1、第五講等腰三角形的判定與性質一、知識精講1.遇到等腰三角形時，常利用“三線合一”作輔助線，回避全等，簡化證明過程2.一般的角度問題可直接利用內角和定理來求，對于較復雜的角度關系，一般用 方程的思想來處理3.在等腰三角形內部或外部作任意一邊的平行線均可構造出新的等腰三角形，從 而實現邊角之間的轉化若 AB =AC，DEAC，求證：BDE 為等腰三角形二、典例解析【例 1】如圖，ABC中，D，E 在 AB上，且 D，E 分別是 AC，BC的垂直平分 線上一點（1）若CDE 的周長為 4，求 AB的長.（2）若ACB100°，則DCE ；若ACB110°，則DCE（3）若ACBa

2、（90°a180°），則DCE .【練 1】 ABC 中，AC的垂直平分線 DE交 AC于 E，交ABC的平分線于 D，DFBC于 F（1）求證： BC - AB = 2CF ;BCAB2BF（2）若ABC60°，求ADE 的度數（3）若 ÐABC = 60° ，直接寫出DAE 的度數【例 2】如圖，D，E，F 分別為ABC邊上一點，且 ADAF，BDBE（1）若C80°，求EDF的度數.（2）若Ca，直接寫出EDF的度數【練 2】如圖，C為ABE 的邊 BE上一點，且 ABAC，AB的垂直平分線交 AC于 D，且 ADBC，CECD

3、（1）求BAC 的度數.（2）求CAE 的度數. 【例 3】已知ABC 中，ACBC，ACB90°，D，E 分別為 AB，BC上一點，連 DE（1）如圖 1，若CDE45°，BEAD，求證：DCDE；（2）如圖 2，在（1）的條件下，過 E 作 EFAB 于 F，求的值；（3）如圖 3，過 E 作 EFBD 于 F，若 DCDE，求證：AB2DF【練 3】已知：如圖，在ABC 中，ABC=2ACB，點 H是 BC中點，過點 H作 DHBC于 H且與 BA延長線相交于點 D.圖（1）圖（2）圖（3）（1）圖中存在連接兩點的線段等于 DB,請畫出此線段并說明理由.（2）如圖（1

4、），當B=45°時，三條線段 AB、AD、BC 之間存在 BC=AB+2AD， 請給出證明.（3）如圖（2），B=36°時，三條線段 AB、AD、BC 之間又存在何種確定 的等量關系？請寫出結論并證明.【例 4】如圖所示，在ABC中，AB=AC，F是 AC上的點，在 BA的延長線上取一點 E使 AE=AF，連接 EF交 BC于點 D,求證：EFBC.【練 4】已知ABC是等邊三角形，D為 AC上一點，延長 BC至 E，使 CEAD（1）如圖 1，若 D是 AC的中點，求證：DBDE.（2）如圖 2，若 D不是 AC的中點，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由【例 5】已知：如

5、圖，等邊ABC 中，D是線段 AB上的任意一點，E是 AB延長線上一點，CF平分ACE，ADF = 60°.（1）求證：AD=DF；（2）若將上述條件中的“D 是線段 AB 上的任意一點”改為“D是 AB延長 線上的任意一點”，其余條件不變，則結論“AD=DF ”還成立嗎?如果成立，請證 明：如果不成立，請說明理由. 【練 5】已知,如圖,ABC是等邊三角形,點 D為線段 CA延長線上的一動點, 點 E為射線 CB 上一動點,并且始終滿足 AD=CE,（1）如圖,當點 E 在線段 CB 上時,求證:DB=DE.（2）若點 E在線段 CB的延長線上,其他條件不變,試在下圖中補全圖形,并

6、 猜想第（1）問的結論是否發生變化？判斷并證明你的結論;（3）在（1）的條件下,若點 D、E 在運動時,恰好使 DE 平分BDC,則此時BDC= 。(直接寫出答案).【例 6】 （1）如圖 1，正方形 ABCD中，E是 BC邊的中點，AEF=90°，EF 交正方形外角的平分線 CF于 F點，判斷線段 AE與 EF的數量關系，說明你的理 由；（2）如圖 2，若點 E在 BC的延長線上，其它條件不變，線段 AE與 EF的 數量關系發生變化嗎？若不變，說明你的理由，如變化，求出變化的范圍；（3）如圖 3，若點 E在 CB的延長線上，其它條件不變，線段 AE與 EF的 數量關系發生變化嗎？說

7、明你的理由.【練 6】已知ABC是等邊三角形，點 P是 AC上一點，PEBC于點 E，交 AB于點 F，在 CB的延長線上截取 BD=PA，PD交 AB 于點 I.（1）如圖 1，若 n = 1 ，則 , （2）如圖 2，若EPD = 60º，試求 n和的值.（3）如圖 3，若點 P在 AC邊的延長線上，則 n=3，其他條件不變，則三、課后練習1.如圖，已知等邊ABC.（1）若點 M 在線段 AB 上，點 N 在線段 BC 上，AN、CM 交于點 P，且 AMBN，則CPN的度數是 ；（2）若 M 在 AB 的延長線上，N 在 BC 的延長線上，且 AMBN，直線 CM交直線 AN

8、于 P，則CPN 的度數是 ，畫出圖形并證明你的結論；（3）在(2)的條件下，作 MGBC于G，若求 M在運動過程中，使CPN為等腰三角形時 n的值.2.已知等邊三角形 ABC，E，D 分別是 AB，CB 上一點.（1）如圖，若 E 在線段 AB 上（不與點 A，B 重合），且 ED=EC,求證 AE=DB；（2）若 E 是線段 AB 延長線上一點，BE=AB，ECD 為等腰三角形，請畫 出圖形，并求出EDC 的度數.3.在等邊三角形 ABC 中.（1）點 E 在 AB上，點 D在 CB 的延長線上，且EDC=ECD，如圖 1，試確定線段 AE 與 DB的數量關系，并說明理由；（2）點 E 在線段 AB 的延長線上，點 D在線段 CB 的延長線上，且EDC=ECD，如圖 2，若ABC 的邊長為 1，AE=2，求 CD的長；（3）如圖 3，在等邊三角形 ABC中，點 E在 AB 上，AE=3BE，連接 CE，作BCM =AEC，CM=CE 連接 AM，交 BC于 P，則 BP：CP= .4.如圖，等邊三角形 ABC 的邊長為 6cm，點 D從點 C出發沿著 CA向 A運動，點 E從點 B出發沿著 AB的延長線向