1、2.1.1 指數與指數冪的運算（2）從容說課指數是指數函數的預備知識，初中已經學習了整數指數冪的概念及其運算性質.為了講解指數函數，需要把指數的概念擴充到有理數指數冪、實數指數冪.為了完成這個擴充，必須先學習分數指數冪的概念和運算性質，了解無理數指數冪的概念.分數指數是指數概念的又一次推廣，分數指數概念是本課教學中的一個難點.教學中要讓學生反復理解分數指數冪的意義，它不表示相同因式的乘積，而是根式的一種新的寫法.教學中可以通過根式和分數指數冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解.由于學生已經有了負整數指數冪的學習經歷，正分數指數冪的概念引入后，學生不難理解負分數指數冪的意義，教學中，可以引導學生自

2、己得出a=（a0，m、n均為正整數，且n1）.三維目標一、知識與技能1.理解分數指數冪的含義，了解有理數指數冪的意義.2.掌握有理指數冪的運算性質，靈活地運用乘法公式進行有理指數冪的運算和化簡，會進行根式與分數指數冪的相互轉化.二、過程與方法1.教學時不僅要關注冪運算的基本知識的學習，同時還要關注學生思維遷移能力的培養.2.通過指數冪概念及其運算性質的拓展，引導學生認真體會數學知識發展的邏輯合理性、嚴謹性.3.通過學習根式、分數指數冪、有理數指數冪之間的內在聯系，培養學生能辯證地分析問題、認識問題.三、情感態度與價值觀1.通過分數指數冪概念的學習，使學生認清基本概念的來龍去脈，加深對人類認識事

3、物的一般規律的理解和認識，體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性，激發學生的學習興趣.2.教學過程中，通過教師與學生、學生與學生之間的相互交流，加深理解分數指數冪的意義.3.通過研究指數由“整數指數冪根式分數指數冪有理數指數冪實數指數冪”這一不斷擴充、不斷完善的過程，使學生認同科學是在不斷的觀察、實驗、探索和完善中前進的.教學重點1.分數指數冪的含義的理解.2.根式與分數指數冪的互化.3.有理指數冪的運算性質的掌握.教學難點1.分數指數冪概念的理解.2.有理指數冪的運算和化簡.教具準備多媒體課件、投影儀、打印好的作業.教學過程一、回顧舊知，探索規律，引入新課師：上節課學習了n次方根的有關知識

4、，請同學們根據有關知識快速完成下列練習.（多媒體顯示如下練習，生口答）=_；=_；=_；=_.生：2 3 25 34.師：注意觀察最終化簡結果的指數、被開方數的指數以及根指數這三者之間有什么關系？（組織學生交流，及時捕捉與以下結論有關的信息并板書）=25=2，=34=3.師：你對上面的總結是什么呢?生：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以寫成分數指數冪的形式.師：當根式的被開方式的指數不能被根指數整除時，是否也可將根式寫成分數指數冪的形式？（生思考片刻，師繼續闡述）師：這個問題我們的先輩早已解決了，人們在不斷探索中發現，這么做不但是可以的，并且還會給計算帶來很大方便.于是就建立了分

5、數指數冪的概念.這就是我們本課所要研究的內容.二、講解新課（一）分數指數冪的意義師：，等通過類比可以寫成什么形式？說明了什么問題?生：a，b，c.當根式的被開方式的指數不能被根指數整除時，也可以寫成分數指數冪的形式.師：通過上面的例子你能給出一般性的結論嗎?（生在師的指導下，得出一般性的結論）（師板書正分數指數冪的意義）規定：正數的正分數指數冪的意義是a=（a0，m、nN*，且n1）.師：初中我們學習了負整數指數冪的意義，你還能說出來嗎？生：負整數指數冪的意義為an=（a0，nN*）.師：負分數指數冪的意義如何規定呢？你能否根據負整數指數冪的意義，類比出正數的負分數指數冪的意義呢？（組織學生討

6、論交流，得出如下結論）正數的負分數指數冪的意義和正數的負整數指數冪的意義相仿.規定：a=（a0，m、nN*，且n1）.我們規定：0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義.師：細心的同學可能已經發現了，我們這里討論分數指數冪的意義時，對底數都是有大于0這個規定的，為什么要作這個規定呢？如果去掉這個規定會產生怎樣的局面？合作探究：在規定分數指數冪的意義時，為什么底數必須是正數？（組織學生討論，通過具體例子說明規定底數a0的合理性）若無此條件會引起混亂，例如，（1）和（1）應當具有同樣的意義，但由分數指數冪的意義可得出不同的結果：（1）=1；（1）=1.這就說明分數指數冪在底數小于0時無意義

7、.方法引導：在把根式化成分數指數冪時，要注意使底數大于0，在例子=a（a0）中，若無a0這個條件，=|a|；同時，負數開奇次方根是有意義的，所以當奇數次根式要化成分數指數冪時，先要把負號移到根號外面去，然后再按規定化成分數指數冪，例如，=2.知識拓展：負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數，而不是負數，負號只是出現在指數上.（二）有理數指數冪的運算法則師：規定分數指數冪的意義之后，指數冪的概念就從整數指數推廣到有理數指數.對有理數指數冪，原整數指數冪的運算性質依然可以進行推廣，請回顧一下它們共同的運算性質.（生口答，師板書）對于任意的有理數r、s，均有下面的運算性質：aras=ar+s（a0，

8、r、sQ）；（ar）s=ars（a0，r、sQ）；（ab）r=arbr（a0，b0，r、sQ）.（三）例題講解【例1】 求值：8；25；（）5；（）.（師多媒體顯示，生板演，師組織學生評析，強調嚴格按照解題步驟書寫）解：8=（23）=2×=22=4；25=（52）=5=51=；（）5=（21）5=25=32；（）=（）=（）3=.【例2】 用分數指數冪的形式表示下列各式（其中a0）：a3·；a2·；.（生板演，師組織學生總結解決此類問題的一般方法和步驟）解：a3·=a3·a=a=a；a2·=a2·a=a=a；=（a·

9、;a）=（a）=a.方法引導：利用分數指數冪進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再根據冪的運算性質進行計算.對于計算的結果，不強求統一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分數指數冪的形式來表示，但結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.【例3】 計算下列各式（式中字母都是正數）：（1）（2ab）（6ab）÷（3ab）；（2）（mn）8.解：（1）（2ab）（6ab）÷（3ab）=2×（6）÷（3）ab=4ab0=4a；（2）（mn）8=（m）8（n）8=m2n3=.【例4】 計算下列各式：（1）（）÷；（2）（a

10、0）.解：（1）（）÷=（55）÷5=5÷55÷5=55=55=5；（2）=a=a=.三、鞏固練習課本P63練習：1，2，3.（生完成后，同桌之間互相交流解答過程）解：1.a=；a=；a=；a=.2.（1）=x；（2）=（a+b）；（3）=（mn）；（4）=（mn）=（mn）2；（5）=（p6q5）=pq=|p|3q；（6）=m=m.3.（1）（）=（）2=（）3=；（2）2××=2×3×（）×（22×3）=2×3=2×3=6；（3）aaa=a=a（a0）；（4）2x（x2x

11、）=2××x2×2×x=x04x1=1.四、課堂小結師：本節課你有哪些收獲?能和你的同桌互相交流一下你們各自的收獲嗎？請把你們的交流過程作簡單記錄.（生交流，師投影顯示如下知識要點）1.分數指數冪的意義規定：正數的正分數指數冪的意義是a=（a0，m、nN*，且n1）.正數的負分數指數冪的意義和正數的負整數指數冪的意義相仿，規定：a=（a0，m、nN*，且n1）.我們規定：0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義.2.分數指數冪意義的一種規定，規定了分數指數冪的意義以后，指數的概念就從整數指數推廣到有理數，并把整數指數冪的運算性質推廣到有理指數冪的運算性質.3.有理數指數冪的運算法則aras=ar+s（a0，r、s