1、增補(bǔ)運(yùn)動公理 落實(shí)變換教學(xué)210013江蘇教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 章飛章飛（1970- ），男，江蘇如皋人，碩士，江蘇教育學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)7-9年級（北師大版）分冊主編，時代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（教研版）主編，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究。摘 要：義務(wù)教育階段加強(qiáng)幾何變換教學(xué)具有現(xiàn)實(shí)意義；幾何變換的教學(xué)遭遇尷尬境地；建議課程標(biāo)準(zhǔn)增加運(yùn)動公理。關(guān)鍵詞：課程標(biāo)準(zhǔn)，變換，運(yùn)動公理現(xiàn)行義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)，在空間與圖形部分加強(qiáng)了幾何變換的教學(xué)地位和容量。那么，這樣設(shè)計(jì)的原因何在？具體實(shí)施狀況如何？如何適時完善（調(diào)整）以促進(jìn)課程目標(biāo)更好地達(dá)成，成為課程設(shè)計(jì)者亟待思考的話題。1可愛的變換變換，學(xué)

2、生并不陌生。生活中隨處可見各種運(yùn)動變化，如汽車的行駛、門窗的推移、人體的各種運(yùn)動等，這些都可以看作一個幾何變換，它們構(gòu)成了學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。同時，對于變換，學(xué)生也不乏活動經(jīng)驗(yàn)。從幼兒時期開始，他們就進(jìn)行了大量的搭積木、拼圖等游戲活動，這些活動，一方面發(fā)展了學(xué)生的空間想象能力，同時也是學(xué)生感受變換的一個好的活動機(jī)會。在拼擺活動中，小孩常常拿著圖片不停地?cái)[弄，其中就涉及到平移、旋轉(zhuǎn)、反射等變換，并能初步感受到這些變換的本質(zhì)與差別（如學(xué)生可能有這樣的經(jīng)驗(yàn)，無論如何移動和旋轉(zhuǎn)某個圖片都無法放到目標(biāo)位置，而只有翻折過來才能完成任務(wù)）。因此，學(xué)習(xí)變換，學(xué)生有基礎(chǔ)。其次，變換學(xué)習(xí)對于學(xué)生的未來發(fā)展具有

3、重要意義。變換，在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究中，在學(xué)生未來的生活、工作中，都具有廣泛的運(yùn)用。如高中階段將學(xué)習(xí)矩陣與變換，大學(xué)將學(xué)習(xí)拉普拉斯變換等，而工程運(yùn)用上，操控機(jī)器人的運(yùn)動、計(jì)算機(jī)中各種圖形的運(yùn)動，需要將這些運(yùn)動用相應(yīng)的數(shù)學(xué)表示出來，這些都離不開變換，醫(yī)院所使用的CT機(jī)就利用了數(shù)學(xué)上的拉東變換等。因而，變換具有發(fā)展性。此外，初中階段學(xué)習(xí)變換，還有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直覺、有助于幾何結(jié)論的探索。筆者對現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)中圓的有關(guān)結(jié)論進(jìn)行過這樣的嘗試，發(fā)現(xiàn)：借助變換的有關(guān)知識，可以十分便捷地研究初中階段關(guān)于圓的幾乎所有定理；而且借助幾何變換，既降低了問題的難度，也提升了學(xué)生對圓的理解水平1。變換，“前”有堅(jiān)

4、實(shí)的基礎(chǔ)，“后”有持續(xù)的發(fā)展，“現(xiàn)”有充實(shí)的研究內(nèi)容，并有助于其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)，實(shí)為難得的極好學(xué)習(xí)材料！因此，初中階段學(xué)習(xí)“圖形與變換”的有關(guān)內(nèi)容是必要的、可行的，也得到了廣大教師的認(rèn)可。2尷尬的變換雖然多數(shù)教師認(rèn)為，幾何變換有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直覺、有助于幾何圖形性質(zhì)的探索、有助于具體幾何問題的解決，在初中階段學(xué)習(xí)變換是必要可行的。但具體教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，很多教師并沒有真正重視幾何變換的教學(xué)。原因何在呢？筆者訪談發(fā)現(xiàn)，很多教師反映：變換固然可以促進(jìn)圖形的認(rèn)識，但課程標(biāo)準(zhǔn)中沒有將變換的有關(guān)結(jié)論作為基本的幾何事實(shí)（公理），而且課程標(biāo)準(zhǔn)最終是要求學(xué)生能基于課程標(biāo)準(zhǔn)所羅列的那些公理進(jìn)行嚴(yán)格的幾何證

5、明的，這樣，不管前面借助變換探索圖形性質(zhì)多么方便，最終仍然要落實(shí)到嚴(yán)格證明，而以變換為依據(jù)的證明是不嚴(yán)格的、“不合法”的（至少現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)沒有明確其合法性），各種學(xué)業(yè)考試中，借助變換進(jìn)行證明是難能得到認(rèn)可的。為此，教師們認(rèn)為，日常教學(xué)不敢強(qiáng)化變換的工具作用，否則學(xué)生形成了以變換探索幾何圖形性質(zhì)的思維定勢，中考中習(xí)慣于利用變換解決問題，對于學(xué)生的“發(fā)展”可能是適得其反（至少從考試這個角度看）。基于這樣的心理，教師自然難以重視變換的教學(xué)，變換的教學(xué)遭遇這樣一個尷尬的境地。3初步設(shè)想面對尷尬的境地，如何應(yīng)對，是擺在課程設(shè)計(jì)人員面前的一個現(xiàn)實(shí)問題。筆者認(rèn)為，初中階段舍棄變換有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無疑有點(diǎn)“因

6、噎廢食”了；我們需要設(shè)法將變換的工具作用合法化，鼓勵教師、學(xué)生利用變換探索圖形的性質(zhì)，利用變換解決具體的問題！為此，我們需要在公理系統(tǒng)中尋求變換的位置。平面幾何公理體系，歷史上較多使用建立在全等（合同）基礎(chǔ)上的歐幾里德公理體系。在原有歐幾里德公理體系中，要促使教師認(rèn)識到：變換的邏輯正確性，放手讓學(xué)生使用變換，必須對變換有關(guān)結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的證明。這樣設(shè)計(jì)無疑有點(diǎn)“舍近求遠(yuǎn)”了，如，對于“平移前后的對應(yīng)線段相等”，需要借助平行四邊形的性質(zhì)與判別定理，證明平移前后的線段可以形成一個平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得出對應(yīng)線段平行且相等，這樣相對比較繁瑣；同時，勢必將變換的學(xué)習(xí)放到平行四邊形的學(xué)習(xí)之后，

7、借助變換發(fā)現(xiàn)有關(guān)圖形性質(zhì)的教學(xué)目標(biāo)就難以實(shí)現(xiàn)了，變換的工具作用難以實(shí)現(xiàn)。這可能有違于設(shè)計(jì)者的初衷，也難能達(dá)成變換學(xué)習(xí)的目標(biāo)，與其如此，毋寧舍去不學(xué)了。與歐幾里德公理系統(tǒng)完全對等的，也可以由運(yùn)動出發(fā)建立我們熟悉的平面幾何系統(tǒng)2。如果以此作為初中階段幾何學(xué)習(xí)內(nèi)隱的主線，變換自然就成為幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，這樣，可以較好地利用學(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮變換的工具作用。但這個體系同樣存在許多值得商榷的地方：如，是否要介紹各種運(yùn)動之間的內(nèi)在聯(lián)系、有關(guān)運(yùn)動的公理群？利用合同公理可以便捷解決的問題（如三角形全等的判別）在該系統(tǒng)中是否還可以便捷的獲得（實(shí)際上，在操作層面上，運(yùn)動十分直觀形象，但以運(yùn)動的觀點(diǎn)研究一

8、個具體的靜態(tài)幾何圖形，相對于以靜止的合同公理為基礎(chǔ)的歐氏系統(tǒng)而言，學(xué)生是有一定困難的）？此外，這樣的課程設(shè)計(jì)，概念體系將面臨巨大變化，如平行四邊形的概念，可能就不再如過去那樣“兩組對邊分別平行的四邊形了”，而需要借助于運(yùn)動得到，在當(dāng)前教師培訓(xùn)難以到位的狀況下，這樣的變動是十分冒險(xiǎn)的。看來，兩種體系各有優(yōu)勢。除了非此即彼的選擇外，我們可以嘗試，兼容并蓄，兼顧兩者的優(yōu)勢，形成新的便于教學(xué)的公理體系。具體的，筆者建議，在現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)中增加一個關(guān)于變換的公理：平移、旋轉(zhuǎn)、反射變換前后的圖形全等。平面幾何有關(guān)知識內(nèi)容的展開順序可以如下：（1）基本的平面圖形（包括線、角以及平行、相交等簡單位置關(guān)系）-(2

9、)全等圖形（包括全等圖形的概念與性質(zhì)、三角形全等的判別）-(3)各種變換的概念、性質(zhì)、運(yùn)用以及圖形變換下的對稱性（軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)對稱等）-(4)以合同公理和運(yùn)動公理為基礎(chǔ)進(jìn)行一些圖形性質(zhì)的探索（如借助反射研究等腰三角形，借助平移、旋轉(zhuǎn)研究平行四邊形，借助反射、旋轉(zhuǎn)研究圓）。當(dāng)然，具體教材設(shè)計(jì)可以有多樣的選擇，如可以在(3)的基礎(chǔ)上展開（4）的研究，也可以分散學(xué)習(xí)（3）中各個變換，每學(xué)習(xí)一個變換，相應(yīng)地利用該變換研究一些相關(guān)圖形的性質(zhì)。可能有研究者認(rèn)為，兼具合同公理和運(yùn)動公理，破壞了公理體系的獨(dú)立性。確實(shí)，獨(dú)立性、完備性、相容性是數(shù)學(xué)科學(xué)建立公理體系的三個基本原則。但作為義務(wù)教育階段課程

10、內(nèi)容的數(shù)學(xué)公理體系，應(yīng)有別于作為科學(xué)的數(shù)學(xué)公理體系。作為課程教學(xué)內(nèi)容的公理體系，首要原則是相容性原則，這是保證其科學(xué)性的基礎(chǔ)，運(yùn)動公理與合同公理的相容性是數(shù)學(xué)界公認(rèn)的事實(shí)；而完備性和獨(dú)立性從來不是作為教學(xué)任務(wù)的課程體系的必然要求，相反設(shè)計(jì)課程體系時，往往更多考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的便利與效率，針對學(xué)生的學(xué)力水平，可能會采用擴(kuò)大了的公理體系，如原來的大綱教材中，“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短”、“平面內(nèi)經(jīng)過一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線”等本身都是定理，由于考慮到學(xué)生學(xué)力狀況，將其默認(rèn)為公理了，學(xué)生也沒有提出疑問。可能有研究者認(rèn)為，如果同時認(rèn)可運(yùn)動公理和合同公理，在感受公理化過程中，學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)兩者之間并不獨(dú)立，這個問題如何處理。筆者認(rèn)為，如果確有部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者之間不獨(dú)立，這是值得我們慶欣的。此外，筆者認(rèn)為，對義務(wù)教育階段的學(xué)生而言，感受公理化的要求偏高3。當(dāng)然，這只是筆者個人的一些設(shè)想，具體設(shè)計(jì)還有待多方實(shí)驗(yàn)與驗(yàn)證，課程改革的順利推進(jìn)需要大膽的設(shè)想與切實(shí)的實(shí)驗(yàn)支撐。參考文獻(xiàn)：