1、三角形部分模型總結斜邊中線模型構成：RtABC,ACB=,D為AB邊的中點目的：找等量關系，或2倍（1/2）的關系。結果：AD=CD=BD例 1 已知：ABC中，A=，CEAB,BDAC 求證：DE=BC 證明：取BC中點M，連結EM,DM 先證EM=DMEM=BC=DM再證：2=-1-3 =-（-2ABC）-（-2ACB）=則EDM為等邊三角形，所以有DE=DM=BC“Rt中斜邊上的中線等于斜邊的一半”+“等腰對等底”+“等量代換”例2已知：ABC中，CEAB,BDAC，M,N分別為BC,DE的中點 求證：MNED證明：連結EM,DM 先證 EM=DMEM=BC=DM 后證 MNED N為中

2、點，EM=DM“RT中斜邊上的中線等于斜邊的一半”+“三線合一定理”思考：若ABC為鈍角，又該如何呢？在Rt中，又是怎樣？例3已知：在ABC中，AB=AC,BD為ABC的角平分線，AMBC,DEBC, FDBD 求證：ME=BF 證明：取BD、BF中點G、N，連結 DN， EF， GM 先證 DN=BF 再證：DN=DCDNC=C=ABC DNAB3=1 AB=AC 再證 GM=DC 后證 GM=MEMEG=MGE GEM=2 GMB=C=22 所以有ME=DC=BF“RT中斜邊上的中線等于斜邊的一半(2次)”+“平行線性質1”+“等腰對等底”+“三角形中位線定理”例4 如圖，在ABC中，B=

3、2C，ADBC與D,M為BC邊的中點，AB=10cm,則MD長為多少？ 解：取 AB中點N,連結DN,NM,則DN=AB, NDB= B, 且NMD= C NDB= NMD+ DNM B= C+ DNM=2CDNM=C=NDM 則DM=DN=AB“Rt斜邊上的中線等于斜邊的一半”+“三角形中位線定理” +“外角性質”+“等底對等腰”例5 如圖 ，RtABC中，C=，CD平分C，E為AB中點，PEAB,交CD延長線于P,那么PAC+PBC的大小是多少？解：連結 CE ,則EAC=ECADCE=ECA-DCA=DAC-又DAC=180-ADC-=-PDEDCE=(-PDE)- =DPE 則PE =

4、EC=AE則可證PAC+PBC=PAB+BAC+PBA+ABC=180“斜邊中線性質”+“對頂角相等”+“等量代換”+“三角形內角和定理”“三線合一”模型“角平分線”+垂線等腰三角形”構成：OC為A0B的角平分線，BCOC于C點目的：構造等腰三角形結果： 邊：BC=AC,OA=OB OC為OAB的中線角：3=4，ACO= OC為ABO的高線全等：ACOBCO例 1 已知：AD是ABC的A的平分線，CDAD于D,BEAD于AD的延長線于E,M是BC邊上的中點。 求證：ME=MD 證明：延長 CD交AB于F點，BE與延長線交于點 為FC中點，為中點。 ，3 ， 則3則“三線合一定理的逆定理”“平行

5、線的性質”“等底對等腰”例已知：ABC為等腰直角三角形，A=,2,CEBE 求證：BD=2CE 證明：延長 CE、BA交于F 點 先證 CF=2CE 再證 RTABDRTCAF “3=F”+”AB=AC”+”BAD=CAF” 則有BD=CF=2CE “三線合一定理的逆定理”+“ASA全等”例3 已知：ABC中，CE平分ACB，且AECE,AED+CAE=180(3+4=180)求證：DEBC證明：延長AE交BC邊于F點，則有3且35 3+4=180 4+5=180 56 則DEBC“三線合一定理的逆定理”“平行線的判定”例4 已知：在ABC中，AC>AB,AM為A的平分線，ADBC于D

6、求證 ：MAD=(B-C) 證明：作BEAM,交AC于E點，交AM于K點 先證3=42 5AEB AM為角平分線 BEAM 后證：B-C=4+5-C=4+AEB -C=24 則3=4= （B-C）即MAD=(B-C)“三線合一逆定理”+“平行四邊形的判定”例 5 已知：在ABC的兩邊AB 、AC上分別取BD=CE，F、G分別為DE、BC的中點，A的平分線AT交BC于T 求證：FGAT 證明：作ENAT于N點，交AB于L點，作CKAT于K點，連結FN、GK 先證：NF且=LD,KG且=MB 再證：LD=MBLM=DB=EC 最后證明四邊形FNKG為平行四邊形。“三線合一定理的逆定理”“平行四邊形

7、判定”三角形中位線模型構成：ABC中，D 為AB邊中點目的：找中位線，構造：2倍關系相似三角形結果：DEBC,DE=BC ADEABC例1 已知：在ABC中，AB=AC,ADBC于D,DEAC于E,F為DE中點 求證：AFBE 證明：取BE中點H，連DH 先證：RtEDHRtAED 則 RtEDHRtAEF 則 BED= 1 EAF+AEG= 則AFBE “AAA”+“中位線定理”+“（兩直線）定義”例2 已知 BD、CE為ABC的角平分線，AFCE 于F,AGCE于F,AGBD于G 求證：FGBC FG=(AB+AC-BC) 證明：延長AF、AG 分別交BC于M、N 兩點證G為AN中點BDA

8、N 1=2 F為AM中點3=4 CEAM 則GF為ANM中位線 GFBC, GF=MN MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC“等腰三線合一”+“中位線定理”+“等量代換”思考：BD、CE為外角平分線時或一內一外角平分線時，又該如何證明？例3 已知 ，如圖在ABCD中，P為CD中點，AP延長線交BC延長線于E,PQCE 交DE于Q 求證：PQ=BC證明：先證ADPPCE 可得 CE=AD=BC 再證 PQ為中位線 ，PQ=CE“AAS”+“平行四邊形性質”+“中位線定理”例4 已知：梯形ABCD中，AB=DC,ACBD,E、F為腰上中點，DLBC,M為DL與EF的交點 求證：EF=DL 證明

9、：取AD、EF的中點 H、K,連結 EH、FH、HK 易證EHHF 則HK=EF RTDLC中可得M為DL中點，則DM=DL 由題意得 HK=DM 則EF=DL“三角形中位線定理（3次）”+“平行線性質”+“斜邊上中線為斜邊一半”例 5 已知：銳角ABC中，以AB、AC為斜邊向外作等腰直角ADB，AEC,M為 BC中點，連結DM、ME 求證：DM=EM ,DMEM 證明：取AB、AC的中點F、G,連結DF 、FM、 ME 先證DFMMGE DF=GMDFM=MGE1=2=3 FM=GE則DM=ME , 4=5再證DME=7+1+5=，則 DMEM思考：BAC為鈍角時，又該如何證明？“補長截短”

10、模型（1） 截長法： 構成：線段a,b,c目的：確定一線段，找令一線段的等量關系結果： a-=ca=b+c， b=（2）補短法： 構成：線段a,b,c目的：構造一等長線段，再找等量關系結果：c=，b+=aa=b+c例1 已知：ABC中，AD平分BAC 求：（1）若B=2C,則AB+BD=AC (2) 若AB+BD=AC,則B=2C解：（1）在AC上取AE=AB,連結DE,則AEDABD BD=ED3=B,AB=AE且3=2C=4+C 則EC=ED AC=AE+EC=AB+BD(2) (1)的反推過程“SAS全等”+“的一外角等于與它不相鄰的兩內角和”+“等底等腰”例2已知：等腰ABC中，AB=

11、AC, A=,BD平分ABC 求證：BC=AB+DC證明： 在BC邊上取BE=BA,連結 DE,則ABDEBDAB=BE 再證：3=4 4=，3=5-C=DC=EC 則BC=BE+EC=AB+DC“SAS 全等”+“兩外角等于不相鄰兩內角和”+“等底對等腰”例 3 已知：在ABC的邊BC上取BE=CF，過E作EHAB交AC于H,過F作FGAB交AC于G 求證：EH+FG=AB證明：在AB上取BD=FG,連結DE 先證DBEGFC 再推3=C 再證四邊形ADEH為平行四邊形則 FG+EH=AD+DB=AB “SAS 全等”+“平行線的判定”+“平行四邊形的判定”思考： 若在AC上截取AD=EH，

12、連DF，如何證明？若用以下方法添加輔助線，又該如何證明？ a. 在CA上截取CD=GF,連DFb. 延長HE至D,使ED=GF,連ADc. 延長EH至D,使ED=AC,連CD例 4 已知：在正方形ABCD中，M是CD的中點，E是CD上一點，且BAE=2DAM 求證：AE=BC+CE 證明：取BC的中點G，連結AG 延長AB至F 使AF=AE,連結FG ,GE 先證3=5 則3=4=5 后證RTAFGRTAEG 則FG=GE 再證RTFBGRTECG 則BF=EC所以有AE=AF=AB+BF=BC+CE“SAS 全等”+“三線合一定理”+“等量代換”思考：若用以下方法添加輔助線，該如何證明？ a

13、. 在AE上截取AF=AB,取BC中點G,連結AG,GF,GE b. 延長DC至H,使CH=AB，連AH交BC于G例 5 已知：在正方形ABCD中，E 為BC上任一點，EAD的平分線交DC于F 求證：BE+DF=AE 證明：延長CD 至G,使DG=BE,連結 AG,則RTABERTADG, 得3=4再證5=1+4 AG=FG 所以有AE=AG=AF =DF+DG=DF+BE “平行線性質2”+“等底對等腰”+“HLRT全等” “等腰等邊”模型 角平分線+平行線等腰 構成：AOB ,OD為AOB的角平分線 目的：構造等腰，找等角，等邊 結果： OEC為等腰OC=OE 3=C, 1=3例 1 已知

14、：ABC中，AB=4,AC=7,M是BC中點，AD平分BAC,過M點作MFAD, 交AC于F 求：FC 的長度? 解：延長FM至N，使MF=MN,延長MF、BA交于E點 先證:BMNCMF BN=CF , N=MFC 再證：E=BAD=CAD=CFM=AFE=NAE=AF,BN=BE 則有：AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=NB+FC=2FC 所以有：FC= (AB+AC)=5.5 “SAS 全等”+“平行線性質”+“對頂角相等”+“等底對等腰”例 2 已知：銳角ABC中，ABC=2C, ABC的平分線與AD垂直，垂足為D 求證：AC=2BD 證明：過A作BC平行線，

15、延長BE交平行線于F 先證：ABF為等腰BF=2BD 再證：AE+EC=EF+BE AE=EF 3=4 BE=EC 2=C 即 AC=BF=2BD“等底等腰” +“等腰三線合一”+“平行線性質2”例 3 已知：在ABC中，A=100,AB=AC,BE是B 的平分線求證：AE+BE=BC證明：過E作EDBC交AB于D,延長CA至A使EF=BC 連結FD先證：DE=DB=EC再證：DEFECBFD=BE后證：FD=FA4=5=90所以有：AE+BE=AE+FD=AE+FA=EF=BC“平行線性質”+“等底等腰”+“SAS全等”例 4 已知：ABC中，AB=AC,AD為ABC的角平分線，P為BC上一

16、點，過P 作AD的平行線交BA的延長線于E，交AC于F 求證：2AD=PE+PF 證明：延長AD，FP,過C作AB平行線，交于G、H 點 先證：AD=DG,PH=FP 1=2=3=4=5 后證：AG=EH四邊形AEHG為平行四邊形 則有：2AD=AG=EH=EP+PH=EP+FP“等底等腰”+“平行線性質1”+“平行四邊形判定及性質”倍長中線模型 構成（條件）：ABC中，AD為中線目的：（1）構造全等三角形 找等量關系（邊）（2）構造平行線 找等角關系結果：（1）BDEADC BE=AC （2）AE=2AD 1=2，3=4ACBE例1： 已知：AD為ABC 中線，E為AC上一點，且AE=FE

17、求證：AC=BF證明：（倍長中線）BDGCDA G=EAF，BG=AC 再G=3BF=BG“SAS 全等”+“等底 等腰”+“等量代換”例2 ：已知：CE、CB分別是ABC、ACD的中線，且AB=AC，求證：CD=2CE證明：倍長CE，連結BMMEBCEA（SAS）ME=EC+MEB=AEC+BE=AEMBCDBC（SAS）MB=BD+MBC=DBC+ BC=BC DC=MC=2EC“等腰對等底”+“外角=兩內角和”+“SAS 全等” 例3：已知RtBAC中，A=90，D為BC邊中點，E、F分別為邊AB、AC上一動點，且EDFD。求證：EF=BE+CF。證明：倍長FD至G， 連結BG、EG先證

18、CFDBGDCF=BG，C=GBD（ACBG）RtEBG中，EG2=BG2+BE2=FC2+BE2EGF為等腰 ，則EF2=BE2+CF2“SAS全等”+“勾股定理”+“等腰三線合一”例4：已知：ABC中，AD為中線，AB邊長為x ，AC邊長為y，求中線AD 的取值范圍。解：倍長AD 連結BE ABE中， |x-y|2ADx+y “SAS 全等”+“等量代換”+“三邊關系”例5：已知M是ABC的邊BC上的中點，過BC上一點D 引直線平行于AM交AB于E，交CA的延長線于F 求證：ED+DF=2AM證明：倍長AM ，連結BH 延長ED交BH于K先證四邊形FAHK為平行四邊形AH=FK再證ED=

19、DKED/AM=DK/HM，AM=MH ED+FD=FK=AH=2AM“SAS 全等”+“平行四邊形定義及性質”+“比例性質”+“等量代換”練習 已知：ABC 中，AD是角平分線，M是BC中點，MFDA，MF交AB、CA的延長線于E、F。求證：BE=CF證明：倍長FM 連結BG先證BMGCMFBG=CF，G=F FCBG再證1=F=GBE=BG=CF“SAS 全等”+“兩直線平行，同位角相等”+“等底對等腰”+“等量代換”面積法 （1） 構成：ADBC，ABC，BCD 。 目的：找等積 . 結果：SABC =SBCD.（2）構成：EFBC，ABC，AEF 。 目的：找比例線段。結果：SAEF

20、：SABC=AF2：AC2=AE2：AB2=EF2：BC2（3）構成：l1l2l3，線段AC、BD，AD、BC相交于點O。 目的：找比例線段。結果： AE ：EC=AO：OD=BO：CO=BF：FD例1：在ABC的邊AB、AC上分別取點D、E，使DEBC ，在AB上取點F， 使SADE=SBFC。求證：AD2=AB*BF。證明：“SADE ：SABC=AD2：AB2”+“ SADE ：SABC= SBFC ：SABC=FB：AB” AD2：AB2=FB：AB AD2 =FB*AB“相似面積比”+“同高面積比”+“比例的基本性質”例2：已知：ABC中，ACB=900，CE平分ACB 交AB于E，EFAC 于F。 求證：。證明：過E作EDBC 于 DSABC = SBEC +