1、第一章 預備知識一、 定義域1. 已知 的定義域為 ，求 的定義域。答案：2. 求 的連續區間。提示：任何初等函數在定義域范圍內都是連續的。答案： 二、 判斷兩個函數是否相同？1. ， 是否表示同一函數？答案：否2. 下列各題中， 和 是否相同？答案：都不相同 三、 奇偶性1. 判斷 的奇偶性。答案：奇函數四、 有界性 ，使 ，則 在 上有界。有界函數既有上界，又有下界。1. 在 內是否有界？答案：無界2. 是否有界？答案：有界，因為 五、 周期性1. 下列哪個不是周期函數（C）。A B C D 注意： 是周期函數，但它沒有最小正周期。六、 復合函數1. 已知 ，求例：已知 ，求 解1：解2：

2、令 ， ， ，2. 設 ，求 提示： 3. 設 ，求 提示：先求出 4. 設 ，求 提示：七、 函數圖形熟記 的函數圖形。第二章 極限與連續八、 重要概念1. 收斂數列必有界。2. 有界數列不一定收斂。3. 無界數列必發散。4. 單調有界數列極限一定存在。5. 極限存在的充要條件是左、右極限存在并且相等。九、 無窮小的比較1. 時，下列哪個與 是等價無窮小（A）。A B C D 十、 求極限1. 無窮小與有界量的乘積仍是無窮小。 ， ， ， ， 2. 自變量趨于無窮大，分子、分母為多項式例如： 提示：分子、分母同除未知量的最高次冪。3. 出現根號，首先想到有理化 補充練習：（1） （2） （3

3、） （4） （5） 4. 出現三角函數、反三角函數，首先想到第一個重要極限例： 作業：P497 （1）（3）5. 出現指數函數、對數函數、冪指函數，首先想到第二個重要極限例： 作業：P497 （4）（6）6. 、 、 、 、 、 、 ，可以使用洛必達法則作業：P995 （1）（8）7. 分子或分母出現變上限函數提示：洛必達法則+變上限函數的導數等于被積函數例： 補充練習：（1） （2） （3） （4） 十一、 連續與間斷任何初等函數在其定義域范圍內都是連續的。分段函數可能的間斷點是區間的分界點。若 ，則 在 處連續，否則間斷。第一類間斷點：左、右極限都存在的間斷點，進一步還可細分為可去間斷點和

4、跳躍間斷點。第二類間斷點：不屬于第一類的間斷點，進一步還可細分為無窮間斷點和振蕩間斷點。1. 設在 處連續，求 解： 在 處連續， 2. 作業：P494、10P5011、123. 補充練習：（1）研究函數的連續性： ， （2）確定常數 ，使下列函數連續： ， ， （3）求下列函數的間斷點并確定其所屬類型： 十二、 閉區間上連續函數的性質零點定理： 在 上連續，且 ，則在 內至少存在一點 ，使得 1. 補充練習：（1）證明方程 至少有一個不超過3的正實根。（2）證明方程 在 內至少有一個實根。（3）證明方程 在 內至少有一個實根。（4）證明方程 至少有一個小于1的正根。第三章 導數與微分十三、

5、重要概念1. 可導必連續，但連續不一定可導。2. 可導必可微，可微必可導。3. 函數在 處可導的充要條件是左、右導數存在并且相等。十四、 導數的定義作業：P75 2十五、 對于分段函數，討論分界點是否可導？例： 在 處，連續但不可導1. 作業：P754、52. 討論下列函數在區間分界點的連續性與可導數 答案：在 處連續、不可導 答案：在 處連續、不可導 答案：在 處不連續、不可導3. 設 ，為使 在 處連續且可導， 應取什么值？答案： 十六、 求導數1. 求函數的導數，特別是復合函數的導數作業：P756、102. 利用對數求導法求導數作業：P76133. 求隱函數的導數作業：P76124. 求

6、由參數方程所確定的函數的導數作業：P76145. 求高階導數作業：P75116. 求切線方程、法線方程利用導數求出切線的斜率 ，則法線的斜率為 例：求曲線 在 處的切線方程。解： 切線斜率 ，切線經過點 切線方程： 作業：P7537. 求變上限函數的導數作業：P1564十七、 求微分 1. ， 2. ，求 解：作業：P7615十八、 利用微分進行近似計算公式： 作業：P7616第四章 中值定理與導數的應用十九、 利用拉格朗日中值定理證明不等式定理：設 在 上連續，在 內可導，則在 內至少存在一點 ，使得 證明步驟：（1）根據待證的不等式設函數 （2）敘述函數 滿足定理條件 （3）根據定理證明出

7、不等式。1. 作業：P9942. 補充練習：證明下列不等式：（1）當 時， （2） （3）當 時， 二十、 單調性與極值1. 單調性：（1）確定單調區間可能的分界點（駐點與導數不存在的點） （2）將定義域分成若干個子區間，列表討論 在各子區間上的符號，從而確定單調性與單調區間作業：P9962. 極值：（1）確定可能的極值點（駐點與導數不存在的點） （2）將定義域分成若干個子區間，列表討論 在各子區間上的符號，從而確定單調性與極值例：確定 的單調區間及極值點作業：P1009二十一、 求閉區間上連續函數的最值步驟：（1）求出所有可能的極值點 （2）計算各可能極值點的函數值以及區間端點的函數值 （3

8、）上述各值中最大的為max，最小的為min作業：P10010 （1）二十二、 最值的應用問題步驟：（1）寫出目標函數 （2）求出可能的極值點 （應用問題只有一個可能的極值點） （3）分析是最大值問題還是最小值問題。如果是最大值問題，則寫出 ，并且最大值 ；如果是最小值問題，則寫出 ，并且最小值作業：P10013補充作業：從斜邊長 的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形。第五章 不定積分二十三、 換元法、分部積分法求不定積分1. 換元法例： 解1（第一類換元）：解2（第二類換元）：作業：P1256P12672. 分部積分法例： 作業：P1268第六章 定積分及其應用二十四、 利用P132推

9、論3估計積分值：作業：P1562二十五、 證明題（1）設 ，證明： （2）設 ，證明：證（1）：證（2）：二十六、 計算定積分例： 作業：P1575、8、10二十七、 廣義積分例： 作業：P15817二十八、 求平面圖形的面積，求旋轉體的體積例：求平面上曲線 以及 所圍圖形的面積，并求該圖形繞 軸旋轉一周所成旋轉體的體積。作業：P15711P15813第二章 極限與連續二十九、 重要概念1. 收斂數列必有界。2. 有界數列不一定收斂。3. 無界數列必發散。4. 單調有界數列極限一定存在。5. 極限存在的充要條件是左、右極限存在并且相等。三十、 無窮小的比較1. 時，下列哪個與 是等價無窮小（A

10、）。A B C D 三十一、 求極限1. 無窮小與有界量的乘積仍是無窮小。 ， ， ， ， 2. 自變量趨于無窮大，分子、分母為多項式例如： 提示：分子、分母同除未知量的最高次冪。3. 出現根號，首先想到有理化 補充練習：（1） （2） （3） （4） （5） 4. 出現三角函數、反三角函數，首先想到第一個重要極限例： 作業：P497 （1）（3）5. 出現指數函數、對數函數、冪指函數，首先想到第二個重要極限例： 作業：P497 （4）（6）6. 、 、 、 、 、 、 ，可以使用洛必達法則作業：P995 （1）（8）7. 分子或分母出現變上限函數提示：洛必達法則+變上限函數的導數等于被積函數

11、例： 補充練習：（1） （2） （3） （4） 三十二、 連續與間斷任何初等函數在其定義域范圍內都是連續的。分段函數可能的間斷點是區間的分界點。若 ，則 在 處連續，否則間斷。第一類間斷點：左、右極限都存在的間斷點，進一步還可細分為可去間斷點和跳躍間斷點。第二類間斷點：不屬于第一類的間斷點，進一步還可細分為無窮間斷點和振蕩間斷點。1. 設在 處連續，求 解： 在 處連續， 2. 作業：P494、10P5011、123. 補充練習：（1）研究函數的連續性： ， （2）確定常數 ，使下列函數連續： ， ， （3）求下列函數的間斷點并確定其所屬類型： 三十三、 閉區間上連續函數的性質零點定理： 在

12、上連續，且 ，則在 內至少存在一點 ，使得 1. 補充練習：（1）證明方程 至少有一個不超過3的正實根。（2）證明方程 在 內至少有一個實根。（3）證明方程 在 內至少有一個實根。（4）證明方程 至少有一個小于1的正根。第三章 導數與微分三十四、 重要概念1. 可導必連續，但連續不一定可導。2. 可導必可微，可微必可導。3. 函數在 處可導的充要條件是左、右導數存在并且相等。三十五、 導數的定義作業：P75 2三十六、 對于分段函數，討論分界點是否可導？例： 在 處，連續但不可導1. 作業：P754、52. 討論下列函數在區間分界點的連續性與可導數 答案：在 處連續、不可導 答案：在 處連續、

13、不可導 答案：在 處不連續、不可導3. 設 ，為使 在 處連續且可導， 應取什么值？答案： 三十七、 求導數1. 求函數的導數，特別是復合函數的導數作業：P756、102. 利用對數求導法求導數作業：P76133. 求隱函數的導數作業：P76124. 求由參數方程所確定的函數的導數作業：P76145. 求高階導數作業：P75116. 求切線方程、法線方程利用導數求出切線的斜率 ，則法線的斜率為 例：求曲線 在 處的切線方程。解： 切線斜率 ，切線經過點 切線方程： 作業：P7537. 求變上限函數的導數作業：P1564三十八、 求微分 1. ， 2. ，求 解：作業：P7615三十九、 利用微

14、分進行近似計算公式： 作業：P7616第四章 中值定理與導數的應用四十、 利用拉格朗日中值定理證明不等式定理：設 在 上連續，在 內可導，則在 內至少存在一點 ，使得 證明步驟：（1）根據待證的不等式設函數 （2）敘述函數 滿足定理條件 （3）根據定理證明出不等式。1. 作業：P9942. 補充練習：證明下列不等式：（1）當 時， （2） （3）當 時， 四十一、 單調性與極值1. 單調性：（1）確定單調區間可能的分界點（駐點與導數不存在的點） （2）將定義域分成若干個子區間，列表討論 在各子區間上的符號，從而確定單調性與單調區間作業：P9962. 極值：（1）確定可能的極值點（駐點與導數不存

15、在的點） （2）將定義域分成若干個子區間，列表討論 在各子區間上的符號，從而確定單調性與極值例：確定 的單調區間及極值點作業：P1009四十二、 求閉區間上連續函數的最值步驟：（1）求出所有可能的極值點 （2）計算各可能極值點的函數值以及區間端點的函數值 （3）上述各值中最大的為max，最小的為min作業：P10010 （1）四十三、 最值的應用問題步驟：（1）寫出目標函數 （2）求出可能的極值點 （應用問題只有一個可能的極值點） （3）分析是最大值問題還是最小值問題。如果是最大值問題，則寫出 ，并且最大值 ；如果是最小值問題，則寫出 ，并且最小值作業：P10013補充作業：從斜邊長 的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形。第五章 不定積分四十四、 換元法、分部積分法求不定積分1. 換元法例： 解1（第一類換元）：解2