1、20052006學年第一學期線性代數試題及答案一、填空題：（每小題4分共32分。力學、包裝、材料、測控、生醫、自動、物流、電力、熱工、交通專業做第18小題，其他各專業做第1，47及911小題）1設行列式D=, 則第4行各元素余子式之和的值為 -28 。 2設A、B為3階可逆方陣且則 4 。3.= 。4 E 。5. 設，B為三階非零矩陣，且，則t = -3 。 6. 設三維向量空間的一組基底為 = （1，1，0）， = （1，0，1）， = （0，1，1），則向量 = （2，0，0）在此基底下的坐標是 (1,1,-1)。7已知方程組無解，則a = -1 。8設A=，P可逆，則的特征值為 -1，3

2、，1 。9設矩陣, 。10設4階矩陣，則A的特征值是 4，0，0，0 。11若二次型是正定的，則t的取值范圍是 。二、選擇題：（每小題3分共21分。力學、包裝、材料、測控、生醫、自動、物流、電力、熱工、交通及電信科、光信科、環工、環科專業第做17小題，其他各專業做第39小題）1設n階方陣A的伴隨矩陣為且|A| = a 0，則| =（ C ）。（A）a (B) (C) a (D) a 2設（ D ）。（A）1 (B) (C) (D) .3設A,B為 n階方陣且，則必有（ C ）。（A）； （B）； (C) ； (D) 。4. 若向量組線性無關；線性相關，則（ C ）。（A）必可由線性表示；（B）

3、必可由線性表示；（C）必可由線性表示；（D）必不可由線性表示。5設均為n維向量，下列結論不正確的是（ B ）。 （A）若對于任意一組不全為零的數，使0，則線性無關；（B）若線性相關，則對于任意一組不全為零的數，有=0；（C）線性無關的充分必要條件是此向量組的秩為s；（D）線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關。6齊次線性方程組的系數矩陣記為A,若存在三階非零矩陣B使得AB =0，則（ C ）。（A）； （B）0；（C）； （D）0。 7設有齊次線性方程組AX=0和BX=0,其中A,B均為矩陣，現有4個命題： 若AX=0的解均是BX=0的解，則秩（A）秩（B）； 若秩（A）秩（B），則AX

4、=0的解均是BX=0的解； 若AX=0與BX=0同解，則秩（A）=秩（B）； 若秩（A）=秩（B），則AX=0與BX=0同解。以上命題正確的是（ B ）。（A）； （B）； （C）； （D）。8設A=，P1= ,P2= ，其中A可逆，則等于（ C ）。 （A）； （B）； (C) ； (D) 。9設,則二次型f是( C )。（A）正定的（B）負定的（C）不定的 （D）無法確定三、1已知A，B為3階矩陣，且滿足其中E是3階單位矩陣。求矩陣的逆。解：所以。2 設向量組線性相關，向量組線性無關，問：能否由線性表示？并證明你的結論。3 解：能。因為線性無關，所以線性無關，又線性相關，故能由線性表示。3

5、已知是矩陣的一個特征向量。試確定參數a,b的值及特征向量所對應的特征值。解：由，得：，4當為何值時，方程組有解，并求其通解。解：當，同解方程組為令，令5設，判斷A是否與對角陣相似，相似時求可逆矩陣P，使為對角陣。解：因為所以r(A-2E)=3-2=1, 所以A與對角陣相似。6設經正交變換化為標準形，求k及正交陣Q.解：因為所以其特征值為將它們單位化即得到所求的正交矩陣。7設, ，問當a，b，c 滿足什么條件時 （1）能用唯一線性表示？ （2）不能用線性表示？（3）能用線性表示，但表示式不惟一，并求出一般表示式。教材第108頁第12題第2問。8設二次型其中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12。(1)求a，b的值；(2)利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣。故.四、證明題：（本大題共10分。第1，2小題5分共10分；第3小題10分。務請按分值選作）1設,均為n維非零列向量，線性無關且與分別正交。證明,線性無關。證：設，2設均為n階方陣,且，證明 證：故。3設有n+1個n