 - cos As inB第5 5頁共 2121 頁sin A Bsin CcosAsin BcosAsin B1sin C2sin AcosAcosAsin B1sin4，又C=72sin AcosAcosAs in

8、Bsin A 2sin B 2由正弦定理得ab2即空2ACAC故答案為：丄22【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系，三角恒等變換以及正弦定理的應用，屬于中檔題1010 .已知函數2，則不等式f x x f 2x 2的解集為【答案】1,11,1 ;【解析】將函數寫成分段函數的形式，分析其單調性, 將函數不等式轉化為自變量的不等式，從而解得;【詳解】解：因為f x1,x2當x 2時，f,2上單調遞增,因為f x2x 22x所以2x故答案為:【點睛】，解得2x 21,1,1 1本題考查分段函數的性質,x x 1 1，即x函數的單調性的應用,1,1元二次不等式的解法， 屬于基礎題. .第6 6頁共

9、2121 頁uuuuuiruunmu1111在ABC中，BACBAC60,AB 4,AC 6,AB 2AD，AE 2EC，UULTnrtuuu uuir /2FD，貝V BF DE的值為【答案】4 4 ；【解析】運用向量的數量積的定義和向量的三角形法則，結合向量的平方即為模的平方,【詳解】【點睛】本題考查向量的數量積的定義和性質，主要考查向量的三角形法則和向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題.1212 已知函數f x是定義在 R R 上的奇函數，f X 4 f x. .若2x0時，2f X x ax 2，則實數 a a 的值為_ . .【答案】1;uuuEF注意運用平面向量基本定理

10、，將所有向量統一為AB、AC的式子，計算即可得到.解：由AB 4，AC 6，BACBAC6060 ，UUUUUU UULTUULT即有 ABgACABgAC 4 46 6 cos60cos601 1242 212，UUUUUU UJLTUJLT貝 U U BFgDEBFgDEUULTUULT(DF(DFUULTUULT UUUUUUDB)gAEDB)gAEUULTUULTAD)AD)1 1UJITDEDE3 31 1 uuuuuuABAB2 22 2 uuuuuuACAC3 31 1 UJUUJUABAB2 22UJITUJITACAC9 91 1 UUJUUJABAB6 61 1 uuuuu

11、u2ABg2 2 UULTUULT 1 1 UUUUUUACAC ABAB3 32 2ACAC-AB-AB27273 34 41 13636-16-1627273 34.5 5 uuuuuu-AB-AB9 9故答案為:4 4 uuiTuuiT21 1UJU24 4.5 5 1212第7 7頁共 2121 頁【解析】 根據函數的奇偶性和周期性求出f 2 f 2 0，利用代入法進行求解即可.【詳解】第8 8頁共 2121 頁解：Q f(x)是定義在R上的奇函數，且f x 4 f x當x2時，f f 2 24 4f f 2 2f f 2 2 ,即f f 2 2f f 2 2，貝 y yf 2f 20

12、,Q當2x 0時，fx2小x ax 2.f f2 222 22a2a2 20 0，得a1,故答案為：1【點睛】本題主要考查函數奇偶性和周期性的應用，利用定義法求出f 2 0是解決本題的關鍵，屬于基礎題.31313.若函數f(x) x ax | x 21,x 0存在零點，則實數 a a 的取值范圍為 _【答案】2,【詳解】x3x 2,xxx3x 2門,0 x2【解析】函數f(x) x3ax |x 2|,x0存在零點，等價于x3ax | x 2 | 0,在x 0,上有解，即函數ya與yx3|xx21在x0,上有交點，令g x-比_21求出函數在0,上的值域，即可得到參數a的取值范圍. .解：因為函

13、數f (x)ax | x 2 |,0存在零點,等價于x3ax | x2|0,在x0,上有解,X3|x 2|在xx0,上有解,即函數|x 2 1在xx0,上有交點,當x 2時，g x2x第9 9頁共 2121 頁20,即g x在2,上單調遞x第1010頁共 2121 頁增，所以g x g 23；0,解得1 x 2，即g x在1,2上單調遞增，在故g x在0,上的值域為2,所以a 2,故答案為：2,【點睛】本題考查函數的零點，利用導數研究函數的最值，屬于中檔題ax 2,x01414 .已知函數f x3的值域為2,，則實數 a a 的取值范圍為 _x ax, x 0【答案】3,0【解析】首先由函數的

14、值域可知 a a 0 0,即可求出當x 0時函數的值域，再利用導數求出函數在x 0時的單調性與最值，從而得到不等式組，解得即可【詳解】ax 2,x 0解：因為f x3的值域為2,x ax, x 0故 a a 0 0當Ox2時，g xx3x 2x222 x 1 x x 12x -2 2xx0,1上單調遞減，所第1111頁共 2121 頁當x 0時，fax,0上單調遞減,fXminf 02，即當x 0時,xmin2,0時，fax，則fc 23x a0，即f x上單調遞增,在 0,0, JgJg 上單調遞增,時，f時,xx在取得極小值，也就是最小值第1212頁共 2121 頁因為函數的值域為2,故答

15、案為：3,0【點睛】 本題考查分段函數的性質的應用，利用導數研究函數的單調性與最值，屬于中檔題 二、解答題11515 在ABC中，角 A A, B B, C C 所對應的邊分別為 a a, b b, c c,cosC -. .32 2（J若c a b 4，求ABC的面積；(2(2)若二46c，求sin A的值. .cosB cosC【答案】（1 1）邁（2 2）3 26【解析】（1 1）由已知條件及余弦定理可得ab 3，再由同角三角函數的基本關系求出sinC，最后由面積公式計算可得；（2 2）首先由正弦定理可求得tanB .,3，得到B,再由兩角和的正弦公式計算可3得；【詳解】2解:(1)因為

16、c2a b 4，所以a2b2c22ab 4，1因為a2b2c22abcosC，且cosC -,33ab 2ab 4，所以ab 3. .1因為cosC,0 C,3所以sinC .1 cos2C J2,3A所以ABC的面積為S -absinC222解得3 a 0，即a3,0第1313頁共 2121 頁(2 2)因為二笑6C，以及正弦定理 cosB cosCsi nB si nC所以4si nBsi nC43,cosB cosC所以tan B . 3,又因為OB，所以B3因為ABC,所以si nAsin C3732邁6【點睛】本題考查正弦、余弦定理及三角形面積公式的應用，同角三角函數的基本關系及三角

17、恒等變換的應用，屬于中檔題 (1)試判斷函數f x的單調性，并證明你的結論;(2 2)若對x 0,2，不等式f tx 2 f x 4成立，求實數 t t 的取值范圍. .【答案】(1 1)f x在0,上單調遞增，在,0上單調遞減，證明見解析；(2 2)0,2【解析】(1 1)利用導數求出函數的單調區間；(2 2)首先判斷函數為偶函數，然后將函數不等式轉化為自變量的不等式tx 2 x 4，因為x 0,2，所以tx 24 x，所以x 4 tx 24 x，即26261 -t1，從而求出1及1即可得解. .xxXmaxxmin【詳解】解：(1)函數f x在0,上單調遞增， 在,0上單調遞減sin co

18、sC3coss inC31616 .已知函數2x第1414頁共 2121 頁證明：因為f x 2x2x1所以f x2xln22xln 2xln22xln2 2x2xln2,2當x0時，2x2x，而In 20,所以fx0,當x0時，2x2x，而In 20，所以fx0所以函數f x在0,上單調遞增，在,0上單調遞減. .(2 2)因為f x 2x2x,f(- x)= 2-x+2x,所以f x f x，即函數f x是偶函數，又因為f tx 2 f x 4，所以f tx 2 f x 4所以由(1 1)得tx 2 x 4，又x 0,2，所以tx 24 x，所以x 4 tx 24 x，即1- t61，x

19、x 因為x 0,2，所以1-0，612，x x因為對x 0,2，不等式f tx 2 f x 4成立，所以0 t 2，即實數 t t 的取值范圍為0,2. .【點睛】本題考查利用導數求函數的單調區間，函數的奇偶性的應用，屬于中檔題1717.已知1 0_,ta n24,sin2，235(1 1) 求tan的值；(2 2) 求cos2的值. .【答案】 (1 1)tan-(2 2)5【解析斤】(1 1) 由二倍角的正切公式計算可得；(2 2) 由(1 1)tan2，利用 冋角三角函數的基本關系求出sin、cos、cos第1515頁共 2121 頁再用二倍角公式及兩角差的余弦公式計算可得【詳解】 解：

20、(1 1)因為tan2所以2tan21 tan所以竺cos【點睛】 本題考查同角三角函數的基本關系及三角恒等變換的公式的應用，屬于基礎題 1818 .某農場計劃設計建造一條 20002000 米長的水渠，其橫斷面如圖所示 其中，底部是半徑3為 1 1 米的圓弧AB，上部是有一定傾角的線段AD與BC，渠深MN為米，且圓弧AB2的圓心為 O O 在MN上，AD OA, BCBC OBOB ,AD BC,AB/DC. .據測算，水渠即2tan23tan解得tan2或tan因為02，所以tan2. .(2(2)由(1 1)tan又sin2cos2所以sin2_55cos因為sin所以cos2sin2、

21、55所以sin 22sin coscos22cos 2sin所以coscoscos2 sin sin 2第1616頁共 2121 頁5底部曲面每平方米的造價為百元，上部矩形壁面每平方米的造價為1 1 百元，其他費3（1 1）試用表示水渠建造的總費用f（單位： 百元）；（2 2）試確定的值，使得建造總費用最低 . .【答案】（1 1）1 2cos100f2000(2)sin323【解析】（1 1） 過 B B 點作BE CD于點E E,設MN與AB交于點 F F，則結合題設條件有BE MF1cos，BCD， 所以ADBCBE所以2sinf 2000 AD BC5%計算可得；3（2 2）求出函數的

22、導函數，分析其單調性與極值即可得解. .【詳解】解：（1）因為底部圓弧AB所在的圓的半徑為 1 1，BON所以弧長AB 2，過 B B 點作BE CD于點 E E，設MN與AB交于點 F F,則結合題設條件有2 cos，BCD所以BC堡sincos2sin1 2cos2si n所以AD BC1 2cos2s in用忽略不計 設BON，0-2第1717頁共 2121 頁2cos 1 5cos 423si n1令f0，則cos2，因為0i，則30,0,3 333 3,_,_2 2ff極小值Z答：當取一時，建造總費用最低 3【點睛】本題考查三角函數的實際應用，根據題意建立函數模型，禾 U U 用導數

23、求函數的最值，屬于中檔題 322x 2ax a x 1,f x為函數f x的導函數. .（1 1）討論函數f x的單調性;（2 2）若函數f x與函數f x存在相同的零點，求實數 a a 的值;（3）求函數f x在區間1,上的最小值所以f51 2cos102000 AD BC - %32000,0sin32(2(2) f f_ cos2 1010cos23cos42000220002sin33si n【答案】（1 1）見解析（2 2）a3乞（3 3）V4a22a, a 1,1,a 1.【解析】（1 1）首先求出函數的導函數x 3x a x a，再對a分類討論可得;2000當 一時,3元） 取得

24、極小值，即最小值，最小值為f40006、3 5(百391919 設a R，函數f x第1818頁共 2121 頁（2 2）由（1 1）可知a 0時，函數f x的零點是 0 0，經檢驗不符題意，當a 0時,1函數f x的零點是a和a，分別計算可得；3（3 3）結合（1 1）求出f 1 a22a,再分類討論可得. .【詳解】3 2 2解：（1 1）因為f x x 2ax a x 12 2所以f x 3x 4ax a 3x a x a，當a 0時，f x 0,所以函數f x在，上單調遞增;減. .（2 2） 當a 0時，函數f x的零點是 0 0,而f 01，所以不合題意,1當a 0時，函數f x的

25、零點是a和-a，3因為fa 10，所以由函數f x與函數f x存在相同的零點，a3333得f 0，即10，解得a礦.32793引4（3 3）由（1 1）得，當a 1時，函數f x在1,上單調遞增，此時函數f x在區間1,ra 當1 a，即1a?3時, 函數f x在區間1,上的最小值為fa 1；a當一1，即a 3時,3a當 a a 0 0 時，當x a或x時,3ax 0，當a x3時，f x 0，a所以函數f X在，a和在，3上單調遞增，在a,上單調遞減;3同理當a 0時，函數f x在，旦和在a,3上單調遞增，在養上單調遞上的最小值為f 1a22a；X2X第1919頁共 2121 頁a22a,

26、a 1,在區間1,上的最小值為1,a 1.【點睛】 本題考查利用導數研究函數的單調性，最值以及函數的零點問題，屬于中檔題rIn x2020 .已知函數f xax,a R. .x圍（e e 為自然對數的底數）；Xf X，即gXXf X In X ax2在0,. e上單調遞增，所以0在0八e恒成立，參變分離即可求出參數的取值范圍;得到函數的極值;2ax x，禾U用導數證明函數的零點個數，即可得證【詳解】解：（1 1 ）因為X1，X21（2）當a時，求函數f的極大值;（3 3）求證：當 a a0 0 時, 曲線xf x與直線yx有且僅有一個公共點【答案】 （1 1）12e(2)0 0（ 3 3）見解

27、析【解析】（1 1）因為X1，X20,所以不等式X2f X1f X20X1x1f xX2f X2，(2(2)當 a a時,2eInXX2e，求出函數的導數即可得到函數的單調性，從而所以不等式f X1X2X2X10恒成立等價于Xj NXf X2. .令g X Xf X，因為0X,x2e時，不等式f X1f X-0恒成立,因為f 12a，所以f 1a，此時函數的最小值為fa 1. .所以函數f(1)若對0 X|x2、e時，不等式f X-1f X2X2Xi0恒成立，求實數 a a 的取值范構造函數g2aX(3)令X XfIn X1，0，第2020頁共 2121 頁所以函數g x xf x In x

28、ax2在0,、e上單調遞增,所以g x1 2ax 0在0,、e恒成立,x在0,匸恒成立，而丄1，e所以2a1 1e，即a2e，所以實數a a 的取值范圍為1,2e. .(2)1a時,2eIn x xx 2e1 In x2x2e 2eln x2e2ex20),2e2eln0恒成立,所以函數在0,上單調遞減,又因為h2e 2eln e e所以在0,、e上f x 0，在 e,所以函數f x在0,、e上單調遞增，在 、e,上單調遞減,所以函數的極大值為f .e 0. .(3)xf xx In x ax2x，2ax 12ax2x 1因為所以所以函數因為所以0恒成立,x在0,0 e2a 2上單調遞增,2a

29、 1eae2a2a 2a 1 e1，0，第2121頁共 2121 頁第2222頁共 2121 頁因為函數X在0,上有且僅有一個零點, 所以當 a a 0 0 時，曲線y xf x與直線y x有且只有一個公共點【點睛】本題考查構造函數研究函數的單調性，函數的交點問題，利用導數研究函數的單調性與極值，屬于中檔題 2121 在邊長為 2 2 的等邊 AOBAOB 中，以 0 0 為圓心、OA為半徑作弧AB，點 P P 為弧AB上uuu urn uuu一動點 求OP OA 0B的取值范圍 【詳解】所以6 4、3 cos4、.3,uuu uuu uuu.一OP OA OB的取值范圍為6,4.3【點睛】

30、本題考查定義法求向量數量積，余弦函數的性質的應用，屬于中檔題22在ABC中，A3，AB 3，BC 7，求ABC的面積. .【答案】63uuuuuuuuuuuu uuuruuu uurrW3 cos,所以OPOAOB2OP OC2OPOC cos2 2 V3cos因為0_，所以cos 1662【解析】5“亠c uuu設AB的中點為 C C,則OAuuuOBuuu2OCuuu uuuuuuuuu uuuruuur0-,OP OAOB2OPOC2OP，設0P1與0C的夾角為，則,再根據余弦函數的性質解：設AB的中點為 C C,uuu uuu則OA OBuuur20C，uuuuuuc【答6,4.3OCcos6求出取值范圍. .第2323頁共 2121 頁【解析】 設AC x利用余弦定理求出AC，最后由面積公式計算可得;【詳解】解：設AC x，在ABC中，A 60，ABAB 3 3，BC 7，由余弦定理，得x29 6xcos60 49化簡得x23x 40 0，解得x 8或x 5（舍去），所以ABC的面積為1AB AC si nA13 836 3. .2 2 2【點睛】本題考查余弦定理及三角形面積公式的應用，屬于基礎題. .12 xn, x 0 x（1 1）求實數m,n的值；（2） 若對任意實數x，都有f e2xf ex0成立 求實數 的