1、實用標準文案精彩文檔小學奧數平面幾何五種模型（等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊）目標：熟練掌握五大面積模型等積，鳥頭，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共邊（含燕尾模型和風箏模型），掌握五大面積模型的各種變形 知識點撥一、等積模型等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖=a:b夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖SkACD= SBCD ；反之，如果& ACD =Sa BCD ,則可知直線AB平行于CD.等底等高的兩個平行四邊形面積相等 （長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）三角形面積等于與它等底等高的

2、平行四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比.二、鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形.共角三角形的面積比等于對應角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比.如圖在4ABC中，D,E分別是AB,AC上的點如圖 （或D在BA的延長線上，E在AC 上）,貝USa ABC ：Saade =（AB AC） ： （AD AE）任意四邊形中的比例關系(“蝶形定理”)： S :S2 =S4 :S3 或者 Si MS =& MS4 AO:OC =(s +& ):(S4 +S3 )蝶形定理為我們提供了解決

3、不規則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構造模型，一方面可以使不規則四邊形的面積關系與四邊形內的三角形相聯系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關 系.梯形中比例關系（“梯形蝶形定理”）： § :S3 =a2 :b2（2） S1 : S3 : S2: S4 =a2: b2: ab : ab ；S的對應份數為（a+b）.四、相似模型（一）金字塔模型二）沙漏模型° AD AE DE AF . AB AC BC AG ' S»A ADE : S>A ABC所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形 （只要其形狀不改變, 不論大小怎樣改變它們都

4、相似），與相似三角形相關的常用的性質及定理如 下: 相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半.相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工 具.在小學奧數里，出現最多的情況是因為兩條平行線而出現的相似三角形. 五、共邊定理（燕尾模型和風箏模型） 在三角形ABC中，AD , BE, CF相交于同一點O,那么 SaBO : S偉co BD : DC .上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因 為MB

5、O和MCO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱 為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運 用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中， 為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯系的途徑典型例題【例1】如圖，正方形ABCD勺邊長為6, ae=1.5, cf=2.長方形EFGH勺面積為.【解析】連接DE DF,則長方形EFGH勺面積是三角形DEF®積的二倍.三角形DEF勺面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，Sa def =6父61.5父6 + 22父6 + 2 4.5父 4. 2 = 16.5 ,所以長方形 EFGH面積為33.【鞏固】如圖所示，正方形ABCD

6、的邊長為8厘米，長方形EBGF的長BG為10厘 米，那么長方形的寬為幾厘米？【解析】本題主要是讓學生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）.三角形面積等于與它等底 等高的平行四邊形面積的一半.證明：連接AG.（我們通過4ABG把這兩個長方形和正方形聯系在 一起）. 1 -I- 、 4 t-tz11.在正方形ABCD中，S/xABG =M ABM AB邊上的身，21. Saabg =；Sabcd （三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半）1 .叵 理,SA ABG = _ SEFGB .2正方形ABCD與長方形EFGB面積相等. 長方形的寬=8

7、父8+10=6.4（厘米）.H為AD邊上任【例2】長方形ABCD的面積為36cm2, E、F、G為各邊中點, 意一點，問陰影部分面積是多少？【解析】解法一：尋找可利用的條件，連接 BH、HC,如下圖:=2 SDHC,SaBCD - S AHB ' S CHB ' S.CHD =36日HGQQ _1/GQQ 、一即 S, EHBS. BHFS.DHG - ？(S. AHBS CHBSCHD ) 一1 _父36 = 18 .S EHB ' S BHF ' S. DHG = S陰影，S Ebf11111=-xBE XBF =-x(-x AB)x(-xBC)=父36=4

8、.5 . 22228所以陰影部分的面積是：S陰影=18-S ebf =18-4.5=13.5解法二：特殊點法.找H的特殊點，把H點與D點重合, 那么圖形就可變成右圖：這樣陰影部分的面積就是ADEF的面積，根據鳥頭定理，則有:1 11 1 11 1S 陰影:“BCD -隊。- SM -%。=36-丁/36 - 曉曉/36-9丁 36:13.5【鞏固】在邊長為6厘米的正方形ABCD內任取一點P,將正方形的一組對邊 二等分，另一組對邊三等分，分別與 P點連接，求陰影部分面積.【解析】(法1)特殊點法.由于P是正方形內部任意一點，可采用特殊點法， 假設P點與A點重合，則陰影部分變為如上中圖所示，圖中的

9、兩個陰 影三角形的面積分別占正方形面積的 1和1 ,所以陰影部分的面積為4662x(1 +1)=15平方厘米. 4 6(法2)連接PA、PC .由于iPAD與iPBC的面積之和等于正方形 ABCD面積的一半，所以上、 下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD面積的1 ,同理可知4左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正方形 ABCD面積的1 ,所以陰6影部分的面積為62 M(1+1)=15平方厘米.4 6例370, AB=8,如圖所示，長方形 ABCD內的陰影部分的面積之和為 AD=15,四邊形EFGO的面積為.【解析】利用圖形中的包含關系可以先求出三角形 AOE、DOG和四邊形EFGO的 面

10、積之和，以及三角形AOE和DOG的面積之和，進而求出四邊形EFGO 的面積.由于長方形ABCD的面積為15M8=120 ,所以三角形BOC的面積為120X1=30,所以三角形AOE和DOG的面積之和為120M3-70 = 20 ；44又三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和為120父：1,=30,所以 2 4四邊形EFGO的面積為30-20=10.另解：從整體上來看，四邊形 EFGO的面積=三角形AFC面積十三角形 BFD面積-白色部分的面積，而三角形 AFC面積十三角形BFD面積為長 方形面積的一半，即60,白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即12070=50,所以四邊

11、形的面積為6050 = 10.E是AD的三等分點， AE=2ED,貝U【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是36, 陰影部分的面積為.【解析】如圖，連接OE .1根 據 蝶 形 7E 理，ON ： ND =Saoe ： S.DE SAE : SCDE 1：1, 所 以-1 -S.OEN =2S.一 一 1一SpEA .0M : MA =SBOE : S店AE =2S&DE : SBAE =1： 4 ,所以 SpEM1 1又S#ED=M S巨形ABCD=3,SEA = 2S&OED = 6 ,所以陰影郃分面積為:3 4113x- +6X- =2.7 .【例4】已知ABC為等邊三角形

12、，面積為400, D、E、F分別為三邊的中點， 已知甲、乙、丙面積和為143,求陰影五邊形的面積.（丙是三角形 HBC ）ABEC【解析】因為D、E、F分別為三邊的中點，所以DE、DF、EF是三角形ABC的 中位線，也就與對應的邊平行，根據面積比例模型，三角形 ABN和三 角形AMC的面積都等于三角形ABC的一半，即為200.根據圖形的容斥關系，有S&BC - SI = SABN . SMC 一 SAMHN ,即 400 s丙=200 +200 Samhn ,所以 SW = SAMHN .=Sp ' S乙'Samhn1 一 一Sw =& +s +Sw _S&am

13、p;df =143 = 400 = 43.【例5】 如圖，已知CD =5, DE =7, EF=15, FG =6 ,線段AB將圖形分成兩部 分，左邊部分面積是38,右邊部分面積是65,那么三角形ADG的面 積是連接AF , BD .根據題意可知， CF =5+7+15=27 ； DG =7+15+6=28 ；所以, SBEF= SCBF, SgEC = SCBF, SEG= S- %DG, SED=不 SDG,2 72 72828一一 21 一 15 -7 一 12 一于3 28SADG，27S*BF =65；碗s如為saF =38；可得S&DG =40 .故三角形ADG的面積是40

14、.【例6 如圖在4ABC中，D,E分別是AB, AC上的點，且AD:AB = 2:5 , AE:AC=4:7 , SAade=16平方厘米，求 4ABC的面積.【解析】Sk ABE : Sa ABC =AE ：AC =4:7=(4父5):(7父5),所以SaADE : SA ABC = (2M4):(7M5),設連接 BE , SAade：Saabe =AD：AB =2:5 =(2父4):(5M4),SA ADE =8份，則8ABC =35份，SA aDE=16平方厘米，所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米， ABC的面積是70平方厘米.由此我們得到一（相等角個重要的定理，共角定理：共

15、角三角形的面積比等于對應角 或互補角）兩夾邊的乘積之比【鞏固】如圖，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角 形ADE的面積等于1 ,那么三角形ABC的面積是多少？【解析】連接BE .EC =3AE , S|_ABC = 3S_ABE又 AB =5ADS_ABE -5S_ABC _15 , S ABC 15S ADE =15 .【鞏固】如圖，三角形 ABO分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，BD = DC=4, BE =3, AE=6,乙部分面積是甲部分面積的幾倍？【解析】連接AD .BE=3, AE=6/. AB=3BE ,S ABD二3sBDE又 BD =DC =4 , S

16、JABC =2 S ABD , S ABC =6S BDE ,【例7】 如圖在 ABC中，D在BA的延長線上， E在AC上，且 AB:AD = 5:2, AE:EC=3:2, SAade=12平方厘米，求 4ABC的面積.【解析】 連接 BE, S ade ： Sa abe =AD： AB=2：5 =(2M3):(5父3)Sa ABE : S/x ABC = AE ： AC =3： (3 2) =(3 5)：l 2) 5 1,所以 Sa ade ： Sa abc = (3M2) ： 5M(3+2)=6：25 ,設 SA ade =6 份，貝 U SA abc =25 份，SAade =12平方

17、厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，4ABC的面積是50平方厘米.由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比例 8 如圖，平行四邊形 ABCD, BE=AB, CF =2CB , GD=3DC, HA = 4AD , 平行四邊形ABCD的面積是2,求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的 面積比.連接AC、BD .根據共角定理,在 4ABC 和 4BFE 中，/ABC 與/FBE 互補,Saabc _AB BC _1 M1 _1Safbe -BE BF 一 3 又 SA ABC 1 ,所以 SA FBE =3 同理可得S

18、GCF =8 , SADHG =15 , SAAEH =8 .所以SEFGH- SAAEH ' SA CFG ' SADHG ' SABEF ' SABCD=8+8+15+3+2 =36 .所以SABCDSEFGH36118【例9】如圖所示的四邊形的面積等于多少?【解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積.我們可以利用旋轉的方法對圖形實施變換：把三角形OAB繞頂點O逆時針旋轉，使長為13的兩條邊重合，此時三 角形OAB將旋轉到三角形OCD的位置.這樣，通過旋轉后所得到的新 圖形是一個邊長為12的正方形，且這個正方形的面積就是原來四

19、邊形 的面積.因此，原來四邊形的面積為12M12=144.（也可以用勾股定理）【例10如圖所示，&ABC中，/ABC=90，AB=3, BC =5 ,以AC為一邊向&ABC 外作正方形ACDE ,中心為O,求3BC的面積.【解析】如圖，將ZiOAB沿著O點順時針旋轉90°,到達AOCF的位置.由于/ABC=90力,ZAOC=90S, 所以 /OAB+/OCB = 180 而/OCF =/OAB , 所以/OCF+NOCB=180*,那么 B、C、F三點在一條直線上.由于OB=OF, /BOF=/AOC=90口，所以 陽OF是等腰直角三角形，且斜 邊BF為5+3=8,所

20、以它的面積為82J=16.4根據面積比例模型，AOBC的面積為16x5=10 .8【例11如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內作直角三角形/AEB=90， AC、BD交于O.已知 AE、BE的長分別為 3cm、三角形OBE的面積.F【解析】如圖，連接DE ,以A點為中心，將MDE順時針旋轉90°到AABF的位置.那么/EAF=/EAB+/BAF=/EAB+/DAE=90*,而/AEB也是 90，,所以四邊形AFBE是直角梯形，且 AF=AE=3,所以梯形AFBE的面積為：12(3+5 產3M廠12( cm ).又因為MBE是直角三角形，根據勾股定理，AB2 = AE2+BE2 =

21、32 + 52 = 34 ,12一所以 SABD = 2 AB =17 ( cm ).刃B 么 S&DE SABD (S為BE +SDE )=S&BD 一 SaFBE 17125( cm ),所以S Obe=2 S Bde=2.5( cm2).【例12】 如下圖，六邊形 ABCDEF中，AB = ED, AF =CD , BC = EF , 且有 AB平行 于ED , AF平行于CD , BC平行于 EF ,對角線FD垂直于 BD ,已知FD =24 厘米，BD=18厘米，請問六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？【解析】如圖，我們將 陽CD平移使得CD與AF重合，將ADEF

22、平移使得ED與AB重 合，這樣EF、BC都重合到圖中的AG 了.這樣就組成了一個長方形 BGFD,它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形BGFD的面積為24x18=432平方厘米，所以六邊形ABCDEF的面積為432平方厘米.【例13】如圖，三角形ABC的面積是1,BD : DC =1: 2 , AD 與 BE 交于點 F .E是AC的中點，點D在BC上，且 則四邊形DFEC的面積等于【解析】方法一：連接CF ,根據燕尾定理,設 SZ BDF =1 份，則 SA DCF 如圖所標所以 SDCEF = - SA ABC =勺1212=2份,SZ ABF SA ACF SA ABFBDDC 2j

23、三1SA CBFEC ,二3 份,S»A AEF = S*A EFC - 3 份,方法二：連接DE ,由題目條件可得到S公 ABD 二二 Sa ABCc 1c 12c 1BFSA ADE =7SA ADC =ABC =" ,所以金=22 33匚3SA ABD S ADEc1c11c 111c1S»A DEF= _M$ DEB= 一 父一父 SzXBEC= 一 父一父一父 S ABC=1,22 32 3 212'而$4CDE =|4XSABC=1.所以則四邊形DFEC的面積等于2.3 2312【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是2平方厘米，EC = 2DE

24、, F是DG的中點.陰 影部分的面積是多少平方厘米？DEC55【解析】設Sa def = 1份，則根據燃尾7E理其他面積如圖所下Sfe影=一 S>ABCD = 1212平方厘米.【例14】四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點0（如圖所示）.如果三角形ABD 的面積等于三角形BCD的面積的3,且AO = AO =1CO , . OC =2父3=6 , . OC:OD =6:3 =2:1 . , DO-那么CO的長度【解析】在本題中，四邊形ABCD為任意四邊形，對于這種"不良四邊形”，無 外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解 決；通過畫輔助線來改造不良四邊形

25、.看到題目中給出條件SABD ：Sbcd =1：3 ,這可以向模型一蝶形定理靠攏，于是得出一種解法.又 觀察題目中給出的已知條件是面積的關系，轉化為邊的關系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個"不良四邊形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面積比轉化為高 之比.再應用結論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出 結果.請老師注意比較兩種解法，使學生體會到蝶形定理的優勢，從 而主觀上愿意掌握并使用蝶形定理解決問題.解法一： AO ：OC =S戊bd : S加c =1： 3 ,. OC=2M3 = 6，.二 OC:OD=6:3 =2:1 .

26、解法二：作 AH_LBD于 H, CG_LBD于 G.“一11_. 0 二。 S&BD c S為CD , AH = CG ,S&ODSDOC ,333【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成 4個三角形，其中三個三角形的面 積已知，求：三角形BGC的面積;AG:GC = ?B【解析】根據蝶形定理 ,SBGC 1=2父3,那么*BGC = 6 ；根據蝶形定理，AG:GC . 1 2 : 3 6 =1:3 .【例15如圖，平行四邊形 ABCD的對角線交于O點，CEF、AOEF > AODF > BOE的面積依次是 2、4、4和6.求：求OCF的面積；求4GCE 的面積.【解

27、析】 根據題意可知，4BCD的面積為2+4+4+6 = 16,那么ABCO和ACDO的面積都是16+2=8,所以AOCF的面積為8-4 = 4；由于ABCO的面積為8, 4BOE的面積為6,所以OCE的面積為86=2,根據蝶 形定理，EG ：FG =Soe ：S#of =2:4=1: 2 ,所 以Sce : SgF =EG:FG =1:2 ,一一1八1八 2那么 SGCE = - Scef =- 2 = .1 233BE:EC=2:3 , DF:FC=1:2,三角形 DFG 的面積 ABCD的面積.【例16如圖，長方形ABCD中， 為2平方厘米，求長方形【解析】S DEF連接AE , FE .

28、因 為 BE:EC=2:3,3 1 11（二父二父）S長方形ABCD = _ S長方形ABCD 5 3 210因為 S AED =二 SK方形 ABCD , AG : GF = 22厘米，所以SAFD =12平方厘米.ABCD的面積是72平方厘米.DF:FC=1:2, 所 以工=5:1 ,所以 S AGD -5SGDF =10平方 101因為 S AFD = 6 S£方形 ABCD , 所以長方形【例17如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點.求圖中 陰影部分的面積.AMD【解析】因為M是AD邊上的中點，所以AM: BC =1:2,根據梯形蝶形定理可以知 道SJa

29、amg ：Sa abg ：Sa mcg ： Sa bcg =12 : （1 m 2）: （1 父 2） :22=1:2:2:4 , 設 Saagm =1 份, 則Sa mcd =1+2=3 份，所以正方形的面積為1+2+2+4+3=12份，SW =2 + 2 = 4份，所以%影s方形=1:3,所以時影=1平方厘米.【鞏固】在下圖的正方形ABCD中，E是BC邊的中點，AE與BD相交于F點， 三角形BEF的面積為1平方厘米，那么正方形ABCD面積是 平方厘米.【解析】連接DE ,根據題意可知2S弟形=（1+2） =9（平方厘米）S ABCD = 12（平方厘米）.BE:AD=1:2 ,根據蝶形定理

30、得 , S ECD = 3（平方厘米），那么【例18】已知ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2,三角形ODE的面積為6平方厘 米.則陰影部分的面積是 平方厘米.【解析】連接AC .由于ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2,所以CE:AD = 2:3,根據梯形蝶形定理，SCOE : SAOC : SDOE ：SAOD =22:2X3:2X3:32 =4:6:6:9 ,所 以SAOC =6 （平方厘米），SAOD = 9 （平方厘米），又 SABC =S_ACD =6+9 =15（平方厘米），陰影部分面積為6+15 = 21（平方厘 米）.【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形

31、，已知三角形面積如圖所 示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.【分析】連接AE .由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S#CD = SOAE 2根據蝶形7E理，SCD X SOAE - SCE M SgAD = 4x 9 = 36 ,故 SgCD = 36 , 所以SOCD =6（平方厘米）.【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所 示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.【解析】連接AE .由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 SJOCD = SpAE 根據蝶形定理，SpCD * SmE = SOCE * Sg

32、AD = 2父8 = 16,故 SOCD = 16 , 所以 S.OCD =4（平方厘米）.另解：在平行四邊形ABED中，SaDE =：Sabed =3父（16+8）=12 （平方厘米）， 以 S AOE = S.ADE -S AOD = 128=4（平方厘米），根據蝶形定理，陰影部分的面積為8M25=4（平方厘米）.已知其中3塊的面積分別OFBC的面積為【例19如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊, 為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形 平方厘米.【解析】連接DE、CF .四邊形EDCF為梯形，所以S&°d=Sfoc,又根據蝶形定理,S&OD 'S&#

33、163;OC =S&OF 6 及OD , ST 以 S. Eod，S. fOC=S占OF 'S&OD = 2 M 8 = 16 , 以S&OD =4 （平方厘米），S占CD =4 +8 =12（平方厘米）.那么長方形ABCD的面 積為12M2=24平方厘米，四邊形OFBC的面積為24-5-2-8 = 9（平方厘米）.【例20如圖，MBC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CD相交 于K點.已知正方形DEFG的面積48, AK:KB=1:3,則ABKD的面積是 多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形ADBC是梯形.在 梯形AD

34、BC中，ABDK和iACK的面積是相等的. 而AK : KB =1:3 ,所以AACK 的面積是MBC面積的，=工，那么ABDK的面積也是AABC面積的1 .1 3 44由于AABC是等腰直角三角形，如果過A作BC的垂線，M為垂足，那么 M是BC的中點，而且AM =DE ,可見AABM和MCM的面積都等于正方 形DEFG面積的一半，所以AABC的面積與正方形DEFG的面積相等，為 48.那么mDK的面積為48X1=12.4【例21】下圖中，四邊形ABCD都是邊長為1的正方形，E、F、G、H分別是 AB, BC, CD, DA的中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分 的面積之比是最簡分數m,那

35、么，（m+n）的值等于.n【解析】左、右兩個圖中的陰影部分都是不規則圖形，不方便直接求面積，觀 察發現兩個圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積.如下圖所示，在左圖中連接EG .設AG與DE的交點為M .左圖中AEGD為長方形，可知 MMD的面積為長方形AEGD面積的1 ,所 4以三角形AMD的面積為12 cM1.又左圖中四個空白三角形的面積是2 4 8相等的，所以左圖中陰影部分的面積為1父4.82AEB如上圖所示，在右圖中連接 AC、EF .設AF、EC的交點為N.可知EF / AC且AC=2EF.那么三角形BEF的面積為三角形ABC面積的 1 ,所以

36、三角形BEF的面積為12X1J，梯形AEFC的面積為1=J 42 4 82 8 8在梯形AEFC中，由于EF:AC=1:2,根據梯形蝶形定理，其四部分的面 積比為：12:1父2:1父2: 22 =1: 2: 2: 4 ,所以三角形EFN的面積為 3 M1=工，那么四邊形BENF的面積為1+工.而右圖中四個空 8 1 2 2 4 248 24 6白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為1父4 =1.63那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為1=3:2 ,2 3即n 2那么 m+n =3+2=5 .【例22如圖， 4ABC中，DE , FG , BC互相平行，AD = DF =

37、 FB , 貝！J & ADE : S3邊形 DEGF : S3邊形 FGCB = .【解析】設&ade=1份，根據面積比等于相似比的平方,所以 SA ADE ： SL AFG = AD ： AF =1： 4 , SA ADE ： Sk ABC = AD ： AB =1： 9 ,因此S AFG =4份，SA ABC =9份,進而有力邊形DEGF =3份，S四邊形FGCB =5份，所以 Saade : Si邊形 degf : S3邊形FGCB = 1： 3： 5【鞏固】如圖,DE 平行 BC,且 AD=2, AB = 5, AE=4,求 AC 的長.【解析】 由金字塔模型得 AD

38、: AB=AE: AC=DE:BC=2:5 ,所以AC =4 +2父5 =10【鞏固】如圖, 相平行， ABC 中，DE , FG , MN , PQ ,BC互AD=DF=FM =MP=PB ,貝USa ADE : Sg邊形 DEGF :S四邊形 FGNM :S四邊形 MNQP :S四邊形 PQCB【解析】設 Saade =1 份，Saade : Saafg = AD2 : AF2 =1: 4 ,因此SA AFG 二 4份，進而有S3邊形DEGF =3份，同理有Sg邊形 FGNM =5份,Sg邊形 MNQP =7份， Sg邊形PQCB = 9所以有SA ADE : s四邊形 DEGF : S3

39、邊形 FGNM :s四邊形 MNQP:S四邊形 pqcb =1:3: 5:7:9【例23如圖，已知正方形ABCD的邊長為4, F是BC邊的中點,E是DC邊上的點，且 DE:EC=1:3 ,AF與BE相交于點G ,求Sa abg【解析】方法一：連接AE ,延長AF , DC兩條線交于點M ,構造出兩個沙漏， 所以有AB:CM =BF:FC =1:1 ,因此CM =4 ,根據題意有CE=3,再根據另 一 個 沙 漏 有 GB:GE = AB:EM =4:7, 所 以八4 c4,-32Sa abg = -Sa ABE =-X(4M-2)=.4 71111方法二：連接 AE,EF ,分別求 Sa AB

40、F=4M2+2 = 4 , SaAEF =4父4 -4父1-2-3父2-2-4=7, 根據蝶形定理4_432Sa abf :& aef =BG:GE=4:7,所以 Sa abgSa ABE = x(4X4-2) = .4 71111F是AB、 AD的中【例24如圖所示，已知平行四邊形ABCD的面積是1, E、 點， BF交EC于M,求ABMG的面積.AD的中點,得 EF/BDFD:BC=FH : HC =1:2,EB:CD =BG:GD=1:2所以 CH :CF =GH : EF =2:3 ,并得G、H是BD的三等分點，所以BG = GH ,所以BG: EF =BM : MF =2:3

41、 ,所以BM =2BF又因為BG=3BD'所以SBMG51 2=-x x3 51 1 .二5 5 s ABCD13 5 4 30解法二：延長CE交DA于I如右圖,可得， AI : BC =AE: EB =1:1從而可以確定BM : MF =BC:IF =2:3 , BM2=BF ,5可得 S BMG =. S S,BDF 5 31sABCD4-1 BG = BD3130M的點的位置, （鳥頭定理），【例25如圖，ABCD為正方形, 形PQRS的面積為多少？AM=NB = DE=FC =1cm 且 MN請問四邊1MQ =QC =1MC ,所以 PQ =211-MC ,所以SsPQR6MB

42、EC所以-MC MC 二 23占 SAMCFSspqr =- 1 ,：(1 7，2)=62 (cm2).3（法2）如圖,12、=_ m4 m4 =8 ( cm ),2而變=AB而 S MBQER，=S ANS所以所以.=.=2,EF EF113 43 (c 2c 2 c 162、S/ABR =- Smbe = m 8 = ( cm ) .333cm2),因為吧=，DC PC1MP =MC ,3貝U S MNP= -2 4-S ABR -S ANS -S MBQ ' S MNP216=4（ cm2）,陰影部分面積等于3= 3(cm2).【例 26如右圖，三角形 ABC 中，BD:DC=4

43、:9 , CE: EA = 4:3 , 求 AF :FB .B我們就能達求 AF:FB.【解析】 根據燕尾定理得 SAAOB :Saaoc =BD :CD =4:9 =12: 27SAaob : SAboc =AE:CE =3:4=12:16（都有AOB的面積要統一，所以找最小公倍數）所以 SA AOC : SA BOC - 27 :16 - AF : FB【點評】本題關鍵是把4AOB的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉化本質, 到解奧數題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】如右圖，三角形 ABC中，BD:DC=3:4, AE:CE=5:6 ,【解析】 根

44、據燕尾定理得SAaob : SAaoc =BD:CD =3:4 =15: 20Saaob : Saboc = AE： CE = 5： 6 = 15:18(都有AAOB的面積要統一，所以找最小公倍數) 所以 SAaoc : SAboc =20:18 =10:9 =AF : FB求 AF:FB.【鞏固】 如右圖，三角形 ABC中，BD:DC=2:3 , EA:CE=5:4,【解析】 根據燕尾定理得 S aob§ AOC =BD： CD =2:3=10:15Saaob : Sa boc = AE ： CE = 5: 4 = 10 :8（都有AOB的面積要統一，所以找最小公倍數）所以 SA

45、AOC : SA BOC -15：8 = AF ： FB【點評】本題關鍵是把 AOB的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我 們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉化本質，我們就能達 到解奧數題四兩撥千斤的巨大力量！【例27】 如右圖，三角形 ABC中，AF: FB =BD: DC =CE: AE=3: 2 , 且三角形 ABC的 面積是1 ,則三角形 ABE的面積為 ,三角形AGE的面積為,三角形GHI的面積為.S.Acg : S.Abg : S.BCG 4 ：6：9 , 貝U S ACG =,19那么 S8eJs.J/ =色； 55 19 95同樣分析可得s*H=a 19S 通CG 二；

46、19則 EG:EH =S&cg：S&ch =4:9,【分析】 連接AH、BI、CG .由于 CE:AE=3:2,所以 AE=2AC,故 S&be =? S&bc =?； 555cg：S&bg=CE：EA=3:2 ,所以根據我g尾理，S&CG : S&BG =CD : BD 2 ：3 , S件,EG:EB=Sacg：S&cb =4:19 , 所以 EG:GH :HB =4:5:10 , 同樣分 析可得AG:GI : ID =10:5: 4 ,所以 SBIE =150 sBAE10Q 一晨.S GHI - S BIE1919 5 19

47、【鞏固】 如右圖，三角形 ABC中，AF: FB = BD: DC=CE: AE = 3:2, 的面積是1 ,求三角形ABC的面積.且三角形GHI【解析】連接BG S*A AGC = 6份根據燕尾定理SAGC : Sabgc =AF ：FB =3: 2=6: 4SA abg ： SAagc =BD : DC =3： 2 =9： 6得 Sabgc =4 （份），則&abc =19（份）,因此SA AGCSa ABC同理連接AI、CH導巨”=9,注=6,所以互”SA ABC 19 SA ABC 19SAABC19-6-6-611919三角形GHI的面積是1,所以三角形ABC勺面積是19【鞏

48、固】 如圖， MBC中BD=2DA, CE=2EB,影三角形面積的 倍.AF=2FC ,那么AABC的面積是陰【分析】如圖，連接AI .根據燕尾定理，S幽CI ：%CI =BD ：AD =2:1 ,S偉CI ：S&BI =CF ：AF =1:2 ,所以,SaCI ： S作CI ： S鎏I =1： 2 ： 4 ,那么,S.Bci2 e. -2e.1+2 +4%bc - 7 SABC -同理可知AACG和MBH的面積也都等于AABC面積的-,所以陰影三角7形的面積等于AABC面積的1二父3，所以AABC的面積是陰影三角形 77面積的7倍.【鞏固】如圖在MBC中，器喂喟=2,求譚瑞f的值.【

49、解析】連接86設$4 BGC=1份，根據燕尾定理Saagc ：Sabgc =AF : FB =2:1 , Saabg : & agc = BD : DC =2:1 ,得 SAagc = 2（份）,SAabg=4（份），貝U S，bc =7（份），因止匕Sa agcS ABC,同理連接AI、CH導Sa ABHSa bic,SAABC7SAABC=1,所以Saghi7 2 22SA ABC【點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變萬化，但面積是相等的，這在這講里面很 多題目都是用“同理得到”的，即再重復一次解題思路，因此我們 有對稱法作輔助線.

50、【例28】如圖，三角形ABC的面積是1, BD = DE=EC, CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部分，請寫出這9部分的面積各是多少？【解析】設BGW A位于點P, BG與AE交于點QBF與A位于點M BF與AE交于點N.連接CP CQ CM CN根據燕尾定理,S ABP : SACBP = AG : GC =1: 2 ,SA ABP : SA ACP = BD : CD =1： 2 ,設SAabp =1（份），貝U Sabc =1+2+2 =5（份），所以1Sa abp =一5同理可得,SaabQ = , Sa ABN - -1,而Saabg72SAPQ -35Sa aqg21同理,S

51、a bpm3Sabdm3521邊形PQMN3570S3邊形 MNED3 357042, S3邊形 NFCE3 21 42Si邊形GFNQ3 216 42【鞏固】如圖，4BC的面積為1,點D、E是BC邊的三等分點,點F、G是AC邊的三等分點，那么四邊形JKIH的面積是多少?【解析】連接CK、CI、CJ .根據燕尾定理，S ACK : S ABK=CD : BD =1:2, S逸bk : Sbk = AG : CG =1: 2 ,所以 S淺CK : S夢K : S&BK =1： 2 ： 4 ,那么 S&CK = +2 +4 =，121類似分析可得S.GI.Sbj ： Sacj =B

52、D ：CD =2 ：1 ,可得 s送CJ =1 .15又 S超BJ ：S&bj =AF ：CF =2:1 ,那么，Scgkj-1二4 21 84根據對稱性，可知四邊形CEHJ的面積也為"，那么四邊形JKIH周圍的84圖形的面積之和為Scgkj M2 + S&GI +S&BE =17X2十1 =如，所以四邊形JKIH 8415 3 70的面積為1-包=2. 70 70【例29】右圖，4ABC中，G是AC的中點，D、E、F是BC邊上的四等分點，AD與BG交于M , AF與BG交于N ,已知4ABM的面積比四邊形FCGN的 面積大7.2平方厘米，則 ABC的面積是多

53、少平方厘米？B D E FC B DEF C【解析】連接CM、CN .根據我g 尾理，SA ABM : SACBM = AG : GC =1:1 ,_1e& ABM - Sa ABC ,5再根據燕尾定理，Saabn :SaCBN =AG:GC =1:1SA ABM : SA ACM=BD :CD =1:3S ABN : SA FBN =SACBN : SA FBN =4 :3 ,所以 AN : NF =4:3 ,那么 SNG =-x=-Sa afc 2 4 37所以 SfCGN = 1 一一 SA AFC,751 c=S»A ABC7 428s'ABC 根據題意，有5SAABC5 SSA ABC28= 7.2,可得 SA ABC = 336 （平方厘米）【例30如圖，面積為l的三角形ABC CA的三等分點，求陰影部分面積.DX E、F、GHi I分別是AB BC【解析】三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI與CD勺交點為M AF與CD勺交點為N, BI與AF的交點為P, BI與CE的交點為Q連接AM BN CP求 S四邊形ADMI : 在AABC中，根據燕尾定理,設 SAABM =1（