1、§1.4全稱量詞與存在量詞知識(shí)點(diǎn)一全稱命題與特稱命題的判斷判斷下列語(yǔ)句是全稱命題，還是特稱命題：(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)對(duì)任意角，都有sin2cos21；(4)有些素?cái)?shù)的和仍是素?cái)?shù)；(5)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直分析先看是否有全稱量詞和存在量詞，當(dāng)沒有時(shí)，要結(jié)合命題的具體意義進(jìn)行判斷解(1)可以改寫為所有的凸多邊形的外角和等于360°，故為全稱命題(2)含有存在量詞“有的”，故是特稱命題(3)含有全稱量詞“任意”，故是全稱命題(4)含有存在量詞“有些”，故為特稱命題(5)若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所

2、有的菱形，故為全稱命題知識(shí)點(diǎn)二判斷全稱或特稱命題的真假試判斷以下命題的真假：(1)xR，x22>0；(2)xN，x41；(3)xZ，x3<1；(4)xQ，x23.分析要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個(gè)xx0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個(gè)反例”)要判定一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個(gè)xx0，使p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題解(1)由于xR，都有x20，因而有x222>0，即x22>0.所以命題“xR，x22>

3、0”是真命題(2)由于0N，當(dāng)x0時(shí)，x41不成立所以命題“xN，x41”是假命題(3)由于1Z，當(dāng)x1時(shí)，能使x3<1.所以命題“xZ，x3<1”是真命題(4)由于使x23成立的數(shù)只有±，而它們都不是有理數(shù)因此，沒有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3.所以命題“xQ，x23”是假命題知識(shí)點(diǎn)三全稱或特稱命題的否定寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x310.解(1)綈p：xR，x2x<0.(假)這是由于xR，x2x20恒成立(2)綈q：至少存在一個(gè)正方形不是

4、矩形(假)(3)綈r：xR，x22x2>0.(真)這是由于xR，x22x2(x1)211>0成立(4)綈s：xR，x310.(假)這是由于x1時(shí)，x310.考題賞析1(海南，寧夏高考)已知命題p：xR，sinx1，則()A綈p：xR，sinx1B綈p：xR，sinx1C綈p：xR，sinx>1D綈p：xR，sinx>1解析命題p是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題答案C2(山東高考)命題“對(duì)任意的xR，x3x210”的否定是()A不存在xR，x3x210B存在xR，x3x210C存在xR，x3x21>0D對(duì)任意的xR，x3x21>0解析全稱命題的否定是特稱命

5、題答案C1給出下列幾個(gè)命題：至少有一個(gè)x0，使x2x010成立；對(duì)任意的x，都有x22x10成立；對(duì)任意的x，都有x22x10不成立；存在x0，使x2x010成立其中是全稱命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D0答案B解析命題都含有全稱量詞“任意的”，故是全稱命題2將“x2y22xy”改寫成全稱命題，下列說法正確的是()Ax，yR，都有x2y22xyBx0，y0R，使xy2x0y0Cx>0，y>0，都有x2y22xyDx0<0，y0<0，使xy2x0y0答案A3全稱命題“所有被5整除的整數(shù)都是奇數(shù)”的否定是()A所有被5整除的整數(shù)都不是奇數(shù)B所有奇數(shù)都不能被5整除C存在一

6、個(gè)被5整除的整數(shù)不是奇數(shù)D存在一個(gè)奇數(shù)，不能被5整除答案C解析全稱命題的否定是特稱命題4已知命題p：對(duì)任意xR，有cosx1，則()A綈p：存在xR，使cosx1B綈p：對(duì)任意xR，有cosx1C綈p：存在xR，使cosx>1D綈p：對(duì)任意xR，有cosx>1答案C5已知命題p：“x1,2，x2a0”，命題q：“xR，x22ax2a0”，則命題“p且q”是真命題的充要條件()Aa2或a1 Ba2或1a2Ca1 D2a1答案A解析p真即ax2在1x2范圍內(nèi)恒成立，因x21,4，所以a1；q真等價(jià)于4a24(2a)0恒成立即a2a20.所以a1或a2.要使p且q為真則a的取值范圍為：a

7、1或a2，故選A.6命題“nN*，mN，使m2<n”的否定是_答案nN*，mN，使m2n7將a2b22ab(ab)2改寫成全稱命題是_答案a，bR，使a2b22ab(ab)28用符號(hào)“”與“”表示下面的命題：(1)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值大于等于0；(2)存在實(shí)數(shù)對(duì)，使兩數(shù)的平方和小于1；(3)任意的實(shí)數(shù)a，b，c，滿足a2b2c2abacbc.解(1)xR，|x|0.(2)x0，y0R，使xy<1.(3)a，b，cR，a2b2c2abacbc.9寫出下列命題的否定：(1)若一個(gè)四邊形是菱形，則它的四條邊相等；(2)被6整除的數(shù)能被4整除；(3)xR，x230；(4)xR，yR，xy0.解(1

8、)存在一個(gè)菱形，它的四條邊不全相等(2)存在被6整除的數(shù)，它不能被4整除(3)x0R，x30.(4)xR，yR，xy0.講練學(xué)案部分 14.1全稱量詞14.2存在量詞.知識(shí)點(diǎn)一判斷全稱命題的真假判斷下列全稱命題的真假：(1)xx|x是有理數(shù)，x2是有理數(shù)；(2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)p，為正數(shù)，且<p；(3)對(duì)實(shí)數(shù)x，若x26x70，則x26x70.解(1)真命題(2)假命題如：p時(shí)，此時(shí)>p.(3)真命題【反思感悟】要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)集合M中的每個(gè)元素x，證明p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個(gè)x0，使p(x0)不成立即可判斷下列全稱命題的真

9、假：(1)所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)；(2)xR，x211；(3)對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)解(1)2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù)所以，全稱命題“所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)”是假命題(2)xR，總有x20，因而x211.所以，全稱命題“xR，x211”是真命題(3)是無理數(shù)，但()22是有理數(shù)所以，全稱命題“對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是假命題知識(shí)點(diǎn)二特稱命題的真假判斷判斷下列特稱命題的真假：(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使x2x030；(2)存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線；(3)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)解(1)由于xR，x22x3(x1)222，因此使x22x30的實(shí)數(shù)x不存在所以，特稱命題“有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使x2

10、x030”是假命題(2)由于垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是互相平行的，因此不存在兩個(gè)相交的平面垂直于同一條直線所以，特稱命題“存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線”是假命題(3)由于存在整數(shù)3只有兩個(gè)正因數(shù)1和3，所以特稱命題“有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)”是真命題【反思感悟】要判定特稱命題“x0M，p(x0)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個(gè)特稱命題是假命題指出下列命題中，哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并判斷真假：(1)若a>0，且a1，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，ax>0；(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1<

11、x2，則tanx1<tanx2；(3)T0R，使|sin(xT0)|sinx|；(4)x0R，使x1<0.解(1)(2)是全稱命題，(3)(4)是特稱命題(1)ax>0(a>0，a1)恒成立，命題(1)是真命題(2)存在x10，x2，x1<x2，但tan0tan，命題(2)是假命題(3)y|sinx|是周期函數(shù)，就是它的一個(gè)周期，命題(3)是真命題(4)對(duì)任意xR，x21>0.命題(4)是假命題知識(shí)點(diǎn)三全(特)稱命題的判斷判斷下列語(yǔ)句是全稱命題還是特稱命題(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)a，a不能取對(duì)數(shù)；(2)對(duì)所有不等式的解集A，都有AR；(3)有的向量方向不定；(4)三

12、角形的內(nèi)角和為180°.解(1)特稱命題；(2)全稱命題；(3)特稱命題；(4)全稱命題因?yàn)?1)含有存在量詞“有一個(gè)”；(2)含有全稱量詞“所有”；(3)含有存在量詞“有的”；(4)從題意知是指所有【反思感悟】在判斷命題是全稱命題或者特稱命題時(shí)，當(dāng)命題中不含量詞時(shí)，要根據(jù)題意是所有的意思還是存在的意思來判斷判斷下列語(yǔ)句是全稱命題還是特稱命題(1)實(shí)數(shù)的平方大于或等于0；(2)方程ax22x10(a<0)至少有一個(gè)負(fù)根；(3)二次函數(shù)的圖象是拋物線解(1)是全稱命題；(2)是特稱命題；(3)是全稱命題課堂小結(jié)：1全稱命題與特稱命題的表述同一個(gè)全稱命題或特稱命題，由于自然語(yǔ)言的不

13、同，可以有不同的表述方法現(xiàn)列表總結(jié)如下在實(shí)際應(yīng)用中可以靈活地選擇.命題全稱命題“xA，p(x)”特稱命題“x0A，p(x0)”表述方法所有的xA，p(x)成立存在x0A，使p(x0)成立對(duì)一切xA，p(x)成立至少有一個(gè)x0A，使p(x0)成立對(duì)每一個(gè)xA，p(x)成立對(duì)有些x0A，使p(x0)成立任選一個(gè)xA，使p(x)成立對(duì)某個(gè)x0A，使p(x0)成立凡xA，都有p(x)成立有一個(gè)x0A，使p(x0)成立2.判定命題是全稱命題還是特稱命題，主要方法是看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞；另外，有些全稱命題并不含有全稱量詞，這時(shí)我們就要根據(jù)命題涉及的意義去判斷3全(特)稱命題真假的判斷(1)全

14、稱命題是真命題，必須確定對(duì)集合M中的每一個(gè)元素都成立，若是假命題，舉一個(gè)反例即可(2)特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少找到一個(gè)元素使得命題成立，若是假命題，則對(duì)集合M中的每一個(gè)元素都不成立一、選擇題1下列命題不是“x0R，x>3”的表述方法的是()A有一個(gè)x0R，使x>3B有些x0R，使x>3C任選一個(gè)xR，使x2>3D至少有一個(gè)x0R，使x>3答案C解析“任選一個(gè)xR，使x2>3”是全稱命題，不能用符號(hào)“”表示，故選C.2下列命題是真命題的是()AxR，x22x10Bx0R，0CxN*，log2x>0Dx0R，cosx0<2x0x3答

15、案B解析當(dāng)x01時(shí)，0，所以命題“x0R，0”正確，故選B.3下列命題是全稱真命題的是()AxR，x2>0BxQ，x2QCx0Z，x>1Dx，yR，x2y2>0答案B解析A，B，D是全稱命題，當(dāng)x0時(shí)，x20；當(dāng)x0，y0時(shí)，x2y20，因此A，D為假命題故選B.4下列語(yǔ)句不是全稱命題的是()A任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零B自然數(shù)都是正整數(shù)C高二(一)班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員D每一個(gè)向量都有大小答案C解析“高二(一)班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員”，即“高二(一)班有的同學(xué)不是團(tuán)員”，這是特稱命題故選C.5給出下列命題：存在實(shí)數(shù)x0，使x>1；全等三角形必相似；有些相似三角形全等；至少

16、有一個(gè)實(shí)數(shù)a，使ax2ax10的根為負(fù)數(shù)其中特稱命題有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)答案C解析是特稱命題，是全稱命題6下列命題正確的是()A對(duì)所有的正實(shí)數(shù)t, 為正且<tB存在實(shí)數(shù)x0，使x3x040C不存在實(shí)數(shù)x，使x<4且x25x240D存在實(shí)數(shù)x0，使得|x01|1且x>4答案B解析t時(shí)，此時(shí)>t，所以A錯(cuò)；由x23x40，得x1或x4，因此當(dāng)x01或x04時(shí)，x3x040，故B正確；由x25x240，得x8或x3，所以C錯(cuò)；由|x1|1，得2x0，由x2>4，得x<2或x>2，所以D錯(cuò)二、填空題7填上適當(dāng)?shù)牧吭~符號(hào)“”“”，使下列命題為真命題

17、(1)_xR，使x22x10；(2)_，R，使cos()coscos；(3)_a，bR，使方程組，有唯一解答案(1)(2)(3)8將下列命題用含有“”或“”的符號(hào)語(yǔ)言來表示(1)任意一個(gè)整數(shù)都是有理數(shù)，_.(2)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不小于0，_.(3)存在一實(shí)數(shù)x0，使x10，_.答案(1)xZ，xQ(2)xR，|x|0(3)x0R，x10三、解答題9判斷下列命題是否是全稱命題或特稱命題？若是，并判斷其真假(1)x0，x020；(2)矩形的對(duì)角線互相垂直平分；(3)三角形兩邊之和大于第三邊；(4)有些素?cái)?shù)是奇數(shù)解(1)特稱命題，真命題；(2)全稱命題，假命題；(3)全稱命題，真命題；(4)特稱命題，真

18、命題10試用不同的表述寫出全稱命題“矩形都是正方形”解所有的矩形都是正方形一切矩形都是正方形每一個(gè)矩形都是正方形任一個(gè)矩形都是正方形凡是矩形都是正方形.1.4.3含有一個(gè)量詞的命題的否定知識(shí)點(diǎn)一全稱命題的否定寫出下列全稱命題的否定：(1)p：x>1，log2x>0；(2)p：T2k，kZ，sin(xT)sinx；(3)p：直線l平面，則對(duì)任意l，ll.解(1)綈p：x0>1，log2x00.(2)綈p：T02k，kZ，sin(xT0)sinx.(3)綈p：直線l平面，則l，l與l不垂直【反思感悟】全稱命題“xM，p(x)”的否定是“x0M，綈p(x0)”，全稱命題的否定是特稱

19、命題寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2mx10必有實(shí)數(shù)根；(2)p：菱形的對(duì)角線互相垂直；(3)p：三角形的內(nèi)角和為180°.解(1)這一命題可表述為p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，方程x2mx10必有實(shí)數(shù)根，其否定為綈p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使方程x2mx10沒有實(shí)數(shù)根因?yàn)樵摲匠痰呐袆e式m24>0恒成立，故綈p為假命題(2)綈p：有的菱形對(duì)角線不垂直顯然綈p為假命題(3)綈p：三角形的內(nèi)角和不全為180°.(或存在一個(gè)三角形，其內(nèi)角和不等于180°)顯然綈p為假命題知識(shí)點(diǎn)二特稱命題的否定寫出下列特稱命題的否定：(1)p：x0>1，使

20、x2x030；(2)p：若an2n10，則nN，使Sn<0；(3)p：a，b是異面直線，Aa，Bb，使ABa，ABb.解(1)綈p：x>1，x22x30；(2)綈p：若an2n10，則對(duì)nN，有Sn0；(3)綈p：a，b是異面直線，則Aa，Bb，有AB不與a垂直，或不與b垂直【反思感悟】特稱命題“x0M，p(x0)”的否定是“xM，綈p(x)”，特稱命題的否定是全稱命題遇到“且”命題否定時(shí)變?yōu)椤盎颉泵}，遇到“或”命題否定時(shí)變?yōu)椤扒摇泵}寫出下列命題的否定，并判斷其真假(1)p：有些三角形的三條邊相等；(2)p：存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形；(3)p：x0R,3x0<0.解(

21、1)綈p：所有三角形的三條邊不全相等顯然綈p為假命題(2)綈p：所有的四邊形都是平行四邊形綈p是假命題(3)綈p：xR.3x0綈p為真命題知識(shí)點(diǎn)三全稱命題、特稱命題的應(yīng)用已知函數(shù)f(x)x22x5.(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式mf(x)>0對(duì)于任意xR恒成立，并說明理由(2)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使不等式mf(x0)>0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍分析可考慮用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為m>f(x)對(duì)任意xR恒成立和存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使m>f(x0)成立解(1)不等式mf(x)>0可化為m>f(x)，即m>x22x5(x1)24.要使m>(x1)24對(duì)于任意x

22、R恒成立，只需m>4即可故存在實(shí)數(shù)m，使不等式mf(x)>0對(duì)于任意xR恒成立，此時(shí)，只需m>4.(2)不等式mf(x0)>0可化為m>f(x0)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m>4.所以，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，)【反思感悟】對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max.若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min.若方程cos2x2sinxa0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解cos2x2sinxa0

23、，a2sin2x12sinx2(sin2xsinx)1，a2(sinx)2.又1sinx1，2(sinx)23.故當(dāng)a3時(shí)，方程a2(sinx)2有實(shí)數(shù)解，所以，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是，3.課堂小結(jié)：1. 全稱命題和特稱命題的否定，其模式是固定的，即相應(yīng)的全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q量詞.具有性質(zhì)p變?yōu)榫哂行再|(zhì)瘙綈p.2. 實(shí)際應(yīng)用中,若從正面證明全稱命題“xM，p（x）”不容易，可證其反面“xM“x0M， 綈p(x0)”是假命題,反之亦然.一、選擇題1“a和b都不是偶數(shù)”的否定形式是()Aa和b至少有一個(gè)是偶數(shù)Ba和b至多有一個(gè)是偶數(shù)Ca是偶數(shù)，b不是偶數(shù)Da和b都是偶數(shù)答案A解析

24、在a、b是否為偶數(shù)的四種情況中去掉a和b都不是偶數(shù)還有三種情況，即a偶b奇，a奇b偶，a偶b偶，故選A.2命題“某些平行四邊形是矩形”的否定命題是()A某些平行四邊形不是矩形B任何平行四邊形是矩形C每一個(gè)平行四邊形都不是矩形D以上都不對(duì)答案C解析特稱命題的否定是把存在量詞變?yōu)槿Q量詞，然后否定結(jié)論所以選C.3命題“原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于yx對(duì)稱”的否定是()A原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于yx對(duì)稱B原函數(shù)不與反函數(shù)的圖象關(guān)于yx對(duì)稱C存在一個(gè)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象不關(guān)于yx對(duì)稱D存在原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于yx對(duì)稱答案C解析要把隱含的全稱量詞找出變?yōu)榇嬖诹吭~，然后否定結(jié)論4命題“有的函數(shù)沒有解析式”的否定是()A有的函數(shù)有解析式B任何函數(shù)都沒有解析式C任何函數(shù)都有解析式D多數(shù)函數(shù)有解析式答案C5將a2b22ab(ab)2改寫成全稱命題是()Aa，bR，使a2b22ab(ab)2Ba<0，b>0，使a2b22ab(ab)2Ca>0，b>0，使a2b22ab(ab)2Da，bR，使a2b22ab(ab)2答案D解析因a2b22ab(ab)2本身隱含著對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b等式都成立，等式本身就是一個(gè)全稱命題，只是沒用量詞表達(dá)6以下三個(gè)命題：R，在，上函數(shù)ysinx都能取到最大值1；若aR，且a0，f(xa)f(x)