1、2015屆高三數學復習綜合題選（4）數列1（2015汕尾模擬）已知各項均為正數的數列an的前n項和為Sn滿足4Sn=a+2an（1）求a1的值；（2）求an的通項公式；（3）求證：+2，nN2（2015洛陽一模）已知數列an的前n項和公式為Sn=×3n+1（1）求數列an的通項公式；（2）令bn=log3，求數列 |bn|的前n項和Tn（其中，n5）3（2015興國縣一模）數列an的前n項和為Sn，且Sn=2（an1）（nN+）（1）求數an的前n項和為Sn；（2）若bn=log2an+1（n1，nN），設Tn為數列的前n項和，求Tn4（2015南充一模）已知遞增等差數列an中的a2

2、，a5是函數f（x）= +10x+5的兩個極值點數列bn滿足，點（bn，Sn）在直線y=x+1上，其中Sn是數列bn的前n項和（1）求數列an和bn的通項公式；（2）令cn=anbn，求數列cn的前n項和Tn5（2015四川模擬）已知數列an是公差d不為零的等差數列，bn是等比數列，函數f（x）=b1x2+b2x+b3的圖象在y軸上的截距為4，其最大值為a6（）求a6的值；（）若f（a2+a8）=f（a3+a11），求數列bn的通項公式；（）若a2=，設Tn為數列的前n項和，若Tn=，求正整數n的值6（2015四川模擬）已知數列an是公差為d的等差數列，bn是等比數列，函數f（x）=b1x2+

3、b2x+b3的圖象在y軸上的截距為4，其最大值為a6（）求a6的值；（）若d0且f（a2+a8）=f（a3+a11），求數列bn的通項公式bn；（）設Tn=+（n6），若Tn的最小值為2，求d的值7（2015河南二模）數列an滿足a1=，an（，），且tanan+1cosan=1（nN*）（）證明數列tan2an是等差數列，并求數列tan2an的前n項和；（）求正整數m，使得11sina1sina2sinam=18（2014山東）已知等差數列an的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數列（）求數列an的通項公式；（）令bn=（1）n1，求數列bn的前n項和Tn9（2014上海）已

4、知數列an滿足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范圍；（2）若an是等比數列，且am=，求正整數m的最小值，以及m取最小值時相應an的公比；（3）若a1，a2，a100成等差數列，求數列a1，a2，a100的公差的取值范圍10（2014重慶三模）已知數列an的前n項和Sn=an（）n1+2（n為正整數）（1）令bn=2nan，求證數列bn是等差數列，并求數列an的通項公式；（2）令cn=an，若Tn=c1+c2+cn，求Tn11（2014江西三模）已知數列an的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列，且滿足a2+a3=a4，a1

5、1=a3+a4，記bn=a2n1（nN*）（1）求數列bn的通項公式；（2）設數列的前2014項和為T2014，求不超過T2014的最大整數12（2014淮南一模）已知an是單調遞增的等差數列，首項a1=3，前n項和為Sn；數列bn是等比數列，首項b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20（1）求an和bn的通項公式；（2）令cn=Sncos（）（nN+），求cn的前20項和T2013（2014香洲區模擬）在數列an中，已知a1=，bn+2=3an（nN*）（1）求數列an、bn的通項公式；（2）設數列cn滿足cn=anbn，求cn的前n項和Sn14（2014天津模擬）已知數列an，bn，a

6、1=b1=1，且當n2時，annan1=0，bn=2bn12n1記n的階乘n（n1）（n2）321=n!（）求數列an的通項公式；（）求證：數列為等差數列；（）若cn=+bn2n，求cn的前n項和15（2014洛陽一模）已知數列an的前n項和Sn=2an2n+1+2（n為正整數）（1）求數列an的通項公式；（2）令bn=log2a1+，求數列的前n項和Tn16（2014南昌模擬）已知數列an中，a1=，當n2時，2an=an11（1）求數列an的通項公式（2）設bn=，數列bn前n項的和為Sn，求證：Sn217（2014河南）已知數列an的前n項和為Sn，a1=1，an0，anan+1=Sn1

7、，其中為常數（）證明：an+2an=（）是否存在，使得an為等差數列？并說明理由18（2014和平區三模）已知數列an中，a1=2，a2=3，其前n項和Sn滿足Sn+1+Sn1=2Sn+1，其中（n2，nN*）（1）求數列an的通項公式；（2）設為非零整數，nN*），試確定的值，使得對任意nN*，都有bn+1bn成立19（2014蕭山區模擬）在數列an中，任意相鄰兩項為坐標的點P（an，an+1）均在直線y=2x+k上，數列bn滿足條件：b1=2，bn=an+1an（nN）（）求數列bn的通項公式；（）若cn=bnlog2，Sn=c1+c2+cn，求2n+1Sn60n+2成立的正整數n的最小值

8、20（2014陜西一模）已知數列an中，a1=5且an=2an1+2n1（n2且nN*）（1）證明：數列為等差數列；（2）求數列an的前n項和Sn21（2014南昌模擬）數列an中，a1=1，當n2時，其前n項和Sn滿足Sn2=an（Sn1）（1）求證：數列是等差數列；（2）設bn=log2，數列bn的前n項和為Tn，求滿足Tn6的最小正整數n22（2014江西模擬）已知數列an為公差不為0的等差數列，Sn為前n項和，a5和a7的等差中項為11，且a2a5=a1a14令，數列bn的前n項和為Tn（1）求an及Tn；（2）是否存在正整數m，n（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比數列？若存在，求

9、出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由23（2014九江模擬）已知數列an中，a1=1，（）求數列an的通項公式；（）求數列n2an的前n項和Tn24（2014濰坊模擬）已知正項數列an的前n項和為Sn，a1=，且滿足2Sn+1=4Sn+1（nN*）（）求數列an的通項公式；（）當1in，1jn（i，j，n均為正整數）時，求ai和aj的所有可能的乘積aiaj之和25（2014太原二模）已知各項均為正數的數列an滿足，且a2+a4=2a3+4，其中nN*（）求數列an的通項公式；（）設數列bn滿足是否存在正整數m、n（1mn），使得b1，bm，bn成等比數列？若存在，求出所有的m、n的值，若不

10、存在，請說明理由26（2014廣州模擬）數列an，bn滿足：a1=2，2an+1=an+n，bn=ann+2（nN*）（1）求數列bn的通項公式；（2）設數列an，bn的前n項和分別為An、Bn，問是否存在實數，使得為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由27（2014重慶模擬）已知數列an的首項a1=，其中nN+（）求證：數列為等比數列；（）記Sn=，若Sn100，求最大的正整數n28（2014荊門模擬）已知數列an滿足：a1=1且（1）若數列bn滿足：，試證明數列bn1是等比數列；（2）求數列anbn的前n項和Sn；（3）數列anbn是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由2

11、9（2014南陽三模）設數列an的前n項和為Sn，已知a1=1，（）求數列an的通項公式；（）若，數列bn的前項和為Tn，nN*證明：Tn230（2014寶山區二模）已知數列an滿足（c為常數，nN*）（1）當c=2時，求an；（2）當c=1時，求a2014的值；（3）問：使an+3=an恒成立的常數c是否存在？并證明你的結論參考答案與試題解析1（2015汕尾模擬）已知各項均為正數的數列an的前n項和為Sn滿足4Sn=a+2an（1）求a1的值；（2）求an的通項公式；（3）求證：+2，nN考點：數列的求和；數列遞推式菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（1）4Sn=a+2an令n=1

12、，可得+2a1，解出即可（2）當n2時，4an=4Sn4Sn1，化為（an+an1）（anan12）=0，可得anan1=2，利用等差數列的通項公式即可得出（3）當n=1時，=12成立當n2時，=利用“裂項求和”即可得出解答：（1）解：4Sn=a+2an令n=1，可得+2a1，a10，解得a1=2（2）解：當n2時，4an=4Sn4Sn1=，化為（an+an1）（anan12）=0，an0，an10，anan1=2，數列an是等差數列，an=2+2（n1）=2n（3）證明：當n=1時，=12成立當n2時，=+=+1+=22點評：本題考查了遞推式的應用、等差數列的通項公式、“裂項求和”方法，考查

13、了推理能力與計算能力，屬于中檔題2（2015洛陽一模）已知數列an的前n項和公式為Sn=×3n+1（1）求數列an的通項公式；（2）令bn=log3，求數列 |bn|的前n項和Tn（其中，n5）考點：數列的求和；數列的函數特性菁優網版權所有專題：函數的性質及應用；等差數列與等比數列分析：（1）利用an=求解（2）bn=log3=n4，由此能求出數列 |bn|的前n項和Tn（其中，n5）解答：解：（1）Sn=×3n+1，當n=1時，a1=S1=×32=3，當n2時，an=SnSn1=（×3n+1）（×3n+2）=3n，當n=1時，上式成立，an=

14、3n（2）bn=log3=n4，令bn0，即n40，得n4，即第四項開始各項均非負，當n5時，Tn=3+2+1+0+=點評：本題考查數列的通項公式和前n項絕對值的和的求法，解題時要注意對數性質的合理運用3（2015興國縣一模）數列an的前n項和為Sn，且Sn=2（an1）（nN+）（1）求數an的前n項和為Sn；（2）若bn=log2an+1（n1，nN），設Tn為數列的前n項和，求Tn考點：數列的求和菁優網版權所有專題：點列、遞歸數列與數學歸納法分析：（1）先由數列遞推式求出首項，再由數列遞推式得到數列Sn+2是以4為首項，以2為公比的等比數列，由等比數列的通項公式求得數an的前n項和為Sn

15、；（2）求出等比數列的通項，代入bn=log2an+1求得bn，進一步代入數列后由裂項相消法求其前n項和解答：解：（1）當n=1時，S1=a1=2（a11），a1=2；當n2時，Sn=2Sn2Sn12，即Sn+2=2（Sn1+2），而S1+2=40，Sn+2是以4為首項，以2為公比的等比數列Sn=42n12=2n+12當n=1時，上式成立，Sn=2n+12；（2）由（1）知an=2n，bn=log2an+1=n+1，而，Tn=1+=點評：本題考查了等比關系的確定，考查了裂項相消法求數列的和，是中檔題4（2015南充一模）已知遞增等差數列an中的a2，a5是函數f（x）=+10x+5的兩個極值點

16、數列bn滿足，點（bn，Sn）在直線y=x+1上，其中Sn是數列bn的前n項和（1）求數列an和bn的通項公式；（2）令cn=anbn，求數列cn的前n項和Tn考點：數列的求和菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（1）先對原函數求導得到極值點，再利用等差、等比數列的通項公式即可；（2）直接使用錯位相減法求之即可解答：解：（1），則f'（x）=x27x+10因為a2，a5是函數的兩個極值點，則，解得：或又等差數列an遞增，則，所以3分因為點（bn，Sn）在直線y=x+1上，則Sn=bn+1當n=1時，b1=S1=b1+1，即當n2時，bn=SnSn1=（bn+1）（bn1+1），

17、即所以數列bn為首項為，公比為的等比數列，即6分（2）由（1）知：且，則所以1得：所以12分點評：本題考查的知識點利用導數求函數的極值；等差、等比數列的通項公式；錯位相減法求數列的和是中檔題5（2015四川模擬）已知數列an是公差d不為零的等差數列，bn是等比數列，函數f（x）=b1x2+b2x+b3的圖象在y軸上的截距為4，其最大值為a6（）求a6的值；（）若f（a2+a8）=f（a3+a11），求數列bn的通項公式；（）若a2=，設Tn為數列的前n項和，若Tn=，求正整數n的值考點：數列的求和；數列與函數的綜合菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（I）由于函數f（x）=b1x2+b

18、2x+b3的圖象在y軸上的截距為4，其最大值為a6可得b3=4，且當x=時，函數f（x）取得最大值=b3=，解得a6（II）由f（a2+a8）=f（a3+a11），可得=化為=，即可解得（）由于a2=，a6=，可得公差d=1，即可得出an=可得=利用“裂項求和”可得數列的前n項和Tn=由于Tn=，令=，解得n即可解答：解：（I）函數f（x）=b1x2+b2x+b3的圖象在y軸上的截距為4，其最大值為a6b3=4，當x=時，函數f（x）取得最大值=b3=4+1=3=，解得a6=（II）f（a2+a8）=f（a3+a11），=2a6=1，公比q=2數列bn的通項公式bn=4×（2）n3=

19、（2）n1（）a2=，a6=，公差d=1，an=a2+（n2）d=+n2=n=數列的前n項和Tn=+=Tn=，=，解得n=6點評：本題綜合考查了二次函數的性質、等差數列與等比數列的通項公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題6（2015四川模擬）已知數列an是公差為d的等差數列，bn是等比數列，函數f（x）=b1x2+b2x+b3的圖象在y軸上的截距為4，其最大值為a6（）求a6的值；（）若d0且f（a2+a8）=f（a3+a11），求數列bn的通項公式bn；（）設Tn=+（n6），若Tn的最小值為2，求d的值考點：數列的求和菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（I）由于

20、函數f（x）=b1x2+b2x+b3的圖象在y軸上的截距為4，其最大值為a6可得b3=4，且當x=時，函數f（x）取得最大值=b3=，解得a6（II）由f（a2+a8）=f（a3+a11），可得=化為=，即可解得（III）Tn=+=+=，可知：當n=6時，Tn取得最小值=2，解得d即可解答：解：（I）函數f（x）=b1x2+b2x+b3的圖象在y軸上的截距為4，其最大值為a6b3=4，當x=時，函數f（x）取得最大值=b3=4+1=3=，解得a6=（II）f（a2+a8）=f（a3+a11），=2a6=1，公比q=2數列bn的通項公式bn=4×（2）n3=（2）n1（III）Tn=+

21、=+=，當n=6時，Tn取得最小值=2，解得d=點評：本題綜合考查了二次函數的性質、等差數列與等比數列的通項公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題7（2015河南二模）數列an滿足a1=，an（，），且tanan+1cosan=1（nN*）（）證明數列tan2an是等差數列，并求數列tan2an的前n項和；（）求正整數m，使得11sina1sina2sinam=1考點：數列的求和菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（）由于對任意正整數n，an（，），且tanan+1cosan=1（nN*）可得tan2an+1=1+tan2an，即可證明數列tan2an是等差數列，再利用

22、通項公式及其前n項和公式即可得出（II）由cosan0，tanan+10，可得tanan，cosan，利用同角三角函數基本關系式可得sina1sina2sinam=（tana2cosa1）（tana3cosa2）（tanamcosam1）（tana1cosam）=（tana1cosam），即可得出解答：（）證明：對任意正整數n，an（，），且tanan+1cosan=1（nN*）故tan2an+1=1+tan2an，數列tan2an是等差數列，首項tan2a1=，以1為公差=數列tan2an的前n項和=+=（）解：cosan0，tanan+10，tanan=，sina1sina2sinam=（

23、tana1cosa1）（tana2cosa2）（tanamcosam）=（tana2cosa1）（tana3cosa2）（tanamcosam1）（tana1cosam）=（tana1cosam）=，由，得m=40點評：本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、同角三角函數基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題8（2014山東）已知等差數列an的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數列（）求數列an的通項公式；（）令bn=（1）n1，求數列bn的前n項和Tn考點：數列的求和；數列的函數特性；數列遞推式菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（）利用等差數列與等比數

24、列的通項公式及其前n項和公式即可得出；（）由（）可得bn=對n分類討論“裂項求和”即可得出解答：解：（）等差數列an的公差為2，前n項和為Sn，Sn=n2n+na1，S1，S2，S4成等比數列，化為，解得a1=1an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1（）由（）可得bn=（1）n1=Tn=+當n為偶數時，Tn=+=1=當n為奇數時，Tn=+=1+=點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力、計算能力、“裂項求和”、分類討論思想方法，屬于難題9（2014上海）已知數列an滿足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3

25、=x，a4=9，求x的取值范圍；（2）若an是等比數列，且am=，求正整數m的最小值，以及m取最小值時相應an的公比；（3）若a1，a2，a100成等差數列，求數列a1，a2，a100的公差的取值范圍考點：數列的求和；數列遞推式菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（1）由題意可得：，代入解出即可；（2）設公比為q，由已知可得，由于，可得而，可得，再利用對數的運算法則和性質即可得出（3）設公差為d，由已知可得31+（n2）d，其中2n100，即，解出即可解答：解；（1）由題意可得：，；又，3x27綜上可得：3x6（2）設公比為q，由已知可得，又，因此，m=1logq1000=1=7.28

26、m的最小值是8，因此q7=，=（3）設公差為d，由已知可得1+nd31+（n1）d即，令n=1，得當2n99時，不等式即，綜上可得：公差d的取值范圍是點評：本題綜合考查了等差數列與等比數列的通項公式、不等式的性質、對數的運算法則等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題10（2014重慶三模）已知數列an的前n項和Sn=an（）n1+2（n為正整數）（1）令bn=2nan，求證數列bn是等差數列，并求數列an的通項公式；（2）令cn=an，若Tn=c1+c2+cn，求Tn考點：數列的求和；等差關系的確定菁優網版權所有專題：計算題分析：（1）根據數列an的前n項和Sn=an（）

27、n1+2（n為正整數）利用得出再利用bn=2nan，可得當n2時bnbn1=1即得出數列bn是等差數列，進而可求出bn然后求出an（2）由（1）可求出再結合其表達式的特征知可用錯位相減法求Tn解答：解：（1）在Sn=an（）n1+2中令n=1可得s1=a11+2=a1即a1=當n2時an=SnSn1=an+an1+2an=an1+（即bn=2nan，bnbn1=1即當n2時bnbn1=1又b1=2a1=1數列bn是首項和公差均為1的等差數列（2）由（1）得，+（n+1） =2×+3×+4×+（n+1） 由得=1+（n+1）=（n+3）（）n+1Tn=3（n+3）（

28、）n點評：本題主要考查了數列通項公式的求解和數列的求和，屬常考題，較難解題的關鍵是公式以及錯位相減法求和的應用!11（2014江西三模）已知數列an的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列，且滿足a2+a3=a4，a11=a3+a4，記bn=a2n1（nN*）（1）求數列bn的通項公式；（2）設數列的前2014項和為T2014，求不超過T2014的最大整數考點：數列的求和；數列遞推式菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（1）根據等比數列和等差數列的通項公式，求出首項和公比，公差，即可求出相應的通項公式（2）求出數列的通項公式，利用裂項法即可求前2014項和為T2014，

29、即得到得到結論解答：解：（1）設奇數項構成等差數列的公差為d，偶數項構成的等比數列的公比為q，由a2+a3=a4，a11=a3+a4，得，解得d=1，q=2，則a2n1=1+（n1）×1=n，bn=a2n1=n（2）=1+=1+，則數列的前2014項和為T2014=（1+1）+（1）+（1+）=2015，則不超過T2014的最大整數為2014點評：本題主要考查數列通項公式和前n項和的計算，利用裂項法法是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力12（2014淮南一模）已知an是單調遞增的等差數列，首項a1=3，前n項和為Sn；數列bn是等比數列，首項b1=1，且a2b2=12，S3+b2=2

30、0（1）求an和bn的通項公式；（2）令cn=Sncos（）（nN+），求cn的前20項和T20考點：數列的求和菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（1）根據題意，設an的公差為d，bn的公比為q，由已知條件a2b2=12，S3+b2=20，可得關于d、q的方程組，求解可得d、q的值，結合等比等差數列的通項公式，可得答案；（2）將an的通項公式代入，討論n的奇偶，再根據等差數列的求和公式解之即可解答：解：（1）設an的公差為d，bn的公比為q，則a2b2=（3+d）q=12，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=9+3d+q=20，3d+q=11，變形可得q=113d，代入可得：

31、（3+d）（11d）=33+2d3d2=12，即3d22d21=0，則（3d+7）（d3）=0，又由an是單調遞增的等差數列，有d0，則d=3，q=113d=2，an=3+（n1）×3=3n，bn=2n1，（2），點評：本題綜合考查等比、等差數列，涉及數列的求和，解題的關鍵在于分析發現Sn與cn的關系，轉化來求出答案，注意要分n為奇數與偶數2種情況進行討論屬于中檔題13（2014香洲區模擬）在數列an中，已知a1=，bn+2=3an（nN*）（1）求數列an、bn的通項公式；（2）設數列cn滿足cn=anbn，求cn的前n項和Sn考點：數列的求和菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列

32、分析：（1）由條件建立方程組即可求出數列an、bn的通項公式；（2）根據錯位相減法即可求cn的前n項和Sn解答：解：（1）a1=，數列an是公比為的等比數列，又，故 bn=3n2（nN*）（2）由（1）知，于是兩式相減，得=點評：本題主要考查等差數列和等比數列的通項公式的計算，以及利用錯位相減法進行求和的內容，考查學生的計算能力14（2014天津模擬）已知數列an，bn，a1=b1=1，且當n2時，annan1=0，bn=2bn12n1記n的階乘n（n1）（n2）321=n!（）求數列an的通項公式；（）求證：數列為等差數列；（）若cn=+bn2n，求cn的前n項和考點：數列的求和；等差數列的

33、通項公式；等比數列的通項公式；等差關系的確定菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（1）把遞推式annan1=0變形后進行循環，可以得到an=n（n1）（n2）321=n!，驗證a1成立，則數列an的通項公式可求；（2）把給出的遞推式兩邊同時除以2n，移向整理即可證得數列為等差數列；（3）把數列an的通項代入，把數列bn的通項代入，利用裂項相消和錯位相減法分別求出數列和的和后直接作和即可解答：（1）解：annan1=0（n2），a1=1，an=nan1=n（n1）an2=n（n1）（n2）an3=n（n1）（n2）321=n!又a1=1=1!，an=n!（2）證明：由，兩邊同時除以2n得

34、：，即數列是以為首項，公差為的等差數列，則，故（3）解：因為，記An=記的前n項和為Bn則 由得：=Sn=c1+c2+c3+cn=所以數列cn的前n項和為點評：本題考查了等差關系的確定，考查了等差數列和等比數列通項公式的求法，考查了利用裂項相消和錯位相減法求數列的前n項和，是中檔題15（2014洛陽一模）已知數列an的前n項和Sn=2an2n+1+2（n為正整數）（1）求數列an的通項公式；（2）令bn=log2a1+，求數列的前n項和Tn考點：數列的求和菁優網版權所有專題：計算題；等差數列與等比數列分析：（1）利用公式求出an和an1的關系式，再用構造法能求出數列an的通項公式（2）由數列a

35、n的通項公式得到，再根據已知條件利用對數函數的性質求出bn，利用裂項求和法能求出數列的前n項和Tn解答：解：（1）Sn=2an2n+1+2（n為正整數），解得a1=2，當n2時，an=SnSn1=2an2n+1+22an1+2n2=，又，數列是首項和公差均為1的等差數列，（2），bn=log2a1+=1+2+n=，Tn=2（1+）=點評：本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，注意構造法和裂項求和法的合理運用16（2014南昌模擬）已知數列an中，a1=，當n2時，2an=an11（1）求數列an的通項公式（2）設bn=，數列bn前n項的和為Sn，求證：Sn2考點：數列的求和

36、；數列遞推式；數列與不等式的綜合菁優網版權所有專題：點列、遞歸數列與數學歸納法分析：（1）由遞推公式構造構造數列an+1為等比數列，即求得；（2）利用裂項相消法求和，再進行放縮解答：解：（1）當n2時，2an=an112（an+1）=an1+1=，數列an+1是以a1+1=為首項，公比為的等比數列3分an+1=an=16分（2）bn=2（）9分sn=2（）+2（）+2（）=2（1）212分點評：本題考查遞推數列求通項公式的方法構造法，及利用裂項相消法對數列求和，應多體會其特點17（2014河南）已知數列an的前n項和為Sn，a1=1，an0，anan+1=Sn1，其中為常數（）證明：an+2a

37、n=（）是否存在，使得an為等差數列？并說明理由考點：數列遞推式；等差關系的確定菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（）利用anan+1=Sn1，an+1an+2=Sn+11，相減即可得出；（）對分類討論：=0直接驗證即可；0，假設存在，使得an為等差數列，設公差為d可得=an+2an=（an+2an+1）+（an+1an）=2d，得到Sn=，根據an為等差數列的充要條件是，解得即可解答：（）證明：anan+1=Sn1，an+1an+2=Sn+11，an+1（an+2an）=an+1an+10，an+2an=（）解：當=0時，anan+1=1，假設an為等差數列，設公差為d則an+2a

38、n=0，2d=0，解得d=0，an=an+1=1，12=1，矛盾，因此=0時an不為等差數列當0時，假設存在，使得an為等差數列，設公差為d則=an+2an=（an+2an+1）+（an+1an）=2d，Sn=1+=，根據an為等差數列的充要條件是，解得=4此時可得，an=2n1因此存在=4，使得an為等差數列點評：本題考查了遞推式的意義、等差數列的通項公式及其前n項和公式、等差數列的充要條件等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力、分類討論的思想方法，屬于難題18（2014和平區三模）已知數列an中，a1=2，a2=3，其前n項和Sn滿足Sn+1+Sn1=2Sn+1，其中（n2，n

39、N*）（1）求數列an的通項公式；（2）設為非零整數，nN*），試確定的值，使得對任意nN*，都有bn+1bn成立考點：數列遞推式菁優網版權所有專題：計算題分析：（1）本題由條件Sn+1+Sn1=2Sn+1，借助項與和關系SnSn1=an，可確定數列為等差數列，進而求出數列an的通項公式an=n+1（2）由an通項寫出bn的通項，欲證明數列為遞增數列，可借助作差法證明bn+1bn0即可，進行整理變形即轉化為對（1）n12n1（nN*）恒成立的證明借此討論N的奇數偶數兩種情況就可求出的范圍，再綜合為非零的整數即可確定的具體取值解答：解：（1）由已知，（Sn+1Sn）（SnSn1）=1（n2，nN

40、*），即an+1an=1（n2，nN*），且a2a1=1數列an是以a1=2為首項，公差為1的等差數列an=n+1（2）an=n+1，bn=4n+（1）n12n+1，要使bn+1bn恒成立，bn+1bn=4n+14n+（1）n2n+2（1）n12n+10恒成立，34n3（1）n12n+10恒成立，（1）n12n1恒成立（）當n為奇數時，即2n1恒成立，當且僅當n=1時，2n1有最小值為1，1（）當n為偶數時，即2n1恒成立，當且僅當n=2時，2n1有最大值2，2即21，又為非零整數，則=1綜上所述，存在=1，使得對任意nN*，都有bn+1bn點評：本題主要考查了數列的通項公式的求法，并借助數列

41、增減性的證明方法求通項中參變量的范圍，其中在證明（1）n12n1恒成立這一過程屬于難點學生不易將n分為奇數和偶數進行分情況討論后取其交集，易出現思路不清19（2014蕭山區模擬）在數列an中，任意相鄰兩項為坐標的點P（an，an+1）均在直線y=2x+k上，數列bn滿足條件：b1=2，bn=an+1an（nN）（）求數列bn的通項公式；（）若cn=bnlog2，Sn=c1+c2+cn，求2n+1Sn60n+2成立的正整數n的最小值考點：數列遞推式；數列與不等式的綜合菁優網版權所有專題：綜合題分析：（）依題意an+1=2an+k，故bn=an+1an=2an+kan=an+k，bn+1=an+1

42、+k=2an+k+k=2（an+k）=2bn，由此能求出數列bn的通項公式；（），Sn=1×2+2×22+3×23+n×2n，由錯位相減法知2n+1Sn60n+2，即n2n+160n，2n+160由此知使2n+1Sn60n+2成立的正整數n的最小值為5解答：解：（）依題意：an+1=2an+kbn=an+1an=2an+kan=an+k，（*）bn+1=an+1+k=2an+k+k=2（an+k）=2bn，b1=2，數列bn是以2為首項，2為公比的等比數列bn=22n1=2n，即為數列bn的通項公式（）Sn=1×2+2×22+3

43、15;23+n×2n（3）2Sn=1×22+2×23+3×24+（n1）×2n+n×2n+1（4）（3）（4）得Sn=2+4+8+2nn2n+1=2n+12n2n+1，2n+1Sn60n+2，即n2n+160n，2n+160又當n4時，2n+125=3260當n5時，2n+126=6460故使2n+1Sn60n+2成立的正整數n的最小值為5點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意數列通項公式的求法和數列前n項和公式的合理運用，注意挖掘隱含條件，認真解題20（2014陜西一模）已知數列an中，a1=5且an=2an1+2n1（n2且

44、nN*）（1）證明：數列為等差數列；（2）求數列an的前n項和Sn考點：數列遞推式；數列的求和菁優網版權所有專題：計算題；證明題分析：（1）設，=1，所以數列為首項是2、公差是1的等差數列（2）由題設知，所以an=（n+1）2n+1所以Sn=221+322+n2n1+（n+1）2n+n由錯位相減法能夠求出數列an的前n項和Sn解答：解：（1）數列為等差數列設，=1，（6分）可知，數列為首項是2、公差是1的等差數列（7分）（2）由（1）知，an=（n+1）2n+1（8分）Sn=（221+1）+（322+1）+（n2n1+1）+（n+1）2n+1即Sn=221+322+n2n1+（n+1）2n+n

45、令Tn=221+322+n2n1+（n+1）2n，則2Tn=222+323+n2n+（n+1）2n+1（12分），得Tn=221（22+23+2n）+（n+1）2n+1=n2n+1Sn=n2n+1+n=n（2n+1+1）（15分）點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意通項公式的求法和錯位相減求和法的合理運用21（2014南昌模擬）數列an中，a1=1，當n2時，其前n項和Sn滿足Sn2=an（Sn1）（1）求證：數列是等差數列；（2）設bn=log2，數列bn的前n項和為Tn，求滿足Tn6的最小正整數n考點：數列遞推式；數列與不等式的綜合菁優網版權所有專題：綜合題分析：（）把an=SnS

46、n1代入題設遞推式整理求得，進而利用等差數列的定義推斷出數列是等差數列（）依據（）可求得數列的通項公式，代入bn中求得其表達式，進而利用對數運算的法則求得Tn，根據Tn6利用對數函數的單調性求得n的范圍，進而求得最小正整數n解答：解（）Sn2=an（Sn1）Sn2=（SnSn1）（Sn1）（n2）SnSn1=Sn1Sn，即，是1為首項，1為公差的等差數列（）由（）知，（n+2）（n+1）128n10，所以滿足Tn6的最小正整數為10點評：本題主要考查了數列的遞推式，等差關系的確定，數列的通項公式和求和公式22（2014江西模擬）已知數列an為公差不為0的等差數列，Sn為前n項和，a5和a7的等

47、差中項為11，且a2a5=a1a14令，數列bn的前n項和為Tn（1）求an及Tn；（2）是否存在正整數m，n（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比數列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由考點：數列遞推式；等比關系的確定；數列的求和菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（1）由于a5和a7的等差中項為11，可得a6=11，又a2a5=a1a14可得，又公差d0，解得a1及d即可得到an進而得到bn，利用“裂項求和”即可得到Tn（2）假設存在正整數m，n（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比數列，則當m=2時，化為，解得一組m，n的值滿足條件當m3時，由于關于m單調遞增，可

48、知，化為5n+270，由于nm1，可知上式不成立解答：解：（1）a5和a7的等差中項為11，a6=11，又a2a5=a1a14可得，又公差d0，解得an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1=Tn=（2）假設存在正整數m，n（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比數列，則當m=2時，化為，解得n=12，此時m=2，n=12當m3時，由于關于m單調遞增，化為5n+270，由于nm1，可知上式不成立綜上可知：存在唯一一組正整數m=2，n=12（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比數列點評：本題考查了等差數列的通項公式和“裂項求和”、等比數列的單調性存在性問題等基礎知識與基本技能方法，屬于難題23（2014九江模擬）已知數列an中，a1=1，（）求數列an的通項公式；（）求數列n2an的前n項和Tn考點：數列遞推式；數列的求和菁優網版權所有專題：綜合題分析：（）由a1=1，知，a2=1，所以an+1=1×××=，由此能求出（）由知n2an=，所以T