1、第四章中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題選解習(xí)題4-1 中值定理1驗(yàn)證下列各題，確定的值:（1）對函數(shù)在區(qū)間上驗(yàn)證羅爾定理；（3）對函數(shù)及在區(qū)間上驗(yàn)證柯西中值定理.解 （1）顯然在上滿足羅爾定理的條件,由羅爾定理知至少有一點(diǎn)使得.解得,取n=0,顯然,故確有使. （3）因?yàn)榧霸谏线B續(xù)，內(nèi)可導(dǎo),且在內(nèi)不為0.由柯西中值定理知,至少使,即1=. 故滿足柯西中值定理.2.證明下列不等式:(3);(4)當(dāng)時(shí)，.證（3）當(dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，令時(shí)同理可得,由在上連續(xù),內(nèi)可導(dǎo),得,即，所以.(4)令，由于函數(shù)在上連續(xù),內(nèi)可導(dǎo),所以即因?yàn)?故,所以,即.5.不用求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),試判別方程的根的個(gè)數(shù). 解 由于在上連續(xù)

2、,內(nèi)可導(dǎo),且,所以由羅爾定理可知:，使.同理,使,使.顯然都是方程的根.注意到方程為三次方程，它只能有三個(gè)根（包括實(shí)根、復(fù)根）,故也就是方程的三個(gè)實(shí)根.又在上滿足羅爾定理的條件,故存在,使,存在,使.而是一個(gè)二次多項(xiàng)式，至少有兩個(gè)實(shí)根.因此,方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根.6.若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式且，證明：.證 作函數(shù),故（常數(shù)）.又,得所以即.習(xí)題4-2 洛必達(dá)法則1. 用洛必達(dá)法則求下列各極限:（8）； （9）;（10）; （11）;（12）; （13）;（14）.解（8） (9)=(10)(11)=(12)(13)設(shè)，則，所以（16）設(shè)，則，所以2. 驗(yàn)證極限存在,但不能用洛必達(dá)法則求出.解 ,

3、但.用洛必達(dá)法則計(jì)算所得到的式子極限不存在（不包括）,故洛必達(dá)法則失效.習(xí)題4-3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:（2）; (8)解(2）,對任意內(nèi)至少有有限個(gè)零點(diǎn),故在內(nèi)單調(diào)增加,又由M的任意性知,在（-，+）內(nèi)單調(diào)增加.(8)當(dāng)，即時(shí),因?yàn)樗o函數(shù)是定義域?yàn)椋灾芷谙蜓油厍覍?dǎo)函數(shù)也是周期為的函數(shù),所以可從函數(shù)內(nèi)的單調(diào)性推知函數(shù)在全定義區(qū)間的單調(diào)性. 在內(nèi)為駐點(diǎn),由cos2x為減函數(shù),得0+-所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)性增加；當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng),即時(shí),.與前面類似的討論可知當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)增加;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)減少.綜合兩種情形可得函數(shù)在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.2. 證明下列不等式:（3

4、）當(dāng)時(shí),（4）當(dāng)時(shí)，（5）時(shí)，證（3）設(shè)得所以在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),，因?yàn)?所以在上是增函數(shù),因而當(dāng)時(shí),即（4）設(shè)當(dāng)時(shí)，所以上單調(diào)增加,得所以在上單調(diào)增加,從而所以在上單調(diào)增加,得得證.(5)原不等式即為設(shè) 因?yàn)樗裕瑥亩@時(shí)即（注：此題推廣至一般為：若）3. 討論下列方程的根的情況:（2）解 設(shè)駐點(diǎn)為03+-顯然為的最大值點(diǎn).因?yàn)楣试谏嫌星覂H有一實(shí)根,在上有且僅有一實(shí)根,即有兩個(gè)實(shí)根.4. 求下列函數(shù)的極值:（7）（8）（10）解 （7）令得駐點(diǎn):當(dāng)時(shí),為極小值點(diǎn),極小值為當(dāng)時(shí),為極大值點(diǎn),極大值為（8）由對數(shù)求導(dǎo)法得解得駐點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以為極大值點(diǎn),極大值為（10）是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),當(dāng)

5、時(shí),當(dāng)時(shí),所以是極大值點(diǎn),極大值為5.求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn):（4） （6）解 （4）令,得當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以點(diǎn)為拐點(diǎn),曲線在上是凸的,在上是凹的.（6）令得-11-+-凸凹凸所以曲線在和上是凸的,在是凹的,拐點(diǎn)為.6.利用函數(shù)圖形的凹凸性證明下列不等式:（3）證 （3）設(shè)所以曲線在上是凹的.故對任意的有 即即7.解下列各題:（2）試確定曲線中的a,b,c,d,使得處曲線的切線為水平,點(diǎn)為拐點(diǎn),且點(diǎn)在曲線上；（3）試確定中k的值,使曲線在拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn).解(2)依題意，有 即解之得（3）令得因?yàn)樵趦蓚?cè)變號,所以為曲線的拐點(diǎn).,過點(diǎn)的法線方程為 若要法線過原點(diǎn),則點(diǎn)應(yīng)滿足法線方程,即 時(shí)

6、，同理可得，所以,該曲線的拐點(diǎn)處的法線方程通過原點(diǎn).8.描繪下列函數(shù)的圖形:（2） （4）解 （2）定義域（-，+），奇函數(shù),關(guān)于原點(diǎn)對稱,無周期性（以下討論僅在上進(jìn)行）,無鉛直漸近線,有水平漸近線（因?yàn)椋?列表01+-+拐點(diǎn)極大拐點(diǎn)（4）定義域無奇偶性,無周期性,鉛直漸近線無斜（水平）漸近線（因?yàn)椋?列表-10-不存在-+-+拐點(diǎn)極小習(xí)題4-4 函數(shù)的最大值和最小值及其在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用2.討論下列函數(shù)的最大值、最小值；（2） （3） （4）解 （2）令得所以為極大值點(diǎn).又,時(shí),在上單調(diào)增加;時(shí),在上單調(diào)減少,所以函數(shù)無最小值，最大值為（3）令得當(dāng)時(shí),在上單調(diào)減少；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)增加.又所以函

7、數(shù)無最大值,最小值為（4） 令得（舍去）.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)增加;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)減少.又所以最大值為最小值為3.求下列經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題中的最大值或最小值:（2）設(shè)價(jià)格函數(shù)，求最大收益的產(chǎn)量、價(jià)格和收益；（3）某工廠生產(chǎn)某種商品，其年銷售量為100萬件，分為N批生產(chǎn)，每批生產(chǎn)需要增加生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)1000元，而每件商品的一年庫存費(fèi)為0.05元，如果年銷售率是均勻的，且上批售完后立即生產(chǎn)出下批（此時(shí)商品的庫存量的平均值為商品批量的一半）.問N為何值時(shí)，才能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫存費(fèi)兩項(xiàng)之和最小？（4）設(shè)某企業(yè)在生產(chǎn)一種商品件時(shí)的總收益為總成本函數(shù)為，問政府對每件商品征收貨物稅為多少，在企業(yè)獲得最大利潤的情況下，最稅

8、額最大？（5）設(shè)生產(chǎn)某種商品的總成本為問產(chǎn)量為多少時(shí)，每件產(chǎn)品的平均成本最低？解 （2）令得當(dāng)當(dāng)時(shí),所以為極大值點(diǎn).依題意，此唯一的極大值點(diǎn)即為最大值點(diǎn)，即時(shí)有最大收益，此時(shí)最大收益為.(3)設(shè)每年的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫存費(fèi)之和為C，批量為，則由得駐點(diǎn)由知駐點(diǎn)為極小值點(diǎn),因此，萬件時(shí),C值最小,此時(shí)（4）設(shè)每件商品征收的貨物稅為,令得此時(shí)取最大值,稅收為令得所以時(shí),T取最大值,故征收貨物稅應(yīng)為25.(5)令得所以時(shí)取得最小值，即產(chǎn)量為100時(shí)，平均成本最低.習(xí)題4-5 泰勒公式2.應(yīng)用麥克勞林公式，按的乘冪展開函數(shù):解 因?yàn)槭堑?次多項(xiàng)式，所以又 故 4求函數(shù)的階麥克勞林公式.解 所以5.應(yīng)用3階泰

9、勒公式計(jì)算下列各數(shù)的近似值，并估計(jì)誤差：（1） （2）解 （1）設(shè)則 因?yàn)?0=27+3，所以誤差（2）因?yàn)楹芸拷?，所以可用麥克勞林公式作近似計(jì)算.令 則故誤差總復(fù)習(xí)題四1.求下列極限（2） （3）解（2）設(shè)則所以 （3）設(shè) 所以2.證明下列不等式：（1）當(dāng)時(shí)，證（1）設(shè) 有 令當(dāng)時(shí), 所以單調(diào)減少,故單調(diào)減少,所以當(dāng)時(shí),即,也就是3.討論方程的根：（1）在內(nèi)解 （1）令則令得舍去），當(dāng)時(shí)，當(dāng)，所以為極小值點(diǎn),極小值點(diǎn)為負(fù)值所以在內(nèi)無根，在內(nèi)有且僅有一個(gè)根4.用中值定理證明下列各題:（1）設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,證明存在一點(diǎn)使得（2）設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),證明存在一點(diǎn)使得（3）設(shè)都是可導(dǎo)函數(shù)，且，證明當(dāng)時(shí)，證 （1）設(shè)顯然在上滿足羅爾定理,所以使得即即（2）顯然和在上滿足柯西中值定理,所以使得即（3）由題設(shè)所以單調(diào)增加,當(dāng)時(shí),又均為可導(dǎo)函數(shù),所以在上,和滿足柯西中值定理,所以,使即 即 又 所以 5.求下列函數(shù)的極值與最值:（1） 求的極值（2）求數(shù)列的最大項(xiàng).解 （1）所以在處不連續(xù),所以不存在.令即得因?yàn)楫?dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以函數(shù)極小值為又因?yàn)闀r(shí)，時(shí),所以不可導(dǎo)點(diǎn)為極大值點(diǎn)，極大值為（2）令有對數(shù)求導(dǎo)法可得令得駐點(diǎn)當(dāng)時(shí),時(shí),所以為唯一的極大值點(diǎn),由于駐點(diǎn)唯一,極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),且最大值為由于及在內(nèi)單