1、向量的線性運算教學設計一、教材分析1、本單元的教學內容的范圍本單元包括向量的概念、向量的加法、向量的減法、數乘向量和向量共線的條件與軸上向量坐標運算，共5小節內容。2本單元的教學內容在模塊內容體系中的地位和作用站在數學學科角度來看平面向量，向量的運算（包括中學階段的平面向量與空間向量）是在數的運算的基礎上對運算的發展；向量的兩重性使得向量成為幾何問題代數化的一個重要組成部分，這對數字化時代研究幾何問題提供了一個良好的手段；平面向量為研究三角函數、解析幾何等提供了工具作用；平面向量是空間向量的基礎。向量的線性運算作為平面向量的第一個單元的教學內容，既是平面向量這一模塊的重要知識，也是學習本模塊其

2、他知識的基礎。3本單元的教學內容總體教學目標（1）通過實例，了解平面向量的實際背景。（2）理解平面向量和相等向量的含義，理解向量的幾何表示。（3）通過實例，掌握向量的加法、減法以及數乘向量運算及其幾何意義；理解兩個向量共線的含義。（4）了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義。（5）通過學習使學生初步體會向量所具有的代數和幾何的兩重性。4本單元的教學內容重點和難點分析本單元的教學重點包括向量的概念、向量的線性運算和平行向量基本定理；難點是向量的概念。通過學習使學生建立起向量的概念是學習向量知識的一個重要目標，因而向量的概念是教學的一個重點內容；向量的線性運算不僅是本單元的教學重點也是本模塊的教學

3、重點；通過學習平行向量基本定理不僅能加深對向量概念的理解，而且平行向量基本定理在向量知識體系和數學的其他分支中都有廣泛的應用，因此平行向量基本定理應是本單元的一個教學重點。向量作為一個新的概念，學生開始接觸時自然會感到困難，加之小節中不僅概念多，而且還有自由向量和位置向量的干擾，更使得向量的概念難上加難，因此向量的概念是學生學習的一個難點。當然，學生對向量的加法、減法運算及平行向量基本定理的理解會產生一定的困難，但學生如果很好的理解了向量的概念，則著幾個難點的難度會隨之降下來。5本單元教材的編寫特色（1） 用點的相對位置和位移理解向量（自由向量），用位移的合成理解向量的加法。（2） 用放大、縮

4、小理解數乘向量。用相似三角形的性質理解數乘向量的分配率。二、本單元所需教學資源的概述教學中可采用幾何畫板及實物投影等輔助教學三、本單元學時建議本單元教學可用5課時來完成，具體分配如下：向量的概念1課時；向量的加法1課時；向量的減法1課時；數乘向量1課時；向量共線的條件與軸上向量坐標運算1課時。四、本單元的教學內容處理的幾點想法1關于向量概念的教學（1）先由學生已有的位移的概念出發，引入向量的概念：質點從出發運動到點，在從點運動到點，這時點相對于點的位置如何表示？在由位移的概念引出向量的概念之后，再讓學生聯想已經學習過的力、速度、加速度等知識來加深學生對向量概念的理解。注意這里不是先介紹物理中的

5、力、速度或加速度，而是重點由位移出發，它的好處在于： 在說明某點相對于另一個點的位置時，更容易讓學生具體的想到“大小”和“方向”； 從點的位移的角度更便于使學生理解自由向量； 從位移的角度理解向量的概念的過程也為學生理解向量的加法打下伏筆。（2）在學生建立起自由向量的概念之后，對比自由向量認識位置向量的概念。這里一方面要強調向量叫做點相對于點的位置向量，另一方面要指出在研究向量時，常常要把多個向量通過平移，使他們有共同的起點，這時每個向量就有其終點唯一確定。（3）教材中78第22行“由以上分析，一個平面向量的直觀形象是平面上同向且等長的有向線段的集合”這一說法值得商榷。2關于向量加法的教學（1

6、）結合位移的概念（右圖為向量第一節課圖形）理解向量的加法的三角形法則和多邊形法則。這樣可使學生理解起來更加自然，從而達到降低難度的目的。（2）把向量加法的平行四邊形法則放在三角形法則之后，一方面可深化學生對向量加法的理解，也為學生日后學習向量的分解作知識準備。（3）關于加法交換率的證明，采用下面的方法學生接受起來可能會比課本上的方法更自然（以兩個向量不共線的情形為例）：已知向量。如圖，作，則。作，則四邊形為平行四邊形，。教學過程中，可考慮采取小組探究的方式，讓學生尋找證明的方法。3關于向量減法的教學（1）類比數的運算理解向量減法的兩種定義方式方法1：實數的減法是加法的逆運算向量減法是向量加法的

7、逆運算；方法2：減去一個數等于加上這個數的相反數減去一個向量等于加上這個向量的相反向量。（2）從三角形法則和平行四邊形法則兩個角度理解兩個定義方法1：向量的減法作為加法的逆運算。從三角形法則角度看，兩個向量的減法是把兩個向量的始點放在一起，他們的差是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量（下面圖形中的左圖）；方法2：在相反向量的基礎上通過加法定義向量的減法，用平行四邊形法則理解更自然（下面圖形中的右圖）。（3）可選配如下類型的例題、習題加深學生對向量加法和減法運算的例解:化簡：；。4關于數乘向量的教學（1）類比數的乘法導入，并從圖形的“放大”“縮小”來直觀的理解數乘向量。（2）對于數

8、乘向量的三個運算率，一般不要求學生證明。對于分配律可指導學生課后閱讀，對于前兩個運算率，學生程度好的學校可選取其中之一給出證明，而另外一個讓有興趣的學生嘗試課后給出證明方法。因為這個問題的證明有兩個重要作用：強化從“大小”和“方向”兩個角度把握向量概念的意識；培養學生分類討論的數學思想。（3）對于例3也可采取下面的解法：，。與方向相同，。 本例從向量的形式表現了“兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”。5關于向量共線的條件與軸上向量的坐標運算的教學（1）平行向量基本定理的證明要求學生理解其中嚴謹的邏輯關系當時，由數乘向量的定義知；當時，若，由于，顯然存在唯一的實數使得成立；若且方向相同，取，則，即存在使得成立?，F假設有兩個實數使得和成立，于是，。，。且方向相同時，存在唯一的實數，使得成立；類似地可證明當且方向相反時，存在唯一的實數，使得成立。（2）通過例1的教學要引導學生體會以下兩點由向量相等的一個條件可為我們帶來“長度上的相等”和“方向上的平行”兩個方面的結果；研究兩個向量的關系（相等）時，常常要把兩個向量用平面上不共線的兩個向量來表示。（3）通過例2的教學要讓學生掌握平行于同一個向量的兩個向量平行。