1、微分中值定理的證明及應用摘 要在數學分析中,三個微分中值定理極為重要.本文從羅爾定理出發,用構造輔助函數法和行列式法,不僅證明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理,并對其進行了應用.關鍵詞中值定理; 證明; 構造函數;行列式; 應用The Proof and Application of The Mid-value TheoremsWang XX Instructor: XXXAbstract: In the mathematical analysis, three differential mid-value theorem is extremely important. This paper,

2、 starting from Rolle theorem in construct auxiliary function method and determinant method, not only proved Lagrange's mean value theorem and Cauchy mid-value theorem are obtained, and analyses the application. Keywords: Mean-value theorem; Proof; The constructor; The determinant; Application 1

3、引言微分中值定理是微分學的基本定理,在數學分析中有重要的地位,在微積分教學與研究中具有承前啟后的作用,是研究函數在某個區間內的整體性質的有力工具.然而,在證明了羅爾定理之后,如何在去證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理,是一個比較困難的問題,本文通過構造輔助函數法和行列式法,在羅爾定理的基礎上,對拉格朗日中值定理和柯西中值定理進行證明,其證明方法簡捷明了. 2 引理引理11(羅爾(Rolle)中值定理) 若函數滿足如下條件:()在閉區間上連續;()在閉區間內可導;(),則在內至少存在一點,使得.羅爾定理的幾何意義是說:在每一點都可導的一段連續曲線上,如果曲線的兩端點高度相等,則至少存在一條水平切

4、線.證明 因為在上連續,所以有最大值和最小值,分別用與表示,現分兩種情況來討論:(1) 若=,則在上必為常數,從而結論顯然成立.(2) 若<,則因,使得最大值與最小值至少有一個在內某點處取得,從而是的極值點 .由條件(),在點處可導,故由費馬定理推知.引理224 設函數, , , , , , , , 在內可導,設,則.3 定理的證明定理11 (拉格朗日(Lagrange)中值定理) 若函數滿足如下條件:()在閉區間上連續;()在開區間內可導,則在內至少存在一點,使得.拉格朗日中值定理的幾何意義是說:滿足定理條件的函數在內的曲線上至少存在一點,曲線在該點的切線平行曲線兩端點的連線.證法一4

5、 將 變形得.構造輔助函數,其中任意常數.顯然,在閉區間上連續,在開區間上可導.而,將與作差化簡得.于是滿足羅爾中值定理的條件,則至少存在一點,使得故 .證法二23 行列式法:構造輔助函數 ,則 由此可得在閉區間上連續 . 由此可得在開區間內也可導.又由,. 可得.綜上所述,可知滿足羅爾中值定理的條件,則至少存在一點.使得.故.定理21（柯西（Cauchy）中值定理） 設函數與滿足如下條件:()在閉區間連續;()在開區間可導;()與在內不同時為零; (),則在內至少存在一點,使得 .柯西中值定理的幾何意義是說:滿足定理條件的由與所確定的曲線上至少有一點,曲線的切線平行兩端點的連線 .證法一4

6、將變形得.構造輔助函數其中為任意常.顯然在閉區間上連續,在開區間內可導,且當與作差時可得.故滿足羅爾定理的條件,則存在一點,使得. 故 .證法二23 構造輔助函數 . 則 .由此可得在閉區間上連續. .由此可得在開區間內可導.由, .即 .綜上所述:滿足羅爾定理的條件,則至少存在一點,使 得.故.4 定理的應用考慮中值問題:即證明存在某個中值,使得某個等式或不等式成立,其中由給定函數及其導數構成.4 .1 羅爾(Rolle)中值定理的應用5 羅爾定理是解決中值問題的主要工具,應用Rolle定理的具體步驟可歸納如下:()將要證中值公式寫成適應的形式: .()構作輔助函數,使得等式恰相當于.通常,

7、將看作的函數求其原函數,就得出所需的,當這樣行不通時,可試著用適當的因子乘.()驗證或(,這通常是容易的,且一般在構作時已考慮到了.例1 設則存在,使得證明 變換待證中值公式為: .則 .設 ,則 .又,得.從而滿足羅爾定理的三個條件,則.故原式成立.4.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理的應用6 拉格朗日定理比羅爾定理的應用更廣泛,因為它對函數的要求更低.應用拉格朗日中值定理與應用羅爾定理證明命題的方法與技巧基本相同,只是變化更加豐富.例2設在上連續,在內可導;且.證明: ,使得.證明 變換待證公式為: .設,則可對應用拉格朗日中值定理,則存在,使得.又, ,. 則.設,可對應用拉格朗

8、日中值定理,則存在,使得 .則.故.4.3 柯西(Cauchy)中值定理的應用7由于涉及兩個函數的問題,柯西中值定理的應用要比羅爾中值定理與拉格朗日中值定理的應用要復雜,特別要注意的是,在一個命題中如何分離出兩個恰當的函數,使函數既滿足柯西定理的條件,又使命題的證明或計算簡單易行.柯西中值定理經常要與其他定理一起使用.所以分析問題時要注意層次.若待證中值公式明顯地可表示為,則很可能就是,因而可應用柯西定理.例3 設,證明:存在,使得證明 變換待證中值公式為: ,進而有,從而有. 令.對、應用柯西定理,可知必存在,使得 成立.故5 微分中值定理之間的關系三個微分中值定理之間不是互相獨立的,而是有

9、著非常密切的聯系.羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情形(當時);拉格朗日定理是柯西定理的特殊情形(當時);當函數用參數表示時,拉格朗日定理可以推出柯西定理.參 考 文 獻 1華東師范大學數學系編.數學分析M.第二版. 北京: 高等教育出版社.,2001,6.2楊耕文. 微分中值定理的研究性學習J. 洛陽大學學報, 2005, 4:66-68.3楊耕文. 用行列式法證明微分中值定理J. 洛陽大學學報, 2006,12:49-52.4高等數學復習及習題選講M. 北京工業大學出版社,2005 ,5.5李君士. 兩個微分中值定理證明中輔助函數的多種作法J.江西九江師專學報, 2004,10:165-169.6陳紀修,徐惠平,周淵,金路,邱維元. 數學分析選講指南（上冊）M. 北京:高等教育出版社. 2006,10.7孫清華,