1、第37課 向量及向量的加法和減法考試目標(biāo) 主詞填空1.向量的有關(guān)概念既有大小又有方向的量叫做向量.向量的長度(模)是指向量的大小.平行向量(共線向量)的概念是方向相同或相反的非零向量.兩向量相等的充要條件是同向等長.2.向量的加、減法運(yùn)算幾何法:有三角形法則，平行四邊形法則.坐標(biāo)法，設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b= (,),a-b=().題型示例 點(diǎn)津歸納【例1】 下列情形中向量的終點(diǎn)各構(gòu)成什么圖形?(1)把平面中一切單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)；(2)把空間中一切單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)；(3)把平行于某一平面的一切單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)；(4)把平行于某一直線的一切向量歸

2、結(jié)到共同的始點(diǎn)(在同一平面內(nèi)).【解前點(diǎn)津】 在(1),(2)中,始點(diǎn)到終點(diǎn)的距離是常量1,(3)是平面圖形.【規(guī)范解答】 (1)以始點(diǎn)為圓心的單位圓；(2)以始點(diǎn)為球心，半徑為1的球面；(3)以始點(diǎn)為圓心且與已知平面平行的單位圓.(4)是以始點(diǎn)為間斷點(diǎn)的一條直線.【解后歸納】 向量經(jīng)平移后，不改變方向與大小，僅僅是“變更位置”而已.【例2】 (1)設(shè)ABCD-EFGH是一個(gè)平行六面體(如圖(1)，在下列各對向量中，找出相等的向量和互為反向量的向量.,;,;,;,;,.例2題圖(2)設(shè)ABC和ABC分別是三棱臺ABCABC的上、下底面(如圖（）)，試在向量、,中找出共線向量和共面向量.【解前點(diǎn)

3、津】 對兩個(gè)向量而言，不論處于何種位置，等長同向則相等；等長反向則互反.【規(guī)范解答】 (1)相等向量有(2),(3),(5),互為反向量的有(1),(4).(2)共線向量有: 與,與,與;下面一組向量是共面向量: ,【解后歸納】 正確理解有關(guān)概念是關(guān)鍵，如共面向量，就是在空間中，對向量施行平移動(dòng)作，使它們最后都落在同一平面內(nèi)，那么這些向量就是共面向量.【例3】 平面內(nèi)給定三個(gè)向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),解答下列問題.(1)求3a+b-2c;(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;(3)若(a+kc)(2b-a),求實(shí)數(shù)k;(4)設(shè)d=(x,y)滿足(d-c)(a+b

4、)且|d-c|=1,求d.【解前點(diǎn)津】 直接運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算.【規(guī)范解答】 (1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2·(4,1)=(9,6)+(-1,2)+(-8,-2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).(2)由條件得:(3,2)=m·(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n), 解之 .(3)(a+kc)(2b-a)又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2×(3+4k)-(5)×(2+k)=0解之:k=-.(4)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,故得方程

5、組 解之得 或 d=或【解后歸納】 本題使用了兩向量平行的充要條件:在向量式中:aba=b.在坐標(biāo)式中:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1y2-x2y1=0.【例4】例4題圖 已知四邊形ABCD中, =a-2c, =5a+6b-8c,對角線、的中點(diǎn)分別為E,F,求.【解前點(diǎn)津】 E、F是中點(diǎn),+=0,+=0.利用向量加法的多邊形法則可列出若干個(gè)等式，綜合利用這些“訊息”,就能用a,b,c表示.【規(guī)范解答】 由條件可得:+=0 +=0 +得:2+(+)+(+)=0.F,E是中點(diǎn),+=+=0,2=-(+)=+,=(+)=(a-2c)+(5a+6b-8c)=3a+3b-5c.【解后

6、歸納】 對任何圖形而言，都有:.對應(yīng)訓(xùn)練 分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.ABC中,已知=3,則等于 ( )A.(+2) B. (+2)C.(+3) D. (+2)2.如果點(diǎn)M是ABC的重心,D、E、F分別為、BC、CA中點(diǎn)，那么等于 ( )A.6 B.-6 C.0 D.63.、R,則+=0成立的充要條件是 ( )A.|=|=| B.=C.+=0 D.=04.如果=a,=b,那么a=b是四點(diǎn)A、B、C、D構(gòu)成平行四邊形的 ( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.使等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要條件是 ( )A.ab且同向 B.a=b C.ab D

7、.a、b中有06.已知a=(1,2),b=(x,1),且a+2b與2a-b平行，則x等于 ( )A.1 B.2 C. D.7.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于 ( )A.a+b B.a-b C.a-b D.a+b8.若a,b是不共線的兩個(gè)向量，且=1a+b, =a+2b,(1、2R),則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是 ( )A.1=2=-1 B.1=2=1 C.12+1=0 D.12-1=09.已知平行四邊形ABCD的兩角對角線交于點(diǎn)E,設(shè)=e1, =e2,用e1,e2表示的表達(dá)式為 ( )A.-e1-e2 B.-e1+e2 C.e1-e2 D.e1+e210

8、.設(shè)P(1,2),Q(0,3),R(7,-2),a=,b=,則與2a-b同向的單位向量是 ( )A. B. C.(2,1) D.二、思維激活11.兩個(gè)非零向量的模相等是兩個(gè)向量相等的 條件.12.已知=4i+3j,=-i+j,與反向且|=|,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 .13.已知a=(6,2),b=(-4,-),直線l過點(diǎn)A(3,-1)且與向量a+2b垂直，則直線l .14.若向量p=(2,-3),q=(1,2),a=(9,4),且a=mp+nq,則m= ,n= .三、能力提高15.已知a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3),試用b,c表示a.16.設(shè)M是平行四邊形ABCD的中心，O是任意

9、一點(diǎn)，證明:+.17.用向量法證明梯形兩腰中點(diǎn)連線平行于上、下兩底邊且等于它們長度和的一半. 第1課 向量及向量的加法和減法習(xí)題解答1.A 由=+及=+得:2=+=+=+(+)=+，故=(+2)第2題圖解2.C +=(+)+(+)=3+=3·+=2(+)+=+=0.3.D 由條件:(+)+·+=(-) +(-)·=0-=-=0.4.B a,b共線時(shí)充分性不成立.5.A6.D a+2b=(1+2x,4),2a-b=(2-x,3)3·(1+2x)=4(2-x)解之:x=.7.B 令c=x·a+y·bc=(x+y,x-y)=(-1,2)解之

10、B.8.D 令=x·則1a+b=x·a+x2bx=1且x2=112=1.第9題圖解9.B 如圖所示=+=(+)+=(-e2-e1)+e2=-e1+e2.10.A PQ=(-1,1),=(6,-4),2a-b=(-8,6)=10·(-,).11.必要不充分.12.由已知=-,=-(+)=-4i+3j+(-i)+j=-2i-j故C坐標(biāo)為(-2,).13.由條件得:a+2b=(-2,1),故k=2,l的方程為y+1=2(x-3)即:2x-y-7=0.14.由.15.令a=b+c(10,-4)=(3-2,+3)解之,故:a=2b-2c.第16題圖解16.證:M是平行四邊形ABCD的中心,+=0,+=0.=+,=+,=+,=+將以上四個(gè)等式相加得:+=4+(+)+(+)=4.