1、制動試驗臺的控制方法分析摘 要:本文依據(jù)機械動力學原理，分析制動過程中能量的轉換關系，設計出了計算機對某個時間段電流控制的方法，用以控制模擬試驗臺上的飛輪轉動角速度，從而達到了模擬制動的目的。對于問題一，利用等效慣量與動能變化的關系，求解出等效慣量為51.9988。對于問題二，建立坐標，利用二重積分計算各個飛輪的轉動慣量為30.0083，60.0166，120.0332，由此得出可以組成8個機械慣量。依據(jù)電機補償能量的相應慣量的限制條件，求出補償慣量。對于問題三，根據(jù)是否制動，分別建立了兩個驅動電流只依賴瞬時轉速的模型。對于問題四，分別計算路試的制動器與試驗臺制動器消耗的能量，得出試驗臺對路試

2、時的相對誤差為5.8219%，該控制方法可行性高。對于問題五，t時刻的理論上的轉速與其前一時刻觀測到的轉速的動能差就是驅動電流所做的功，得出電流關于時間的函數(shù)表達式，并以此對電流自動控制。對于問題六，把問題五的控制方法加以改進，考慮某個時間段的角加速度的變化，利用Z變換以及其平動的性質，最后施行Z的逆變換，遞推下一個角加速度關于時間的響應函數(shù)，得出了改進后的電流關于時間的函數(shù)表達式。關鍵詞：動能變化 二重積分 瞬時轉速 Z變換 Z的逆變換一問題的重述汽車的制動器聯(lián)接在車輪上，它的作用是在行駛時使車輛減速或者停止。為了檢驗設計的優(yōu)劣，必須進行相應的測試。在道路上測試實際車輛制動器的過程稱為路試，

3、其方法為：車輛在指定路面上加速到指定的速度；斷開發(fā)動機的輸出，讓車輛依慣性繼續(xù)運動；以恒定的力踏下制動踏板，使車輛完全停止下來或車速降到某數(shù)值以下；在這一過程中，檢測制動減速度等指標。假設路試時輪胎與地面的摩擦力為無窮大，因此輪胎與地面無滑動。為了檢測制動器的綜合性能，需要在各種不同情況下進行大量路試。但是，車輛設計階段無法路試，只能在專門的制動器試驗臺上對所設計的路試進行模擬試驗。模擬試驗的原則是試驗臺上制動器的制動過程與路試車輛上制動器的制動過程盡可能一致。通常試驗臺僅安裝、試驗單輪制動器，而不是同時試驗全車所有車輪的制動器。制動器試驗臺一般由安裝了飛輪組的主軸、驅動主軸旋轉的電動機、底座

4、、施加制動的輔助裝置以及測量和控制系統(tǒng)等組成。被試驗的制動器安裝在主軸的一端，當制動器工作時會使主軸減速。試驗臺工作時，電動機拖動主軸和飛輪旋轉，達到與設定的車速相當?shù)霓D速(模擬實驗中，可認為主軸的角速度與車輪的角速度始終一致)后電動機斷電同時施加制動，當滿足設定的結束條件時就稱為完成一次制動。在制動過程中，讓電動機在一定規(guī)律的電流控制下參與工作，補償由于機械慣量不足而缺少的能量，從而滿足模擬試驗的原則。由于制動器性能的復雜性，電動機驅動電流與時間之間的精確關系是很難得到的。工程實際中常用的計算機控制方法是：把整個制動時間離散化為許多小的時間段，比如10 ms為一段，然后根據(jù)前面時間段觀測到的

5、瞬時轉速與/或瞬時扭矩，設計出本時段驅動電流的值，這個過程逐次進行，直至完成制動。評價控制方法優(yōu)劣的一個重要數(shù)量指標是能量誤差的大小，本題中的能量誤差是指所設計的路試時的制動器與相對應的實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量之差。通常不考慮觀測誤差、隨機誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差。需要解決的問題有1. 設車輛單個前輪的滾動半徑為0.286 m，制動時承受的載荷為6230 N，求等效的轉動慣量。2. 飛輪組由3個外直徑1 m、內(nèi)直徑0.2 m的環(huán)形鋼制飛輪組成，厚度分別為0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，鋼材密度為7810 kg/m3，基礎慣量為10 kgm2，問可以組成

6、哪些機械慣量？設電動機能補償?shù)哪芰肯鄳膽T量的范圍為 -30, 30 kgm2，對于問題1中得到的等效的轉動慣量，需要用電動機補償多大的慣量？3. 建立電動機驅動電流依賴于可觀測量的數(shù)學模型。在問題1和問題2的條件下，假設制動減速度為常數(shù)，初始速度為50 km/h，制動5.0秒后車速為零，計算驅動電流。4. 對于與所設計的路試等效的轉動慣量為48 kgm2，機械慣量為35 kgm2，主軸初轉速為514轉/分鐘，末轉速為257轉/分鐘，時間步長為10 ms的情況，用某種控制方法試驗得到的數(shù)據(jù)見附表。請對該方法執(zhí)行的結果進行評價。5. 按照第3問導出的數(shù)學模型，給出根據(jù)前一個時間段觀測到的瞬時轉速

7、與/或瞬時扭矩，設計本時間段電流值的計算機控制方法，并對該方法進行評價。6. 第5問給出的控制方法是否有不足之處？如果有，請重新設計一個盡量完善的計算機控制方法，并作評價。二模型假設1. 飛輪組及車輪的質量分布均勻，形狀規(guī)則。2. 整個試驗過程中電機正常工作，忽略因電流產(chǎn)熱而損失的能量。3. 自動控制系統(tǒng)在克服誤差的調節(jié)過程中不會出現(xiàn)振蕩甚至失穩(wěn)。4. 路試時輪胎與地面的摩擦力為無窮大，輪胎與地面無滑動。5. 制動時，在很小時間范圍內(nèi)，車輛的速度變化不是很多大。6. 在每個時間段內(nèi)，角速度的變化為常數(shù)三符號說明 ： 動能 ： 重力加速度 ： 等效的轉動慣量： 制動慣量： 機械慣量： 電動機的輸

8、出力矩： 制動器的制動力矩： 電動機的輸出電流： 角速度： 角加速度： 在第個時段制動扭矩所做的功 四問題的分析針對問題一， 以主軸作為研究對象，引進牛頓第二定律，將負載力轉化為主軸上的負載質量，利用能量的轉換關系，求解出等效慣量。 針對問題二， 以飛輪的中心為原點建立坐標系，利用二重積分推導出慣量公式，求出每個輪子的單個慣量。根據(jù)電機提供的慣量范圍，找出適合條件的機械慣量。針對問題三， 電機的驅動分為兩個過程，第一沒有制動時，電機帶動主軸達到預定速度，其二是存在制動器制動的過程。根據(jù)機械動力學的原理，建立扭矩平衡方程，推導出驅動電流的數(shù)學模型。針對問題四， 評價控制方法的指標是路試的時制動器

9、與實驗臺上的制動器在制動過程中消耗的能量的相對誤差。在每個時間段內(nèi)，角速度的變化為常數(shù)，故通過積分，求出在試驗臺上制動扭矩在各個時段所做的功。針對問題五，理論中的制動過程是一個勻減速的制動過程，在各個時段都對應了一個理論值轉速，并且可以計算出來的。計算機通過控制電流使轉速逼近理論的轉速值。在這個過程中，電流所做的功就是理論轉速與前一時刻觀測到的轉速的能量差。 針對問題六，鑒于問題五的模型把視為常數(shù)，而制動扭矩是變化的， 故改進的模型要考慮不是常數(shù)。依據(jù)電慣量模擬的可行性，能夠找到一個時間段內(nèi)的角速度關于時間函數(shù)表達式，由于計算機把整個過程離散化為許多小的時間段，故考慮Z變換的平動性質以及逆變換

10、的性質，遞推出下一時間段的角加速度關于時間的表達式，改進電流關于時間的函數(shù)。五模型的建立及求解(一)問題一的模型建立及求解主軸具有的動能與轉動慣量的關系式為，由于主軸的動能近似等于載荷的動能，載荷的動能為，其中載荷的質量為該物體的重力G除以當?shù)氐闹亓铀俣龋矗虼说玫降刃У霓D動慣量的計算式為： 代入相關數(shù)據(jù)，這里,得到等效的轉動慣量為。（二）問題二的模型建立及求解以飛輪的中心為原點建立坐標系。如圖所示 yxo則圓環(huán)區(qū)D為，轉動慣量的計算公1： （1） 圓環(huán)的體積 （2） 則圓環(huán)的質量 （3）由（1），（2），（3）式得出飛輪的慣量計算公式為： 代入相關的數(shù)據(jù)，得到各個飛輪的慣量（見表一）表一

11、：各個飛輪的慣量飛輪 第一個飛輪 第二個飛輪 第三個飛輪內(nèi)半徑 (m) 0.1 0.1 0.1外半徑 (m) 0.5 0.5 0.5厚度 (m) 0.0392 0.0784 0.1568體積 （） 0.0296 0.0592 0.1184質量 (kg) 230.8332 461.6663 923.3327慣量（） 30.0083 60.0166 120.0332根據(jù)機械慣量的組合方式，有以下八種機械慣量（）（見表2）（1） 只有基礎慣量時，機械慣量為10；（2） 基礎慣量分別與第一，第二，第三個飛輪慣量的組合，機械慣量分別為40.0083，70.0166，130.0332（3） 基礎慣量分別與

12、第一和第二，第一和第三，第二和第三個飛輪慣量的組合，機械慣量分別為100.0249，160.0415，190.0498，（4） 基礎慣量與三個飛輪慣量的組合，機械慣量為220.0581可以組成的機械慣量() 10100.024940.0083160.041570.0166190.0498130.0332220.0581由于電動機的補償?shù)哪芰肯鄳膽T量的范圍為-30,30 ,所以能取第二種機械慣量40.0083，第三種機械慣量70.0166。得到需要補償?shù)膽T量有兩種情況：第一種情況為驅動慣量51.9988-40.0083= 11.9905 。 第二種情況為制動慣量51.9988-70.0166=

13、 -18.01878 （三）問題三的模型建立與求解根據(jù)機械動力學原理，建立如下的力矩平衡方程：1，模型一不考慮制動時，即，電動機帶動主軸和飛輪旋轉的過程，達到預定的轉速，主軸和飛輪受到的合扭矩，等于電動機輸出扭矩 ，即 其中：，則驅動電流的數(shù)學模型為 2，模型二 在模型一的基礎上，考慮制動，在此過程中，制動器對主軸和飛輪施加了制動扭矩，那么主軸和飛輪受到的合扭矩為 其中 則驅動電流的模型為3，驅動電流的計算 角加速度的計算：制動過程是勻減速過程，故考慮整個過程的角度變化，出始速度為，初始角速度 ，該時間內(nèi)，則弧度的改變量為，則角加速度為 驅動電流的求解：由問題三導出的驅動電流公式為 其中，代入

14、相關數(shù)據(jù)，得到整個過程的消耗的驅動電流為 （四），問題四的模型建立與求解路試時制動器消耗的能量，近似等于車輪損失的動能。初始的動能為，達到預定的轉速時的動能，因此制動器消耗的能量等于 在實驗臺上，制動器消耗的能量，等于制動扭矩所做的功，即各個時段制動扭矩所做的功的總和。在每個時間段內(nèi)，角速度的變化為常數(shù)，即 （）第k個時段，制動扭矩所做的功為 （）將（）代入（5.4.2）可以得出 （）由（）得，制動扭矩所做的功為 （）其中表示周期，表示制動扭矩，表示第i個時刻的角速度。那么，試驗臺損失的能量對路試損失的能量的相對誤差為 代入相關的數(shù)據(jù)得出， ,誤差較小，表明該控制方法執(zhí)行的結果可行度高。 （五

15、），問題五的模型建立及求解1，模型的建立在制動試驗的過程中，計算機控制電流使觀測到的主軸的前一時間段的轉速逼近后一時間段理論上的轉速.使前一時間段的觀測值達到理論值，則需要補充的能量為 （）在t時刻電流所做的功的大小為； （） 根據(jù)能量的轉化關系，有 （）由（）（5.5.2）（5.5.3）式，得到電流的時間函數(shù)為 （）其中是在時刻的理論值，為驅動電流與其扭矩的比例常數(shù)，為等效慣量與機械慣量的差。 2，模型的評價：通過能量的轉移過程，較好的預測了所需電流的大小，建立起了電流依賴時間的計算方法，為計算機控制電流提供了依據(jù)。設初轉速為，末轉速為，理論上的制動過程中，驅動電機傳給主軸的能量為 （） 在

16、計算機控制方法控制下，驅動電機傳給主軸的能量為 （）在計算機的控制方法下，對的相對誤差大小為： （）值越大，該控制方法越差，值越小，該控制方法越好（六） 問題六的模型建立及求解1，模型的建立在第五問的的模型中，假設了 ，而在實際的問題中，由于電流參于驅動，制動扭矩將發(fā)生變化，從而不為常數(shù)。根據(jù)制動扭矩與轉動慣量的關系有 （）在電慣量制動器試驗臺中,機械慣量和電機共同模擬產(chǎn)生 , 則: ()其中: 表示 時刻制動軸角速度; 表示 時刻制動軸角速度; : 測量周期。設制動的初速度為 ,令對式(2) 進行 變換, 可以得到: ()根據(jù)變換的平移性，可得到 （）然后對（）式求其逆變換，可得到，即第i+

17、1時刻的角速度關于時間的響應函數(shù)，即時刻的角速度。得出 其中是在時刻的預測值，為驅動電流與其扭矩的比例常數(shù)，為等效慣量與機械慣量的差。2，該模型評價考慮了該時間段內(nèi)的角加速度的變化，降低了誤差。采用Z變換處理離散時間段的角加速度變化，較好的描述了角加速度的變化，利用其平動性和可逆性，推導出下一個時間段的角速度與時間的關系，改進了電流控制方法。（六）模型的評價優(yōu)點：（1）本文建立了能量轉換的關系模型，較好的解決了慣量的計算（2）對于電流的計算機控制，考慮到制動器性能的復雜性，電動機電流與時間之間的精確關系是很難得，對時間做了周期處理，方便了計算，執(zhí)行結果具有較高的可行性。（3）對于一個周期內(nèi)角加

18、速度，先不考慮變化建立了簡單模型，然后考慮其變化，提高了精確度和可操作性。（4）對離散了的數(shù)據(jù)進行Z變換處理，提高了可預測性。缺點：在進行能量分析時，忽略了溫度對裝置的影響，以及摩擦力的阻礙作用。前五問忽略了角加速度在一個周期內(nèi)的變化，有一定的誤差。對第五問建立模型時，我們忽略了電流不一定能使觀測值達到理論值，所以我們的模型就會有一定的偏差。 參考文獻1張三慧.大學基礎物理學上冊C.清華大學出版社，2003年第一版。2胡壽松.自動控制原理C.科學出版社，2001年第四版。3薛定宇,陳陽泉.高等應用數(shù)學問題的MATLAB求解C.清華大學出版社，2008年第二版。4趙靜,但琦.數(shù)學建模與數(shù)學實驗C.高等教育出版社，2009年第三版。5梁波.李玉忍模糊自整定PID 在制動器試驗臺電慣量模擬應用N.西北工業(yè)大學，電子測量技術第31卷第10期。附錄程序1：求制動扭矩所做的功clear allclcA=40 40 40 .288.75 291.25 288.75 ; %具體數(shù)據(jù)在A題的數(shù)據(jù)表第二列B=514.33 513.79 513.24 258.26 257.71 257.17 ;%具體數(shù)據(jù)