1、§1.4全稱量詞與存在量詞知識點一全稱命題與特稱命題的判斷判斷下列語句是全稱命題，還是特稱命題：(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)對任意角，都有sin2cos21；(4)有些素數的和仍是素數；(5)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直分析先看是否有全稱量詞和存在量詞，當沒有時，要結合命題的具體意義進行判斷解(1)可以改寫為所有的凸多邊形的外角和等于360°，故為全稱命題(2)含有存在量詞“有的”，故是特稱命題(3)含有全稱量詞“任意”，故是全稱命題(4)含有存在量詞“有些”，故為特稱命題(5)若一個四邊形是菱形，也就是所

2、有的菱形，故為全稱命題知識點二判斷全稱或特稱命題的真假試判斷以下命題的真假：(1)xR，x22>0；(2)xN，x41；(3)xZ，x3<1；(4)xQ，x23.分析要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個xx0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”)要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個xx0，使p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題解(1)由于xR，都有x20，因而有x222>0，即x22>0.所以命題“xR，x22>

3、0”是真命題(2)由于0N，當x0時，x41不成立所以命題“xN，x41”是假命題(3)由于1Z，當x1時，能使x3<1.所以命題“xZ，x3<1”是真命題(4)由于使x23成立的數只有±，而它們都不是有理數因此，沒有任何一個有理數的平方能等于3.所以命題“xQ，x23”是假命題知識點三全稱或特稱命題的否定寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一個實數x，使x310.解(1)綈p：xR，x2x<0.(假)這是由于xR，x2x20恒成立(2)綈q：至少存在一個正方形不是

4、矩形(假)(3)綈r：xR，x22x2>0.(真)這是由于xR，x22x2(x1)211>0成立(4)綈s：xR，x310.(假)這是由于x1時，x310.考題賞析1(海南，寧夏高考)已知命題p：xR，sinx1，則()A綈p：xR，sinx1B綈p：xR，sinx1C綈p：xR，sinx>1D綈p：xR，sinx>1解析命題p是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題答案C2(山東高考)命題“對任意的xR，x3x210”的否定是()A不存在xR，x3x210B存在xR，x3x210C存在xR，x3x21>0D對任意的xR，x3x21>0解析全稱命題的否定是特稱命

5、題答案C1給出下列幾個命題：至少有一個x0，使x2x010成立；對任意的x，都有x22x10成立；對任意的x，都有x22x10不成立；存在x0，使x2x010成立其中是全稱命題的個數為()A1 B2 C3 D0答案B解析命題都含有全稱量詞“任意的”，故是全稱命題2將“x2y22xy”改寫成全稱命題，下列說法正確的是()Ax，yR，都有x2y22xyBx0，y0R，使xy2x0y0Cx>0，y>0，都有x2y22xyDx0<0，y0<0，使xy2x0y0答案A3全稱命題“所有被5整除的整數都是奇數”的否定是()A所有被5整除的整數都不是奇數B所有奇數都不能被5整除C存在一

6、個被5整除的整數不是奇數D存在一個奇數，不能被5整除答案C解析全稱命題的否定是特稱命題4已知命題p：對任意xR，有cosx1，則()A綈p：存在xR，使cosx1B綈p：對任意xR，有cosx1C綈p：存在xR，使cosx>1D綈p：對任意xR，有cosx>1答案C5已知命題p：“x1,2，x2a0”，命題q：“xR，x22ax2a0”，則命題“p且q”是真命題的充要條件()Aa2或a1 Ba2或1a2Ca1 D2a1答案A解析p真即ax2在1x2范圍內恒成立，因x21,4，所以a1；q真等價于4a24(2a)0恒成立即a2a20.所以a1或a2.要使p且q為真則a的取值范圍為：a

7、1或a2，故選A.6命題“nN*，mN，使m2<n”的否定是_答案nN*，mN，使m2n7將a2b22ab(ab)2改寫成全稱命題是_答案a，bR，使a2b22ab(ab)28用符號“”與“”表示下面的命題：(1)實數的絕對值大于等于0；(2)存在實數對，使兩數的平方和小于1；(3)任意的實數a，b，c，滿足a2b2c2abacbc.解(1)xR，|x|0.(2)x0，y0R，使xy<1.(3)a，b，cR，a2b2c2abacbc.9寫出下列命題的否定：(1)若一個四邊形是菱形，則它的四條邊相等；(2)被6整除的數能被4整除；(3)xR，x230；(4)xR，yR，xy0.解(1

8、)存在一個菱形，它的四條邊不全相等(2)存在被6整除的數，它不能被4整除(3)x0R，x30.(4)xR，yR，xy0.講練學案部分 14.1全稱量詞14.2存在量詞.知識點一判斷全稱命題的真假判斷下列全稱命題的真假：(1)xx|x是有理數，x2是有理數；(2)對所有的正實數p，為正數，且<p；(3)對實數x，若x26x70，則x26x70.解(1)真命題(2)假命題如：p時，此時>p.(3)真命題【反思感悟】要判定一個全稱命題是真命題，必須對集合M中的每個元素x，證明p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個x0，使p(x0)不成立即可判斷下列全稱命題的真

9、假：(1)所有的素數是奇數；(2)xR，x211；(3)對每一個無理數x，x2也是無理數解(1)2是素數，但2不是奇數所以，全稱命題“所有的素數是奇數”是假命題(2)xR，總有x20，因而x211.所以，全稱命題“xR，x211”是真命題(3)是無理數，但()22是有理數所以，全稱命題“對每一個無理數x，x2也是無理數”是假命題知識點二特稱命題的真假判斷判斷下列特稱命題的真假：(1)有一個實數x0，使x2x030；(2)存在兩個相交平面垂直于同一條直線；(3)有些整數只有兩個正因數解(1)由于xR，x22x3(x1)222，因此使x22x30的實數x不存在所以，特稱命題“有一個實數x0，使x2

10、x030”是假命題(2)由于垂直于同一條直線的兩個平面是互相平行的，因此不存在兩個相交的平面垂直于同一條直線所以，特稱命題“存在兩個相交平面垂直于同一條直線”是假命題(3)由于存在整數3只有兩個正因數1和3，所以特稱命題“有些整數只有兩個正因數”是真命題【反思感悟】要判定特稱命題“x0M，p(x0)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個特稱命題是假命題指出下列命題中，哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并判斷真假：(1)若a>0，且a1，則對任意實數x，ax>0；(2)對任意實數x1，x2，若x1<

11、x2，則tanx1<tanx2；(3)T0R，使|sin(xT0)|sinx|；(4)x0R，使x1<0.解(1)(2)是全稱命題，(3)(4)是特稱命題(1)ax>0(a>0，a1)恒成立，命題(1)是真命題(2)存在x10，x2，x1<x2，但tan0tan，命題(2)是假命題(3)y|sinx|是周期函數，就是它的一個周期，命題(3)是真命題(4)對任意xR，x21>0.命題(4)是假命題知識點三全(特)稱命題的判斷判斷下列語句是全稱命題還是特稱命題(1)有一個實數a，a不能取對數；(2)對所有不等式的解集A，都有AR；(3)有的向量方向不定；(4)三

12、角形的內角和為180°.解(1)特稱命題；(2)全稱命題；(3)特稱命題；(4)全稱命題因為(1)含有存在量詞“有一個”；(2)含有全稱量詞“所有”；(3)含有存在量詞“有的”；(4)從題意知是指所有【反思感悟】在判斷命題是全稱命題或者特稱命題時，當命題中不含量詞時，要根據題意是所有的意思還是存在的意思來判斷判斷下列語句是全稱命題還是特稱命題(1)實數的平方大于或等于0；(2)方程ax22x10(a<0)至少有一個負根；(3)二次函數的圖象是拋物線解(1)是全稱命題；(2)是特稱命題；(3)是全稱命題課堂小結：1全稱命題與特稱命題的表述同一個全稱命題或特稱命題，由于自然語言的不

13、同，可以有不同的表述方法現列表總結如下在實際應用中可以靈活地選擇.命題全稱命題“xA，p(x)”特稱命題“x0A，p(x0)”表述方法所有的xA，p(x)成立存在x0A，使p(x0)成立對一切xA，p(x)成立至少有一個x0A，使p(x0)成立對每一個xA，p(x)成立對有些x0A，使p(x0)成立任選一個xA，使p(x)成立對某個x0A，使p(x0)成立凡xA，都有p(x)成立有一個x0A，使p(x0)成立2.判定命題是全稱命題還是特稱命題，主要方法是看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞；另外，有些全稱命題并不含有全稱量詞，這時我們就要根據命題涉及的意義去判斷3全(特)稱命題真假的判斷(1)全

14、稱命題是真命題，必須確定對集合M中的每一個元素都成立，若是假命題，舉一個反例即可(2)特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少找到一個元素使得命題成立，若是假命題，則對集合M中的每一個元素都不成立一、選擇題1下列命題不是“x0R，x>3”的表述方法的是()A有一個x0R，使x>3B有些x0R，使x>3C任選一個xR，使x2>3D至少有一個x0R，使x>3答案C解析“任選一個xR，使x2>3”是全稱命題，不能用符號“”表示，故選C.2下列命題是真命題的是()AxR，x22x10Bx0R，0CxN*，log2x>0Dx0R，cosx0<2x0x3答

15、案B解析當x01時，0，所以命題“x0R，0”正確，故選B.3下列命題是全稱真命題的是()AxR，x2>0BxQ，x2QCx0Z，x>1Dx，yR，x2y2>0答案B解析A，B，D是全稱命題，當x0時，x20；當x0，y0時，x2y20，因此A，D為假命題故選B.4下列語句不是全稱命題的是()A任何一個實數乘以零都等于零B自然數都是正整數C高二(一)班絕大多數同學是團員D每一個向量都有大小答案C解析“高二(一)班絕大多數同學是團員”，即“高二(一)班有的同學不是團員”，這是特稱命題故選C.5給出下列命題：存在實數x0，使x>1；全等三角形必相似；有些相似三角形全等；至少

16、有一個實數a，使ax2ax10的根為負數其中特稱命題有()A1個 B2個C3個 D4個答案C解析是特稱命題，是全稱命題6下列命題正確的是()A對所有的正實數t, 為正且<tB存在實數x0，使x3x040C不存在實數x，使x<4且x25x240D存在實數x0，使得|x01|1且x>4答案B解析t時，此時>t，所以A錯；由x23x40，得x1或x4，因此當x01或x04時，x3x040，故B正確；由x25x240，得x8或x3，所以C錯；由|x1|1，得2x0，由x2>4，得x<2或x>2，所以D錯二、填空題7填上適當的量詞符號“”“”，使下列命題為真命題

17、(1)_xR，使x22x10；(2)_，R，使cos()coscos；(3)_a，bR，使方程組，有唯一解答案(1)(2)(3)8將下列命題用含有“”或“”的符號語言來表示(1)任意一個整數都是有理數，_.(2)實數的絕對值不小于0，_.(3)存在一實數x0，使x10，_.答案(1)xZ，xQ(2)xR，|x|0(3)x0R，x10三、解答題9判斷下列命題是否是全稱命題或特稱命題？若是，并判斷其真假(1)x0，x020；(2)矩形的對角線互相垂直平分；(3)三角形兩邊之和大于第三邊；(4)有些素數是奇數解(1)特稱命題，真命題；(2)全稱命題，假命題；(3)全稱命題，真命題；(4)特稱命題，真

18、命題10試用不同的表述寫出全稱命題“矩形都是正方形”解所有的矩形都是正方形一切矩形都是正方形每一個矩形都是正方形任一個矩形都是正方形凡是矩形都是正方形.1.4.3含有一個量詞的命題的否定知識點一全稱命題的否定寫出下列全稱命題的否定：(1)p：x>1，log2x>0；(2)p：T2k，kZ，sin(xT)sinx；(3)p：直線l平面，則對任意l，ll.解(1)綈p：x0>1，log2x00.(2)綈p：T02k，kZ，sin(xT0)sinx.(3)綈p：直線l平面，則l，l與l不垂直【反思感悟】全稱命題“xM，p(x)”的否定是“x0M，綈p(x0)”，全稱命題的否定是特稱

19、命題寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：不論m取何實數，方程x2mx10必有實數根；(2)p：菱形的對角線互相垂直；(3)p：三角形的內角和為180°.解(1)這一命題可表述為p：對任意的實數m，方程x2mx10必有實數根，其否定為綈p：存在一個實數m，使方程x2mx10沒有實數根因為該方程的判別式m24>0恒成立，故綈p為假命題(2)綈p：有的菱形對角線不垂直顯然綈p為假命題(3)綈p：三角形的內角和不全為180°.(或存在一個三角形，其內角和不等于180°)顯然綈p為假命題知識點二特稱命題的否定寫出下列特稱命題的否定：(1)p：x0>1，使

20、x2x030；(2)p：若an2n10，則nN，使Sn<0；(3)p：a，b是異面直線，Aa，Bb，使ABa，ABb.解(1)綈p：x>1，x22x30；(2)綈p：若an2n10，則對nN，有Sn0；(3)綈p：a，b是異面直線，則Aa，Bb，有AB不與a垂直，或不與b垂直【反思感悟】特稱命題“x0M，p(x0)”的否定是“xM，綈p(x)”，特稱命題的否定是全稱命題遇到“且”命題否定時變為“或”命題，遇到“或”命題否定時變為“且”命題寫出下列命題的否定，并判斷其真假(1)p：有些三角形的三條邊相等；(2)p：存在一個四邊形不是平行四邊形；(3)p：x0R,3x0<0.解(

21、1)綈p：所有三角形的三條邊不全相等顯然綈p為假命題(2)綈p：所有的四邊形都是平行四邊形綈p是假命題(3)綈p：xR.3x0綈p為真命題知識點三全稱命題、特稱命題的應用已知函數f(x)x22x5.(1)是否存在實數m，使不等式mf(x)>0對于任意xR恒成立，并說明理由(2)若存在一個實數x0，使不等式mf(x0)>0成立，求實數m的取值范圍分析可考慮用分離參數法，轉化為m>f(x)對任意xR恒成立和存在一個實數x0，使m>f(x0)成立解(1)不等式mf(x)>0可化為m>f(x)，即m>x22x5(x1)24.要使m>(x1)24對于任意x

22、R恒成立，只需m>4即可故存在實數m，使不等式mf(x)>0對于任意xR恒成立，此時，只需m>4.(2)不等式mf(x0)>0可化為m>f(x0)，若存在一個實數x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m>4.所以，所求實數m的取值范圍是(4，)【反思感悟】對任意的實數x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max.若存在一個實數x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min.若方程cos2x2sinxa0有實數解，求實數a的取值范圍解cos2x2sinxa0

23、，a2sin2x12sinx2(sin2xsinx)1，a2(sinx)2.又1sinx1，2(sinx)23.故當a3時，方程a2(sinx)2有實數解，所以，所求實數a的取值范圍是，3.課堂小結：1. 全稱命題和特稱命題的否定，其模式是固定的，即相應的全稱量詞變為存在量詞，存在量詞變為全稱量詞.具有性質p變為具有性質瘙綈p.2. 實際應用中,若從正面證明全稱命題“xM，p（x）”不容易，可證其反面“xM“x0M， 綈p(x0)”是假命題,反之亦然.一、選擇題1“a和b都不是偶數”的否定形式是()Aa和b至少有一個是偶數Ba和b至多有一個是偶數Ca是偶數，b不是偶數Da和b都是偶數答案A解析

24、在a、b是否為偶數的四種情況中去掉a和b都不是偶數還有三種情況，即a偶b奇，a奇b偶，a偶b偶，故選A.2命題“某些平行四邊形是矩形”的否定命題是()A某些平行四邊形不是矩形B任何平行四邊形是矩形C每一個平行四邊形都不是矩形D以上都不對答案C解析特稱命題的否定是把存在量詞變為全稱量詞，然后否定結論所以選C.3命題“原函數與反函數的圖象關于yx對稱”的否定是()A原函數與反函數的圖象關于yx對稱B原函數不與反函數的圖象關于yx對稱C存在一個原函數與反函數的圖象不關于yx對稱D存在原函數與反函數的圖象關于yx對稱答案C解析要把隱含的全稱量詞找出變為存在量詞，然后否定結論4命題“有的函數沒有解析式”的否定是()A有的函數有解析式B任何函數都沒有解析式C任何函數都有解析式D多數函數有解析式答案C5將a2b22ab(ab)2改寫成全稱命題是()Aa，bR，使a2b22ab(ab)2Ba<0，b>0，使a2b22ab(ab)2Ca>0，b>0，使a2b22ab(ab)2Da，bR，使a2b22ab(ab)2答案D解析因a2b22ab(ab)2本身隱含著對任意的實數a，b等式都成立，等式本身就是一個全稱命題，只是沒用量詞表達6以下三個命題：R，在，上函數ysinx都能取到最大值1；若aR，且a0，f(xa)f(x)