1、導數的應用目錄摘要2一.引言2二導數的概念2三導數的求法31顯函數導數311導數的四則運算：312復合函數與反函數求導法則313基本初等函數求導公式32隱函數導數43由參數方程所確定的函數求導法44分段函數的導數4四導數的性質4五導數的應用51導數在函數中的應用511利用導數判斷函數的單調性612利用導數判斷函數凹凸性及拐點713利用導數求函數的極值和最值814利用導數知識描繪函數圖形1315利用導數求參數問題152導數在曲線中的應用163利用導數研究方程的根174應用導數證明不等式175導數在數列中的應用186利用導數求極限洛必達法則1961“”型和“”型1962其他形式207物理學中的導數

2、208經濟學中的導數應用21結束語：22參考文獻：22摘要導數是新教材的一個亮點，它是連接初等數學與高等數學的橋梁，用它可以解決許多數學問題，它是近年高考的的熱點。它不僅幫助即將進入大學的高三學生奠定進一步學習的基礎，而且在解決有關問題已經成為必用工具。由于導數的廣泛應用，現已成為高考的熱點知識本文擬對導數知識的全面歸納，然后通過一些實例全面介紹導數在實際數學中的應用，讓人們全面了解導數這一工具的利用關鍵字導數 初等數學 高等數學 應用一.引言導數是初等數學與高等數學的重要銜接點，是高考的熱點，高考對導數的考查定位于作為解決初等數學問題的工具出現，高考對這部分內容的考查將仍會以導數的應用題為主

3、，如利用導數處理函數的極值、最值和單調性問題和曲線的問題等，考題不難，側重知識之意。高考考查導數應用主要有以下三個方面：運用導數的有關知識研究函數的單調性和最值問題，利用導數的幾何意義，研究曲線的切線斜率。函數y=f(x)在x=x0處的導數，表示曲線在點P（x0 , y0）處的切線斜率。導數在其它數學分支的應用，如在數列、不等式、排列組合等知識的綜合等。二導數的概念1、定義：左導數：右導數：可以證明：可導連續 即：可導是連續的充分條件連續是可導的必要條件導函數：2.導數的幾何意義（圖1）曲線在點處的導數在幾何上表示為：曲線在點A處切線的斜率。即（是過A點的切線的傾斜角）（如圖1）則，曲線在點A

4、處切線方程為：三導數的求法1顯函數導數11導數的四則運算：12復合函數與反函數求導法則 復合函數求導法則 （反函數求導法則）13基本初等函數求導公式； ； ； ； ； ； ； ； ； 。2隱函數導數如方程，能確定，只需對方程兩邊對求導即可。注意3由參數方程所確定的函數求導法參數方程，則：為的復合函數，所以：4分段函數的導數對分段函數求導時，在分段點處必須用導數定義來求導，而在每段內仍可用初等函數求導法則來求導。分段函數點處極限問題，歸納為該點處在左、右兩側的導數是否一致以及該點處是否連續的問題。四導數的性質前面介紹了導數的基本知識，現將用導函數自身的定義來探討與導數之間的聯系性質1：若函數是偶

5、函數且可導，則其導函數是奇函數。證明：由是偶函數，有 則：所以，是奇函數同理：若函數是奇函數且可導，則其導函數是偶函數。性質2：若函數是周期函數且可導，則其導函數也是周期函數。證明：是周期，有所以，是周期函數性質3：若函數可導且圖象關于直線對稱，則其導函數圖象關于點對稱證明：函數圖象關于對稱，有且點在的圖象上，所以圖象關于點對稱同理：若函數可導且圖象關于點對稱，則其導函數圖象關于直線對稱五導數的應用1導數在函數中的應用導數是對函數的圖像與性質的總結與拓展，導數是研究函數單調性極佳、最佳的重要工具，廣泛運用在討論函數圖像的變化趨勢及證明不等式等方面。在掌握求函數的極值和最值的基礎上學習用導數解決

6、生產生活中的有關最大最小最有效等類似的應用問題11利用導數判斷函數的單調性一個函數在某個區間內的單調增減性的變化規律，是在研究函數圖形時首先考慮的問題。在中學，已經知道函數在某個區間內單調增減性的定義。下面利用導數這一工具來判斷函數增減性及其確定單調區間從圖形直觀分析：若在內，曲線上每一點的導數都大于0，即，利用導數的幾何意義知，在內，曲線上每一點的切線斜率都為正，這時曲線是上升的，即函數是單調遞增的（如圖2）。反之，若在內，曲線上每一點的導數都小于0（即曲線上每一點的切線斜率都為負），這時曲線是下降的，即函數是單調遞減的（如圖3）對于上升或者下降的曲線，它的切線在個別點可能平行于軸（此點的導

7、數值為0，即）。因此，函數的增減性反映在導數上，有如下定理：定理1：設函數在區間內可導，則：若時恒有，則在單調增加；若時恒有，則在單調減少。例1：求函數單調遞增區間解：因，由 得所以，單調遞增區間為例2：已知函數，試討論函數單調性。分析：引進導數這一工具之前，判斷函數單調性的一般方法是定義法。此題利用定義法就無法的出答案，而有了導數之后，問題就易解決了。（此題是04年湖南高考題）解：因，所以（1）當時，令得； 若，則，從而在上單調遞增； 若，則，從而在上單調遞減；（2）當時，令得或； 若，則，從而在上單調遞減； 若，則，從而在上單調遞增； 若，則，從而在上單調遞減。12利用導數判斷函數凹凸性及

8、拐點在研究函數圖形的變化狀況時，知道它的上升和下降顧慮很有好處，但不能完全反映它的變化規律。如圖4所示的函數的圖形在區間內雖然是一直上升的，但卻有不同的彎曲形狀。因此，研究函數圖形時，考察它的彎曲形狀以及扭轉彎曲方向的點是必要的。從圖4看出，曲線向下彎曲的弧度在這段弧段任意點的切線下方，曲線向上下彎曲的弧度在這段弧段任意點的切線上方，據此給出定義如下：定義1 在某區間內，若曲線弧位于其上任意一點的切線上方，則稱曲線在該區間內是上凸的（也稱在該區間內此函數為凹函數）；在某區間內，若曲線弧位于其上任意一點的切線下方，則稱曲線在該區間內是下凹的（也稱在該區間內此函數為凸函數）那么曲線的凹凸性與導數之

9、間有什么關系呢？按定義是很難判斷凹凸性的，對于凹凸性可以用二介導數來確定。即有判定定理。定理2：設函數在區間上具有二介導數，當時，則曲線為凸（此時在該區間為凹函數）當時，則曲線為凹（此時在該區間為凸函數）通過圖形的直觀性來說明該定理的正確性（如圖5）若曲線呈現凸狀，由圖5（1）直觀看出：當增大時，切線斜率隨之變小，說明一介導數函數在上為減函數，由函數單調性判別法，必有，即。說明：若曲線為凸性，必有。同理，若曲線為凹，必有。從另一角度講，該定理為二介導數的幾何意義。定義2：若函數在點的左右鄰域上凹凸性相反，則點叫做曲線的拐點（注意拐點不是）由拐點的定義可知，判斷某點是否拐點，只需看該點左右兩側二

10、介導數是否異號，與該點一介、二介導數是否存在無關例3、求函數的凹凸區間及拐點。解：因，則令，得。所以0+0-0+凹1拐點凸 拐點凹13利用導數求函數的極值和最值（1）利用導數求函數的極值函數由增加變為減少或由減少變為增加，都經過一個轉折點，即圖中的“峰”點和“谷”點，這些點是在研究函數中是十分重要的。定義2、設函數在點及其某鄰域左右兩側附近有定義，若對該鄰域內的任意點（）恒有，則為極大值；若成立，則為極小值。應當注意：極值是一個局部概念，它只限于的某一鄰域內，通過函數值相比較才能顯示出來。在一個區間上，函數可能有幾個極大、極小值。可能會有極大值小于極小值。極值點和導數的關系如何？由圖6可知：定

11、理2 若是函數的極值點，則或者不存在。注意：是點為極值點的必要條件，但不是充分條件。如，但點不是函數極值點；函數在導數不存在的點也可能有極值。如，不存在，但點不是函數極值點（如圖7）將導數為0的點或者不可導的點統稱為駐點。因此函數的極值必在駐點處取得，但駐點不一定是極值點，所以在求得函數極值的駐點后，就是找到了所有極值可疑點。下面介紹函數在駐點或導數不存在的點取得極值的充分條件，即極值的判斷方法。定理3（極限存在的充分條件之一） 設在連續，在某鄰域內可導，若（左側）時，而（右側），則函數在處取極大值若（左側）時，而（右側）時，則函數在處取極小值若兩側不變號，則在處無極值。該定理的直觀含義為：函

12、數由單調增加（或單調減少）變成單調減少（或單調增加）的轉折點，即為極大值點（或極小值點）。例4、求函數的單調區間和極值解：，當時，；而時不存在。因此，函數只可能在這兩點取得極值。+不存在-+極大值極小值由表可見，函數在區間，單調遞增；在區間單調遞減。在處有極大值，在點處有極小值。若函數的二介導數存在，有如下的判定定理；定理4（極限存在的充分條件之二） 設，存在，若，則為的極小值；若，則為的極小值；若，本方法無效，需用極限存在的充分條件之一這個定理來進一步判定。因為，則曲線在點的左右兩側呈凹狀，因此為極小值；反之，若，則曲線在點的左右兩側呈凸狀，因此為極大值。例5、求函數的極值。解：如圖8，因為

13、，令，得駐點。所以，又因為，所以函數在處取得極小值。因為，則定理應用定理4失效。下面利用定理3。當時，；當時，所以函數在處無極值同理函數在處去極值（2）利用導數求函數的最值在經濟活動和日常生活中，常遇到在一定條件下。怎樣用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的問題，這些歸納到數學問題上，即為函數的最大值或最小值問題。假定函數在閉區間上連續，則必存在最大、最小值，其判定方法為：找出可能為極值點的函數值（即區間內使或不存在的所有點的函數值）；計算出端點處的函數值；比較極值和端點值的大小；其中最大的就是函數在閉區間上的最大值，其中最小的就是函數在閉區間上的最小值。最值與極值是不同的：極值反映的

14、是函數形態，即極值只是與該點在附近的函數值比較而言的，而對于遠離該點的情形不予考慮；而最值則是函數整體形態的反映，它是指函數在所考察的區間上全部函數值中的最大者（或最小者）。例6、求函數在區間上的最大、最小值。解：，令即解得，變化時，的變化如下表：0+0由上表可知最大值是，最小值為例7、已知，函數，當為何值時，取得最小值？證明你的結論。解：，由，得，變化時，的變化如下表：+00+極大值極小值當時，。而當時，；時，。所以當時，取得最小值。（3）利用導數求函數值域求函數的值域是中學數學的難點，下面介紹利用高中教材新增加內容-導數來求解值域例8、求函數的值域。解：函數的定義域為，又可見當時，所以在上

15、是增函數。而，所以函數的值域是（4）實際問題中導數的應用例9、（2004年全國高考題）甲方是一農場，乙方是一工廠，由于乙方生產須占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定的凈收入.在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤（元）與年產量（噸）滿足函數關系式.若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方元（以下稱為賠付價格）。(1) 將乙方的年利潤（元）表示為年產量（噸）的函數，并求出乙方獲的最大利潤的年產量；(2)甲方每年受乙方生產影響的經濟損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格是多少？解 （1）由題意得，乙方的實

16、際年利潤為：因為，所以當時，取的最大值，因此乙方獲的最大利潤的年產量（噸）. (2)設甲方在索賠中獲得的凈收為元，則，將乙方獲的最大利潤的年產量代入上式，可得到甲方凈忙收入與賠付價格之間的函數關系式，令得.因當時；當時，所以當時，可取最大值。故甲方向乙方要求的賠付價格是20（元/噸）時，可獲得最大凈收入。14利用導數知識描繪函數圖形為有助于某些函數圖形的描繪，下面介紹曲線的漸近線。（1）曲線的漸近線定義3 若曲線上的一點沿著曲線趨于無窮遠時，該點與某天直線的距離趨于0，則稱此直線為曲線的漸近線。水平漸近線 若曲線的定義域是無限區間，且有：，或，則直線為曲線的水平漸近線。垂直漸近線 若曲線有：，

17、或，則直線為曲線的垂直漸近線。斜漸近線 若成立，則是曲線的一條斜漸近線。下面介紹求的公式。由有：所以 即 將求出并代入即可確定例10、求曲線的漸近線解：（1）因，所以是曲線的垂直漸近線（2）由和可知是曲線的斜漸近線（2）函數圖形的作法導數未納入高中教材時，做圖形主要依靠描點作圖，這樣的圖形比較粗糙。導數的出現能更好的反應出導數的各種性態。描繪圖形的一般步驟如下：確定函數的定義域、值域及函數初等形態（對稱性、周期性、奇偶性）等；求出，；列表討論函數單調性、凹凸性及極值、拐點；確定曲線的漸近線；由曲線方程找出一些特殊點的坐標；用光滑曲線連接，畫出的圖象。例11、作函數的圖形解：函數的定義域為，令，

18、得；令，得。列表如下：0+不存在0+不存在+拐點極小值不存在又為曲線的水平漸進線為曲線的鉛垂漸進線曲線經過，這幾個點通過上面的討論可大致繪出圖形（如圖9）15利用導數求參數問題利用導數求函數中參數的范圍，它是利用導數求函數單調性、極值、最值的延伸。例12、（05湖北理）已知向量，若在區間(-1,1)上是增函數，求的取值范圍. 解：由向量的數量積定義，又在區間(-1,1)上是增函數，則在 (-1,1)上恒成立.令在區間-1,1上，則，故在區間(-1,1)上使恒成立，只需即可，即.即的取值范圍是.2導數在曲線中的應用曲線在點處的導數在幾何上表示為：曲線在點A處切線的斜率。即。利用導數這一幾何意義可

19、以幫助我們解決解析幾何中有關曲線的一些問題例13、（2003全國高考題）已知拋物線和拋物線，當a取何值時，和有且僅有一條公切線？寫出公切線的方程。解：函數的導數，曲線在點的切線方程是，即 （1）函數的導數，曲線在點的切線方程是，即 （2）若直線是過P和Q的公切線，則（1）式和（2）式都是的方程所以消去得方程，由于公切線僅有一條，所以當，即時解得，此時公切線方程為。例14、已知P是拋物線上的動點，求過P到直線的最小距離。解：（如圖10）由得易知上的點到直線的距離最小。由得，于是曲線上過點且與直線平行的斜率為，得，則，那么點到直線的距離為故拋物線上的動點，求過P到直線的最小距離為。3利用導數研究方

20、程的根例15、已知，是否存在實數，使方程有四個不同的實數根，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。解：令 則令，得.當變化時，、的變化關系如下表：010+00+極小值極大值0極小值故存在，使方程有4個不同的實數根4應用導數證明不等式利用高中新增內容的導數來證明不等式，關鍵是“構造函數”，解決問題的依據是函數的單調性，這一方法在高等數學中應用的非常廣泛，體現了導數的工具，也是與高等數學接軌的有力點。例16、若，證明：證明：令則，又，則則當時，為增函數 當時，為減函數所以當時，取得最大值因此當時恒有，即時，有例17、（2004年全國卷理工22題）已知函數，證明：證明：由有設則當時，當時，因此

21、，在區間內是減函數，在區間函數，在區間內為增函數，于是在，有最小值又，所以；設，則當時，因此在區間內為減函數；因為，所以，即：。綜上述：5導數在數列中的應用導數在函數與不等式方面的應用是考試的熱點，而數列作為實質意義上的函數，利用導數研究數列的單調性及最值問題更簡便。例18、已知函數，數列滿足（1）求；（2）證明數列是遞減數列解：（1）由已知有，即得又，所以（2）令則，因，所以所以是遞減函數，則也是遞減的所以數列是遞減數列例19、已知數列，求此數列的最大項。解：考察函數（），則令，則，而，而將，及比較知，的最大值為故該數列最大項為第10000項，這一項的值為。6利用導數求極限洛必達法則61“”

22、型和“”型定理 若函數與滿足條件：（1），（2）存在，且，（3） 存在則必有：例20、求.解：62其他形式洛必達法則只適應于“”型和“”型，對于其他式子，需要經過一系列變換轉化為“”型和“”型，在利用洛必達法則來求解。其步驟如下：（“”表示可轉化為）型或型型，再經過通分型。對于型，型，型，先取對數型，在利用的方法求解。例21、求下列極限解：（型）（型）(型)7物理學中的導數導數是一個量對另一個量的變化率，在物理學中，物體的動量對時間的導數為合力，位移對時間的導數為速度，速度對時間的導數為加速度，質量對體積的導數為密度，電量對時間的導數為電流強度，電壓對電流的導數等于導體的電阻，單位質量的物質吸

23、收或者放出的熱量對時間的導數等于物質的比熱容，電容器的電量對電壓的導數等于電容，功對時間的導數等于功率，磁通量對時間的導數的相反數是感應電動勢，在場強方向上電勢對位移的導數等于電場強度等等。 例21.一質點運動方程為（1）求質點在這段時間內的平均速度；（2）求在時的瞬時速度（用定義和求導兩種方法）.解：（1）質點在這段時間內的平均速度為： （2）定義法：質點在時的瞬時速度 導數法：質點在時的瞬時速度 當時，例22、假設一個閉合線圈的磁通量,求感應電動勢的最大值。 解：根據電磁感應定律,所以感應電動勢的最大值為25V。 8經濟學中的導數應用數學的應用遍及所有的科學領域，也深入到人們的日常生活，而導數高等數學知識也逐步應用到各種經濟問題。1、邊際問題邊際成本，邊際收益，邊際利潤，邊際需求在數學上可以表達為各自總函數